EMD经验模态分解

EMD

•①分解得到的IMF分量是基于序列(信号)本身的局部的特征时间尺度，各个分量表征了原序列不同时间尺度(或频率)的振荡变化，趋势项集中反映了序列的非平稳性，在一定程度上表现原序列的总趋势；

•②瞬时频率ω(t)作为时间的函数，能敏锐地识别出资料的多尺度嵌套结构。

•③Hilbert谱是由每个IMF分量经过Hilbert变换得到的，因而具有明确的物理意义，反映了物理过程的能量（振幅）‐频率‐时间的分布。

•EMD分解方法是基于以下假设条件：

•⑴数据至少有两个极值，一个最大值和一个最小值；

•⑵数据的局部时域特性是由极值点间的时间尺度唯一确定；

•⑶如果数据没有极值点但有拐点，则可以通过对数据微分一次或多次求得极值，然后再通过积分来获得分解结果。

它能用几个内在的本征模态和一个剩余来揭示序列的振荡结构特征和非平稳性;用谱图准确地给出原序列及其IMF分量的主要振幅变化所对应的频率和时间;在处理强间歇性信号以及短数据序列方面有很好的效果。

瞬时频率

•它的频率是随时间改变的，即叫ωj(t)

•对于任一时间连续函数X(t)，其Hilbert变换Y(t)定义为：

上式表示X(t)与1/t的卷积，Hilbert变换强调X(t)的局部性。定义式上可以看出Hilbert变换是从时域到时域的变换。

•构造解析信号Z(t)

•用幅角的时间导数来定义瞬时频率:

瞬时频率是ω=ω(t)是时间的单值函数。

•瞬时频率把信号限定为“窄带”，即极大点(极小点)的数目与穿

零点的数目相等。

为了使瞬时频率具有物理意义，必须加上约束条件，下面举正弦波的例子来说明这个约束条件的含义。正弦函数写成: X(t)=sin t

它的Hilbert变换是cos t，在x-y平面的相点图1.1(a)中的单位圆，相函数是1.1(b)中的直线，瞬时频率是1.1(c)所示，是一个常数。

X(t)=a+sint

•这时x‐y平面的相点仍然是简单的圆，与a无关;但圆的中心移动，与a的大小有关，见图1.1(a)。如果a<1，中心仍在圆内，平均穿零点频率与a=0的情形相同，但相函数和瞬时频率却大不相同;如果a>1,则中心移到圆外，函数不再满足约束条件，相函数和瞬时频率都出现负值，因而没有物理意义，如图1.1(b)和(c)所示。这表明，对于像正弦函数如此简单的信号，只有在函数满足关于零均值线是局部对称的约束条件下，瞬时频率才有物理意义。

本征模态函数（IMF）

•EMD是分解信号序列的一种方法，它把原序列分解为有限个IMF 分量，分量之间的瞬时频率互不相同。那么，要使瞬时频率具有物理意义，IMF分量应该满足什么样的约束条件呢?

•函数关于零均值线是局部对称的，并且穿零点和极值点的数目是一样的。

•定义：本征模态函数是满足以下两个条件的一类函数：

•①在整个资料集里，极值点的数目与穿零点的数目必须相等或者最多相差1个；

•②由局部极大值所构成的包络线以及由局部极小值所构成的包络线的平均值为零。

EMD分解方法：筛选过程①经过3次样条连接之后把某

些极值夸大了，出现一些过高

的峰和过低的谷。②实际资料

的图像是非常复杂的，在峰或

者谷上有大大小小的骑行波，

也就是通常看到的在零均值线

的上方或下方那些波状的弯曲。

骑行波不符合对IMF的要求，

而一次筛选不可能完全消除这

些骑行波。③对非线性资料来

说，包络的均值线和真正的局

部平均线不一样，某些非对称

波形仍然存在，一次筛选无法

完全消除非对称波形。上述原

因决定了筛选必然要重复多次，

所以是一个筛选过程。

EMD：筛选过程

一是消除了骑行波，平滑

了小的弯曲，保存了大的

振幅，简化了波形；二是

使序列曲线变成围绕零均

值线的、局部极大值和极

小值基本对称的波形。

当前后两次筛选结果之差

达到这个精度要求时停止

筛选，并把最后得到的这

个结果作为一个IMF分量

EMD：筛选过程

•设定SD的门限值作为停止筛选过程的判据。

•这样得到的C1应是信号的特征时间尺度最小的高频IMF分量。

X(t)‐C1=r1

因为剩余序列r1中可能含有比C1的特征时间尺度大的IMF分量，所以又要把r1当成新的序列施行上述筛选过程，以求得第二个IMF分量C2。

EMD：筛选过程

•从时域讲，是指特征时间尺度由小逐渐到大；从频域讲，是指从高频逐渐到低频。

•各个IMF分量分别表征不同的特征时间尺度。特征时间尺度是指：连续两个极大值点或两个极小值点之间的时间间隔；或者局部的极大值和极小值的时间间隔；或者连续两个穿零点之间的时间间隔。用连续两个极值之间的时间间隔作为本征模态的时间尺度，不仅能细致地分辨出不同尺度的振荡分量，而且可用于数值全为正或者全为负的、没有穿零点的序列。

抽样序列提取极值点

x ‐0.6850.9410.914‐0.0290.601‐0.716‐0.1560.8310.5840.919d 1.626‐0.027‐0.9430.630‐1.3170.5600.987‐0.2470.335d1 1.626‐0.027‐0.9430.630‐1.3170.5600.987‐0.247

d2‐0.027‐0.9430.630‐1.3170.5600.987‐0.2470.335

d1.*d2‐0.04370.0253‐0.5943‐0.8293‐0.73710.5530‐0.2441‐0.0827

indmin = find(d1.*d2<0 & d1<0)+1; % 最小值

469

indmax = find(d1.*d2<0 & d1>0)+1; % 最大值258

12345678910

-0.8-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.60.8

1