2020年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设2323a =++-，则1
a a
+
的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B
【解答】由22322323236a =+++⋅-+-=，知6a =。

于是1166
a a +
=+，2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。

因此，1
a a
+
的整数部分为2。

（注：4234233131
232362222
a +-+-=++-=+=+=） 2．方程2
2(
)32
x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2
2(
)32
x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。

设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）
A ．3
B ．23
C ．22±
D ．22 【答案】 D
【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22
1212
()22
t t t t ++，。

（第3题）
由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22
1212
(2)22t t t t ++-，。

由点B 在抛物线2
y x =上，知22
212122()22
t t t t
++-=。

整理，得2222
1211222282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。

结合21t t >，得21t t -=
4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。

若AE EF =，且7AC =，3FC =，则cos ACB ∠的值为（ ）
A ．37
B ．
C ．3
14
D
【答案】 B
【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。

则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。

∴ EK EB =。

又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。

∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。

∴ BC === ∴ cos 7
BC ACB AC ∠=
=。

或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得，
1BD CF EA
DC FE AB
⋅⋅=。

由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。

又AE EF =，因此，3AB CF ==。

结合7AC =，90ABC ∠=︒，利用勾股定理得，BC = 所以，cos 7
BC ACB AC ∠=
=。

5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，且4R =。

直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则
111
AD BE CF
++的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
【答案】 C
D
B
A E
（第4题）
K
【解答】由条件及等比定理，得
OAB OAC OAB OAC OAB OAC
ABD ACD ABD ACD ABC
S S S S S S OA AD S S S S S ++====+△△△△△△△△△△△， 同理，OAB OBC ABC S S OB BE S +=△△△，OBC OAC
ABC
S S OC CF S +=△△△。

∴
()()()2OAB OAC OAB OBC OBC OAC ABC
S S S S S S OA OB OC AD BE CF S +++++++==△△△△△△△。

又4OA OB OC R ====， ∴
11121
2
AD BE CF R ++==。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．记函数223y x x =-+（12x -≤≤）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。

【答案】 8
【解答】∵ 2223(1)2y x x x =-+=-+，12x -≤≤，
∴ 1x =时，y 取最小值，即2m =；1x =-时，y 取最大值，即6M =。

∴ 8M m +=。

7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。

若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。

【答案】
【解答】依题意20ax bx c ++=有两个不同的实根，设为1x ，2x ，则122AB x x =-=。

∵ 12b x x a +=-，12c
x x a
=，
∴ 22
2
21212122
4()()4()44b c b ac x x x x x x a a a
--=+-=--⨯==，即22
44b ac a -=。

又由22
2()24b b y ax bx c a x c a a =++=+-+，及0a >，知24b c a
-+=即24b ac -=。

∴ 24a =，a =
8．如图，在ABC △中，AD 为BC 边上的高，M 为线段BC 的中点，且
BAD DAM MAC ∠=∠=∠。

若2AB =，则ABC △内切圆的半径为 。

【答案】
1
【解答】依题意，易知D 为BM 中点，1
2
DM MC =。

又AM 平分DAC ∠，
（第5题）
∴
1
2
AD MD AC MC ==。

结合AD DC ⊥，得30ACD ∠=︒。

∴ 60DAC ∠=︒，90BAC ∠=︒。

∴
AC =4BC =。

∴ ABC △
内切圆半径为
24
12
+=。

9．若二次函数2(43)3y x a x a =+-+（2
3
a ≥
）的图像与直线2y x =-在y 轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有a 的值的和为 。

【答案】
29
12
【解答】依题意，关于x 的方程2(43)32x a x a x +-+=-，即2(42)320x a x a +-+-=恰有1个负根或者两个相等的负根。

有下列三种情形：
（1）方程有两个相等的负根。

则212(42)4(32)0(42)0a a x x a ⎧=---=⎨+=--<⎩△，解得1a =或34a =。

均满足23a ≥。

因此，1a =，3
4
a =
符合要求。

（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。

则1212320(42)0x x a x x a =-=⎧⎨+=--<⎩，解得23a =。

满足23a ≥。

因此，2
3
a =
符合要求。

（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。

则12320x x a =-<，解得23a <。

不满足23
a ≥。

综合（1）、（2）、（3），得符合条件的a 的值为1，
34，2
3。

因此，符合条件的所有a 的值的和为3229
14312
++=。

10．若正整数n 恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n 的正因数中有7个连续整数，则正整数n 的最小值为 。

【答案】 25200
（第8题）
【解答】∵ 任意连续7个正整数的乘积能被1234567⨯⨯⨯⨯⨯⨯整除， ∴ n 的正因数中必定有22，3，5，7这四个数。

∴ 正整数n 具有形式：1
2
3
4
2
3
5
7
n αααα=⨯⨯⨯⨯（1α，2α，3α，4α为正整数，12α≥）。

由正整数n 恰有90个正因数，知1234(1)(1)(1)(1)90k αααα++++⨯=，其中k 为正整数。

而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：902335=⨯⨯⨯。

∴ 1k =，1234(1)(1)(1)(1)902335αααα++++==⨯⨯⨯。

∴ n 的最小值为422235725200⨯⨯⨯=，此时n 有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 11．求方程2220172018x y x +=的正整数解。

