《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1

《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。

教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

教学过程 一、复习引入
1、正弦定理：2sin sin sin a b c
R A B C === 2、余弦定理： ,cos 2222A bc c b a -+=⇔
bc
a c
b A 2cos 222-+=
,cos 2222B ca a c b -+=⇔
ca b a c B 2cos 222-+=
C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab
c b a C 2cos 222-+=
二、例题讲解
引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。

解：060=A 075=B ∴045=C
由正弦定理知00
45sin 1060sin =BC
6
545sin 60sin 1000
==⇒BC 海里
750
600
C
B
A
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长(保留三个有效数字)．
分析：这个问题就是在ABC ∆中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m ，
求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。

解：由余弦定理，得
答：顶杠BC 长约为1.89m.
解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。

2、要明确题目中一些名词、术语的意义。

如视角，仰角，俯角，方位角等等。

3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。

练1.如图，一艘船以32海里/时的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东020， 30分钟后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东065方向上，求灯塔S 和B 处的距离.(保留到0.1) 解：16=AB
由正弦定理知
020sin 45sin BS AB =
'
2066'20660︒=︒+︒=∠BAC A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+=)(89.1571.3'2066cos 40.195.1240.195.122m BC ≈∴=
︒⨯⨯⨯-+=D C
B
A
1.40m
1.95m
6020/
600
?S
B A
1150
450650200
7
.745sin 20sin 100
≈=BS 海里 答：灯塔S 和B 处的距离约为7.7海里
例2.测量高度问题
如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C ，D 两处，测得烟囱的仰角分别是045=α和060=β， Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。

图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？ 分析：因为B A AA AB 11+=，又m AA 5.11
=
所以只要求出B A 1
即可
解：在1
1D BC ∆中，
0001112060180=-=∠C BD ，00011154560=-=∠BD C
由正弦定理得：
1
11
1111sin sin C BD BC BD C D C ∠=
∠ m BD C C BD D C BC )66218(15sin 120sin 12sin sin 0
1111111+==∠∠= 从而：
m
BC B A 392.2836182
211≈+== 因此：m AA B A AB 89.29892.295.1392.2811≈=+≈+=
答：烟囱的高约为m 89.29
练习：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角060=α，在塔底C 处测得点A 的俯角045=β，已知铁塔BC 部分高32米，求山高CD 。

解：在△ABC 中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°，
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32，
A 1α
βD 1C 1D
C
B
A
?
32
β=450
α=600
D
C
B
A
由正弦定理
ABC
AC
BAC BC ∠=
∠sin sin 得：
m
BAC ABC BC AC )26(164
2
61615
sin 30
sin 32sin sin 0
+=-==∠∠=
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。

掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。

2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。

3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为：
画图形
数模型
解三角形
检验（答）
数模型的解
实际问题的解
实际问题。