微专题42线性约束条件下的非线性目标函数取值范围问题答案

微专题42
例题1
答案：[144
25
，25]．
解析：设x 2＋y 2＝r 2，由图形可知r 2∈[144
25
，25]．
例题2
答案：[0，1)．
解法1设函数f(x)的零点为x 1，x 2(1≤x 1<x 2≤2)，则f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x －x 1)(x －x 2)＝0.可知f(1)＝a(x 1－1)(x 2－1)，f （1）
a ＝(x 1－1)(x 2－1)；由1≤x 1<x 2≤2可知0≤x 1－1<1，0<x 2－1≤1，则有(x 1－1)(x 2－1)∈[0，
1)．
解法2设由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （2）≥0，Δ＝b 2
－4ac>0，1<－b 2a <2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ≥0，
4a ＋2b ＋c ≥0，b 2
－4ac>0，1<－b
2a <2.
又f （1）a ＝a ＋b ＋c a ＝1＋b a ＋c a ，设x ＝b a ，y ＝c
a
，
则⎩⎪⎨⎪⎧x 2>4y ，
x ＋y ＋1≥0，
2x ＋y ＋4≥0，－4<x<－2.
作出可行域如图，可知－1≤x ＋y<0，则0≤x ＋y ＋1<1.
说明：作图时要注意到两直线和抛物线都相切！
变式联想
变式1
答案：2（ln 2－1）25
.
解析：令(a －c)2＋(b －d)2＝r 2，则r ＝（a －c ）2＋（b －d ）2表示点(a ，b)，(c ，d)之间的距离；即直线
d
＝3c －4上的点到曲线a 2－2ln a ＝b 上的点的距离．
只要求直线d ＝3c －4的平行线与曲线a 2－2ln a ＝b 的切点，即2a －2a ＝3，得a ＝2或－1
2(舍去)．
那么，即要求(2，4－2ln 2)到直线的距离，r min ＝2|ln 2－1|10，亦即(a －c)2＋(b －d)2
的最小值为2（ln 2－1）25.
变式2
答案：]545,2
7
[+-
解析：设f(x)＝x 2－(a 2＋b 2－6b)x ＋a 2＋b 2＋2a －4b ＋1，则由题意可知
⎩
⎨
⎧f （0）≤0，
f （1）≥0，
即⎩⎨⎧（a ＋1）2＋（b －2）2≤4，
a ＋
b ＋1≥0，
作出可行域如图，则 （a ＋2）2＋b 2∈]52,2
2[
+；又a 2＋b 2＋4a ＝(a ＋2)2＋b 2－4∈[－7
2，5＋45]． 串讲激活
串讲1 答案：2.
解析：|x|＋|y|≤1表示的平面区域为正方形ABCD 内部及其边界，设P(2，2)，由图可知z 的最大值为k PA .易知k PA ＝2－0
2－1
＝2.
串讲2 答案：
)
2
3,23[-
.
解析：
3x ＋y 2x 2
＋y
2
＝
|
),(|),()21
,23(
y x y x ⋅＝cos θ；其中θ为向量)21,23(
与向量(x ，y)的夹角，由可行域可知 θ∈]32,
6(
π
π，那么，cos θ∈)2
3
,23[-
.
新题在线
答案：2513
.
解析：作出线性约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，显然，A(2，3)，B(3，3)．令目标函数z ＝y
x ，
它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x ，y)的直线的斜率，从
而1≤z ≤32.不等式m(x 2＋y 2)≤(x ＋y)2
恒成立，也就是m ≤（x ＋y ）2x 2＋y
2恒成立，
令u ＝（x ＋y ）2x 2＋y 2，则u ＝1＋2xy x 2＋y 2＝1＋2
y x ＋x y ＝1＋2z ＋1z )231(≤≤z .当1≤z ≤32时，2≤1z ＋z ≤136，从而1213≤
2
1z ＋z ≤1，所以2513≤1＋21z ＋z ≤2，于是m
≤
2513，即实数m 的最大值为25
13.。