高一数学：三个二次的关系

三个“二次”之间的关系

教学内容

一、知识梳理

1.二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法： y ＝ax 2＋bx ＋)0(≠a c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a ；y ＝a (x －x 0)2＋)0(≠a n . (2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝2

1 (p ＋q ). 若－a

b 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f (－a

b 2)＝m ，)(q f ＝M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－a

b 2)＝m ； 若－a

b 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ． 2.二次方程)(x f ＝ax 2＋bx ＋

c ＝0的实根分布及条件

(1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·)(r f ＜0； (2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a b ac b (3)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立. (5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q ) ⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a . 3.二次不等式转化策略

(1)二次不等式)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ≤0的

解集是 (－∞，α])∪［β，＋∞)⇔a ＜0且)(αf ＝)(βf ＝0；

(2)当a ＞0时，)(αf ＜)(βf ⇔ |α＋a b

2|＜|β＋a b

2|，

当a ＜0时，)(αf ＜)(βf ⇔|α＋a b

2|＞|β＋a b

2|；

(3)当a ＞0时，二次不等式c bx ax ++2＞0在［p ，q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇔,

0)(,

2p f p a

b

或⎪⎩⎪

⎨⎧

>≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;

0)(2,0)2(,2q f q a b

a b

f q a b p 或

(4) c bx ax ++2＞0恒成立

⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<++⎩⎨⎧

>==⎩⎨⎧<∆>⇔.

00,0,00;0,

0,0,02c b a a c bx ax c b a a 或恒成立或

二、方法归纳

1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及一元二次方程、一

元二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．

2．含字母系数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题经常使用的

方法是分类讨论．比如讨论二次函数的最值与给定闭区间的关系，一元二次不等

式解集与一元二次方程的根的关系．

3．关于二次函数)(x f y =对称轴的判定方法：

(1) 如果二次函数)(x f y =存在两个不相等的数1x 、2x ，有)()(21x f x f =，

那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为2

21x x x +=. (2)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(x a f x a f -=+成立，

那么函 数)(x f y =图象的对称轴方程为a x =，a 为常数．

(3)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()2(x f a x f -=+成立，那

么函数)(x f y =图象的对称轴方程为a x =，a 为常数．

注意：)()(x a f x a f -=+与)()2(x f a x f -=+是等价的．

4．二次方程的实根分布，也是二次函数的零点分布，是高考的一个热点问

题．解决问题的关键在于作出二次函数的图象，运用数形结合的思想从判别式、

对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．

三、典型例题精讲

［例1］若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的

取值范围是( )

A.(－∞，2]

B.[－2，2]

C.(－2，2]

D.(－∞，－2)

解析：当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，∴ a ＝2满足．

当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-0

02a ，解得－2＜a ＜2，

所以a 的范围是－2＜a ≤2.

答案：C

【技巧提示】 由题意，函数)(x f ＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4的图象全部在

x 轴以下，于是

当a ＝2时，)(x f ＝－4，满足题意；

当a 满足⎩⎨⎧<∆<-0

02a 时，满足题意．

又例：若不等式 01

20822<--+-mx mx x x 对一切x 恒成立，求实数m 的范围. 解析： ∵ 04)4(2082

2>+-=+-x x x ，

∴ 只须 012<--mx mx 对一切x 恒成立即可，与例１类似．

∴ m 的取值范围是 04≤<-m ． 再例：若不等式13

642222<++++x x k kx x 对R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）

A. R

B. ()3,1

C. ()1,∞-

D. () 1,∞-()+∞,3 解析：将13642222<++++x x k kx x 化为013

642222<-++++x x k kx x ， 即 03

64)3()62(222<++-+-+-x x k x k x ， 而 03642

>++x x 恒成立，

∴ 0)3()62(22<-+-+-k x k x 对R x ∈恒成立． 0)3()2(4)62(2<-⨯-⨯--=∆k k

即 31<

［例2］二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)

2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2

x x f -+，则x 的取值范围是_________.

解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛

物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近