【解答】方程化为22201820170x x y -+=。

将方程视为x 的方程，得22222018420174(10092017)y y =-⨯=-△为完全平方数。

…………………… 5分
∴ 2210092017y -为完全平方数。

设22210092017y t -=（t 为非负整数），则22210092017t y -=。

∴ 2(1009)(1009)2017t t y -+=。

∵ 2017为质数，
∴ 2017(1009)t -，或2017(1009)t +。

…………………… 10分 又t 为非负整数，且1009t ≤。

∴ 1009t =，或1008t =。

…………………… 15分 ∴ 0y =（舍去），或1y =。

将1y =代入方程，得2201820170x x -+=，解得1x =，或1017x =。

∴ 原方程的正整数解为11x y =⎧⎨=⎩，或2017
1
x y =⎧⎨=⎩。

…………………… 20分
12．如图，在等腰三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，M 是边AC 的中点，D 是边BC 上一点，直线AD 、BM 交于点E ，且ME MA =。

求证：
（1）BE CD =； （2）
AC DE
AD DB
=。

【解答】（1）如图，连结CE 。

由条件知，ME MA MC ==。

∴ CE AE ⊥。

…………… 5分 ∵ 90ACB ∠=︒， ∴ MAE DCE ∠=∠。

∴ BED AEM MAE DCE ∠=∠=∠=∠。

（第12题）
又EBD CBE ∠=∠， ∴ BDE BEC △∽△。

∴ BE DE BC EC
=。

…………… 10分 又由CE AD ⊥，AC CD ⊥，知CDE ACE △∽△。

∴ CD DE AC CE
=。

由此可得，
BE DE CD BC EC AC ==，即BE CD
BC AC
=。

∵ BC AC =，
∴ BE CD =。

…………… 15分
（2）由（1）CE AD ⊥，AC CD ⊥，知CDE ADC △∽△， ∴
CE AC CD AD
=。

又由（1）BDE BEC △∽△，知DE EC
DB EB
=。

结合（1）中BE CD =，可得AC CE EC DE
AD CD EB DB
===。

∴
AC DE
AD DB
=。

…………… 20分 13．若存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ⎧⎫
⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
成立，其中
{}[]x x x =-，[]x 为不超过x 的最大整数。

（1）求p 的最小值；
（2）当p 取最小值时，求使3246n n n n p ⎧⎫
⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭成立，且2017n ≤的正整数n
的个数。

【解答】（1）∵ 对任意正整数n ，122n ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，344n ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，566n ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，1
n p p p ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭。

…………………… 5分
∴ 对任意正整数n ，13525
24624612n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++≤++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭。

∵ 存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ⎧⎫
⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
成立，
∴ 存在正整数n ，使得2511
31212n p ⎧⎫≥-=⎨⎬⎩⎭。

于是，
111
12
p n p p ⎧⎫-≥≥⎨⎬⎩⎭，12p ≥。

又11n =时，11
11
11111351132
4
6
1224612
⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨
⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭， ∴ p 的最小值为12。

…………………… 10分
（2）12p =时，由13511
3324624612
n n n n p ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭知
122n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，344n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，566n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，111212
n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。

∴ 1211n k =+（k 为非负整数）。

∴ 当p 取最小值12时，当且仅当1211n k =+（k 为非负整数）时，
324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
成立。

…………………… 15分 由12112017n k =+≤知，167k ≤。

因此，符合条件的正整数n 有168个。

…………………… 20分 14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。

证明：
（1）对任意正数a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段； （2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；
（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？ 【解答】（1）在平面内任作一个边长为a 的等边ABC △。

则ABC △的三个顶点A 、B 、
C 中必有两点同色。

所以，存在两端点同色，且长为a 的线段。

因此，对任意正数a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段。

…………………………………………… 5分
（2）对任意正数a ，如图，设A 、D 同色，且AD a =（由（1）知，A 、D 存在）。

以AD 为直径作圆O ，设ABCDEF 为圆O 的内接正六边形。

若B 、C 、E 、F 中存在一点与A 、D 同色，不妨设点B 与A 、D 同色，则ABD △为直角三角形，其中
90ABD ∠=︒，30ADB ∠=︒，且三顶点同色。

……………………… 10分
若B 、C 、E 、F 都与A 、D 异色，则B 、C 、E 、
A
F 四点同色.则BCE △为直角三角形，其中90BCE ∠=︒，30CEB ∠=︒，且三顶点同色。

因此，无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形。

……………… 15分 （3）由（2）知，对任意正数a ，无论如何染色总存在斜边长为a ，有一个内角为30︒，且三个顶点同色的直角三角形。

当a =
11()()20172228S a a =⨯⨯==。

因此，无论如何染色，平面上总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形。

……………………………………… 20分。