同济版大一高数第一章第九节
高等数学（同济大学版）课程讲解1.9-1.10连续函数的性质
高等数学（同济大学版）课程讲解1.9-1.10连续函数的性质课时授课计划课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质二、课型：新授课三、目的要求： 1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；2.了解反函数和复合函数的连续性；3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证明方程解的存在性.教学难点：闭区间上连续函数的性质.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.连续的定义：00lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则．定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()()()()()()f x f xg x f x g x g x ±?、、（g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．如多项式函数0()nk n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos xx x=在其定义区间内连续．二、反函数的连续性定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．如sin y x =在[,]22ππ-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．三、复合函数的连续性由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理．定理3 设函数[()]y f x ?=是由函数(),()y f u u x ?==复合而成的复合函数，0()f g U x D ? ．如果()u x ?=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ?=处连续，则[()]y f x ?=在点0x 处连续．推论若在某极限过程有l i m ()x ?=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续，则 lim [()]f x ?=f （A ），即 lim [()][lim ()]f x f x ??=例1 求1lim sin(1)xx x→∞+．解 11limsin(1)sin lim(1)sin e x x x x xx →∞→∞??+=+=．例2 试证0ln(1)lim1x x x→+=．证因为ln y u =(u ＞0)连续, 故100ln(1)lim limln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→??+==+=．由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]()()g x f x 的极限问题．幂指函数的定义域要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()()g x f x 也是连续函数．在求[]()lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:(1) 如果0lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]()lim ()g x x x f x →=A B ．(2) 如果0lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]()lim ()g x x x f x →=[]0lim ()1()ex x f x g x →-.(3) 如果0lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]()lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接求得．例如，0lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]()lim ()g x x x f x →=+∞．又如,0lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]()lim ()g x x x f x →=0．上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．例3 求10sin 2lim xx x x +→?? ???．解因为100sin 2lim 2,lim(1)1xx x x x x +→→??=+=, 所以 110sin 2lim 22xx x x +→??==．例4 求21lim 21x x x x →∞+??+??．解由于11lim212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 21lim 021x x x x →+∞+??= ?+??．例5 求1lim 1xx x x →∞-??+??．解由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则1 2lim 1lim 2111lim e e e 1x x xx x x x x x x x →∞→∞-??-- ?-+??+→∞-??=== ?+??．例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11xx x x x x x x x --→∞→∞??- ?-=== ?++．四、初等函数的连续性我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．例6 求21ln(43)lim arctan x x x x→+-．解初等函数2ln(43)()arctan x x f x x+-=在x =1的某邻域内有定义，所以21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π．例7 求22041lim 235x x x x →--+．解 220414011l i m 23520305x x x x →-?-==--+?-?+5．第十节闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．一、最值定理1.最值的定义定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ?∈，有0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为0()max ()x If x f x ∈=（或0()min ()x If x f x ∈=）． 2. 最值定理一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值．但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．定理 1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．设f (x )∈C ［a ,b ］，(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：图1-40y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (b ), [],min x a b ∈f (x )=f (a )；y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (a ), [],min x a b ∈f (x )=f (b )．(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．图1-413. 有界性定理定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得12[,][,]()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．二、介值定理1. 零点定理（根的存在定理）图1-42定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．例1 证明方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．证令f (x )=x 5-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5 -3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．证设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0．综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．证由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０．由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）?（a ,b ）,使得f (x 0)=0．图1-432. 介值定理由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理．定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:推论设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]m a x ()x a b M f x∈=，[,]min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于M 与m 之间的任何值．例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=12()()()n f x f x f x n+++ ．证因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝1[,]max n x x x ∈f (x ),m =1[,]min n x x x ∈f (x )，则m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．从而m ≤12()()()n f x f x f x n+++ ≤M ．由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使f (x 0)＝12()()()n f x f x f x n+++ ．应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =1x在(0，1)连续，但1x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠??=?在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -?<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．课堂总结1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
《同济高数》课件
极限的定义与性质
总结词
极限是数学分析中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。极限具有一些重要的性质，如唯一性、局部 有界性、局部保号性等。
