分式的概念与基本性质

分式的概念

当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A

B

叫做分式． 整式与分式统称为有理式．

在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；

⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．

分式有意义的条件

两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式

1

x

，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零

分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．

分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．

上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a m

b b m

÷=÷(0m ≠)．

注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；

②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．

一、分式的基本概念

【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？

1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，32

3a a a +

【考点】分式的基本概念

【解析】根据分式的概念可知，分式的分母中必然含有字母，

由此可知1t ，2211x x x -+-，24x x

+，21

321x x x +--，323a a a +为分式．

(2)x x +，

5a ，2m ，3x

-为整式．

【答案】1t ，1x -，24x x

+，21

321x x x +--，3a 为分式

(2)3x x +，

52a ，2m ，3π

x

-为整式．

【例2】 代数式2222

1131321223

x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ）

A.1个

B.1个

C.1个

D.1个

【考点】分式的基本概念

【解析】分母中含有字母的式子是分式，所以上式中分式有2113

21x x x x y

+-+，，.选C

【答案】选C

二、分式有意义的条件

【例3】 求下列分式有意义的条件：

⑴1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21n

m + ⑸22x y x y ++ ⑹21

28

x x -- ⑺293

x x -+

【考点】分式有意义的条件

【解析】⑴分式有意义的条件是0x ≠；

⑵分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-；

⑶分式有意义的条件是20a b -≠，即2a b ≠，1

2

a b ≠；

⑷分式有意义的条件是210m +≠，即m 为任何实数； ⑸分式有意义的条件是220x y +≠，故0x ≠或者0y ≠；

⑹分式有意义的条件是228(4)(2)0x x x x --=-+≠，即4x ≠且2x ≠-；

⑺当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果. 分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-

【答案】⑴0x ≠；

⑵3x ≠-；

⑶1

2

a b ≠；

⑷m 为任何实数； ⑸故0x ≠或者0y ≠； ⑹4x ≠且2x ≠-； ⑺即3x ≠-

【例4】 要使分式

23

x

x -有意义，则x 须满足的条件为 ．

【考点】分式有意义的条件 【解析】x-3≠0 【答案】3x ≠

【例5】 ⑴x 为何值时，分式

1111x

+

+有意义？

⑵要使分式24

1312a a a

-++

没有意义，求a 的值.

【考点】分式有意义的条件

【解析】⑴1

101x

+

≠+且10x +≠，则2x ≠-且1x ≠- ⑵根据题意可得13102a a ++=或20a =，所以1

5

a =-或0a =

【答案】（1）2x ≠-且1x ≠-

（2）1

5

a =-或0a =

【例6】 x 为何值时，分式1

122x +

+有意义？

【考点】分式有意义的条件

【解析】根据题意可得：120220

x

x ⎧

+

≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得2x ≠-且52x ≠- 【答案】2x ≠-且5

2

x ≠-

【例7】 x 为何值时，分式1

1

22x x

+-

+有意义？

【考点】分式有意义的条件 【解析】1

202x x

+-≠+且20x +≠，则1x ≠-，且3x ≠-，且2x ≠-，

【答案】则1x ≠-，且3x ≠-，且2x ≠- 【例8】 若分式

250

1250x x -+

+有意义，则x ； 若分式

250

11250x x

-+

+无意义，则x ； 【考点】分式有意义的条件

【解析】分式有意义，根据题意可得：1102502500

x x ⎧

+

≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得251x ≠-且250x ≠-;

分式无意义，根据题意可得：1

10250x

+=+或2500x +=,即251x =-或250x =-;

【答案】（1）251x ≠-且250x ≠-；（2）251x =-或250x =-

【例9】 若33a

a

-有意义，则33a a -( ).

A. 无意义

B. 有意义

C. 值为0

D. 以上答案都不对

【考点】分式有意义的条件 【解析】

33a

a

- 有意义的条件为30a -≠, 3a ≠. 同理33a a -有意义的条件为3a ≠±.