高一集合__易错题解析

高一数学----集合的“三性”及应用

集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．

下面就集合元素的这三个性质及应用加以说明．

一、注意正确理解其意义

1．确定性：

即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．2．互异性：

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素．

3．无序性：

由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关．

二、注意正确利用三性解题

例1下列命题正确的有哪几个？

⑴很小的实数可以构成集合；

⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；

⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；

⑷由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合有5个元素．

分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断．

解：⑴很小是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错．

⑵｛1，5｝是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错．

⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错．

⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合为｛1，，0.5｝，共有3个元素．因此，⑷也错．

例2已知集合A＝｛，＋，＋2｝，B＝｛，，｝，其中，A＝B，求的值．

分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出的值，这显然违背了集合的无序性．

解：∵A＝B，及集合元素的无序性，

∴有以下两种情形：

①

消去，解得＝1，此时＝＝，与集合中元素的互异性矛盾，∴1．

②消去，解得＝－，或＝1（舍去），故的值为－．

评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出值后，又利用了集合元素的互异性进行检验，保证了所求的结果的准确性．

例3设A＝｛x∣＋（b＋2）x＋b＋1＝0，bR｝，求A中所有元素之和．

错解：由＋（b＋2）x＋b＋1＝0得（x＋1）（x＋b＋1）＝0 （1）当b＝0时，x1 ＝x2－1，此时A中的元素之和为－2．（2）当b0时，x1 ＋x2＝－b－2．

分析

上述解法错在（1）上，当b＝0时，方程有二重根－1，集合A＝｛－1｝，故元素之和为－1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．

例4已知集合{2，3,+4+2}，B＝{0,7, +4-2,2-}，且AB={3,7},求值．

分析：

∵AB={3,7}

∴+4+2=7．即=1，或=－5．

至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A，集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步检查．当=－5时,2－=7，在B中重复出现,这与元素的互异性相矛盾，故应舍去=－5．当=1时, B={0,7,3,1} 且AB={3,7}

∴=1

评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．

集合与函数、导数部分易错题分析

1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

2．你会用补集的思想解决有关问题吗？

3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？

[问题]:、、的区别是什么？

4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？

5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？

[问题]:如何解不等式：？

6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？

7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？

[问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

什么是映射、什么是一一映射？

[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作个A到B上的映射，那么可以作个A到B上的一一映射.

9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？

[问题]：已知函数求函数的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）

[问题]：已知函数图象与的图象关于直线.

10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？

11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?

[问题]：已知函数上，恒有，则实数取值范围是：。12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法）13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？

[问题]：写出函数的图象及单调区间.时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？

[问题]：证明“函数的图象关于直线对称”与证明“函数与函数的图象关于直线对称”有什么不同吗？

例题讲解

1、忽略的存在：

例题1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．