详细描述
极限的定义是指，对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当自变量的绝对值小于δ时，函数的值与极限 值的差的绝对值小于ε。极限的性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性和收敛性等。这些性质在研究函数的 性质和变化趋势时非常重要。
04
一元函数积分学
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在闭区间上离散和的极 限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加性、常数性质、比较性质等 。
定积分的几何意义
定积分表示的是曲线与x轴所夹的面积。
定积分的计算
微积分基本定理
定积分的计算主要依赖于微 积分基本定理，即牛顿-莱布 尼茨公式。
换元法
当被积函数或积分分法
当被积函数是两个函数的乘 积时，可以使用分部积分法 。
定积分的应用
变速直线运动的路程
通过定积分可以计算变速直线运动的路程。
曲线的长度
定积分可以用来计算曲线的长度。
液体压力问题
在液体压力的计算中，定积分也有着重要的 应用。
05
《同济高数》ppt 课件
目录
• 引言 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 一元函数积分学 • 常微分方程 • 多变量函数微积分
01
引言
高数课程的重要性
高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，为后续专业课程的学习提供数学基础 。
高数在科学研究、工程技术和实际生活中有着广泛的应用，是解决复杂问题的必备 工具。
总结词
理解多重积分的概念，掌握计算多重积分的 方法。
同济版本高数上第一章部分知识总结
一、映射1、映射的概念映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从x到y的映射，记作：f：X→Y举例：注意事项：一、无论是定义域还是值域都是非空集合二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。
比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。
三、对于定义域内部的每个x来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。
2、特殊映射满射（X到Y上的映射）：值域中的每一个值都被对应。
根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。
而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。
单射：定义域内对应值域内的值不同。
即x1≠x2，则f(x)1≠f(x)2一一映射：映射是满射又是单射3、逆映射若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。
记作：f−1。
其中，新构成的这个映射，定义域 D f−1=R f，即新的定义域为原映射的值域。
而新的值域则是R f−1=X，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。
若g:X→Y1，f:Y2→Z ，则由g与f可构成复合映射，即：f∘g: X→Z。
这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 f[g(x)]。
由定义可知，g的值域必须在f的定义域内。
且f∘g与g∘f意义不同。
二、函数1、函数的概念函数：若数集D⊂R，则称映射f:D⊂R为定义在D上的函数，通常简记为：y=f(x),x∈D其中，x称作自变量，y称作因变量，D称作定义域。
注意：一、y=f(x)表示在对应法则f的作用下，定义域内所对应的值，因此写作f(x)。
实际上，y与f(x)的意义一样。
同济版大一高数第一章第九节
cos x −1 的定义域为
因此它无连续点
例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 t = a −1, 则 x = loga (1+ t), t 原式 = lim t →0 loga ( + t) 1
x
说明: 说明 由此可见当
时, 有
ln(1+ x) ~ x
ex −1 ~ x
例4. 求 解: 原式
3 1 sin x ln( + 2x)
3 ⋅ 2x x
说明: 若 lim u(x) = 0, lim v(x) = ∞, 则有 说明
x→x0 x→x0
x→x0
lim [ 1+ u(x) ]
v( x)
=e
=e
lim v(x)u(x)
x→x0
例5. 设 讨论复合函数 解: 的连续性 .
x ≤1 x, ϕ(x) = x + 4, x >1
x
证: 设函数 即 于是
且 ϕ(x0) = u0 .
lim f (u)
u→u0
= f [ϕ(x0)]
故复合函数
例如, 例如
是由连续函数链
x ∈R*
复合而成 , 因此
x ∈R* 上连续 . 在
y O
1 y = sin x
x
例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在 证:
上连续.
f (x) − g(x)
y
上连续单调递增， π arcsin x 例如, 例如 y = sin x在 − 2 −1 其反函数 y = arcsin x 在[−1, 1]上也连续单调 O 1πx
2
sin x
递增.
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
同济版 高等数学(上册) 第一章课件
第一章 函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
y
y x (α 是常数) Z y x 当 时， 的定义域是 R ； 当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当 时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当 时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
高等数学同济版第一章
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学
数学 不仅是一种工具,
数学
而且是一种思维模式; 不仅是一种知识,
而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化;
能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的 一个重要标志.
二、什么是高等数学 ?
初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 初等数学 —— 代数、几何、三角、解析几何 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
( ,1 ] (2 ,2 e]
内容小结
第一章第一节
1. 映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
作业：1~6
结束
备用题
1. 设 f(0)0且 x0时af(x)bf(1 x)c x,其中 a, b, c 为常数, 且 a b, 证明 f (x)为奇函数 .
y ya ar r 1 c c c x 2 x o ) s ,,sx x i s i n [n R 2 ( , 2 ]
但函数链 yaru c,u s i2n x2不能构成复合函数 .
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u c v ,o v k π t ( k 0 , 1 , 2 , ) vx, x( ,)
习惯上, yf(x),x D 的反函数记成 yf 1(x),x f(D )
2. 反函数的性质 (1) y＝f (x) 单调递增(减) 其反函数 yf1(x)存在 ,
且也单调递增 (减) .
(2) 函数 yf(x) 与其反函数 yf1(x)的图形关于直线 yx 对称 .
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课ppt课件
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
y
y
(x1)2y21
y ex
o
x
o
x
.
(2) 函数的奇偶性:
设 D 关于原 ,对 点 于 x 对 D ,有 称
f(x)f(x) 称 f(x)为偶 ; 函数
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
1、连续的定义
定义 1 设函数 f ( x )在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x 0
或
lim [
x 0
f (x0
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x )在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x ) 的连
x x 0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记 lif ( 作 m x ) ( 或 li f ( x m ) ).
x x 0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
点
无穷型
y
0
x
振荡型
同济高等数学第一章第九节精品PPT课件
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
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铃
一、连续函数的和、积及商的连续性
❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数
在点x0也连续 >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续
铃
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
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铃
三、初等函数的连续性
❖结论
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
连续函数经四则运算仍连续
在定义区间内
连续函数的复合函数连续
连续
例如,
y 1- x2 的连续区间为[-1, 1] (端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为 (2n , (2n +1) ) , n Z
么它的反函数xf -1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是单 调增加(或减少)且连续的
例2
所以它的反函数yarcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在
它们的定义域内都是连续的
同济大学高等数学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
大一高数课件第一章 1-9-1
函数的连续性与间断点
• 一、函数的连续性 • 二、函数的间断点 • 三、小结
一、函数的连续性
1.函数的增量
y f ( x ) x : x0 x y: f ( x0 ) f ( x )
x x x0 , 称为自变量 在点 x0的增量 x .
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
x 0 x 0
末就称函数 f ( x )在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x )的连续点.
例如
y 2 x 3, x0 1, x 0,
y 2x 0,
则 y 2 x 3 在 x0 1 点连续
设 x x0 x,
x 0 就是 x x0 ,
x x0 x
y f ( x0 x) f ( x0 )
y
y f ( x)
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
x
0
x0 x
x0
x
2.连续的定义
y f ( x) x : x0 x0 x, x y: f ( x0 ) f ( x0 x)
当x 0时, y 0.
即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
同理 y cos x对任意x (,)都是连续的 .
二、函数的间断点
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ),
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0),
右连续但不左连续 , 故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
0,
1,
数.
x0
x 0 的定义域为 D , ，值域W 1,0,1 ，这个函数称为符号函
x0
例 4 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，函数 y x 的定义域为
D , ，值域为整数集 Z ，它的图形在 x 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整
x
x
x
定理 2 （极限的四则运算法则） 设 lim f x A， lim g x B ，则
x x0
x x0
（1） lim xx0
f
x
g x
A B
lim
xx0
f
x lim xx0
gx ;
（2） lim xx0
f
x g x
AB
lim
xx0
f
x lim xx0
g x ;
(3)
lim
三、主要例题：
例 1 函数 y C ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 D , ，值域为W C，它的图形是
一条平行于 x 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2
函数 y
x
x, x,
x
0
的定义域为
D
, ，值域W
0, ，这个函数称为绝对值函数.
x0
2
1,
例3
函数 y sgn x
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 集合与函数
课的类型
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分 教学难点
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一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
第一章
一、连续函数的运算法则
定理1. 定理 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 例如 在其定义域内连续 定理2. 定理 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. (递减) (递减)
ϕ (x),
2
ϕ(x) ≤1
2 −ϕ(x), ϕ(x) >1
lim f [ϕ(x)] = lim x2 =1 −
x→ − 1
x→ + 1
=
x ,
2
x ≤1
− 2 − x , x >1
x ≠ 1时 f [ϕ(x)] 为 等 数, 故此时连续; 而 初 函
x→ 1
x→ + 1
lim f [ϕ(x)] = lim (−2 − x) = −3
x
证: 设函数 即 于是
且 ϕ(x0) = u0 .
lim f (u)
u→u0
= f [ϕ(x0)]
故复合函数
例如, 例如
是由连续函数链
x ∈R*
复合而成 , 因此
x ∈R* 上连续 . 在
y O
1 y = sin x
x
例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在 证:
上连续.
f (x) − g(x)
而y=
cos x −1 的定义域为
因此它无连续点
例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 t = a −1, 则 x = loga (1+ t), t 原式 = lim t →0 loga ( + t) 1
x
说明: 说明 由此可见当
时, 有
ln(1+ x) ~ x
ex −1 ~ x
例4. 求 解: 原式
y
上连续单调递增， π arcsin x 例如, 例如 y = sin x在 − 2 −1 其反函数 y = arcsin x 在[−1, 1]上也连续单调 O 1πx
2
sin x
递增.
又如, 又如
在 上也连续单调递增.
上连续 在
y
y = ex
单调 递增, 其反函数
1 1
y = ln x
O 定理3. 定理 连续函数的复合函数是连续的.
− f (x) − g(x)
根据连续函数运算法则 , 可知 连续 . 也在 上
二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 例如, 例如, 一切初等函数 在定义区间内 连续
y = 1− x2 的连续区间为
(端点为单侧连续)
y = lnsin x 的连续区间为
在点 x = 1 不连续 , x = 1为第一类间断点 .
故
内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 基本初等函数在定义区间内连续 在定义区间内 连续函数的四则运算结果仍连续 连续函数的四则运算结果仍连续 四则运算 连续函数的反函数连续 连续函数的反函数连续 反函数 连续函数的复合函数 复合函数连续 复合函数 说明: 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 初等函数在 定义区间内 连续
Байду номын сангаас
思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: 提示 “反之” 不成立 .反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 .
作
P65 2 3（1）、（3） P70 3（3）、（6） 4（3）、（6）
业
3 1 sin x ln( + 2x)
3 ⋅ 2x x
说明: 若 lim u(x) = 0, lim v(x) = ∞, 则有 说明
x→x0 x→x0
x→x0
lim [ 1+ u(x) ]
v( x)
=e
=e
lim v(x)u(x)
x→x0
例5. 设 讨论复合函数 解: 的连续性 .
x ≤1 x, ϕ(x) = x + 4, x >1