复变函数：第3章复变函数的积分

因此
dz
c zz0 n1
2i,n0,
0,n0,
例 0）3到计（算1，cz d1z）的的值线，段其：中xt,Cy 为t沿,0从t（1 ;0，
解 :
c zd z0 1 t it1id t0 12 td 1 t;
例 0）4到计（算1， c1zd）z 的的值线，段其与中从（C1为，沿0从）（到0（，1，
处处解析，C 为内 D 的任何一条正向简单闭曲
线,它的内部完全含于 D,z 0 为 C 内的任一点,那
末
fz021 ic
fz
dz zz0
(3.4.1)
公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式
就可以把一个函数在C 内部任何一点的值,用
它在边界上的值来表示.
例10计算
1
sinzdz
2i z 4 z
处解析，那末函数 Fz必为内的解析函数,并
且 Fzfz
原函数的概念
下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首 先引入原函数的概念：
结论：f z 的任何两个原函数相差一个常数。
利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛 顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算 公式。
定理三 如果函数 f z在单连域内处处解析，Gz为 f z
的一个原函数，
那末
z
z0
fzd zG zG z0
这里 z 0 , z 为区域B 內的两点。
例 5 计算 isin2zdz i
解：
i sin2zdz
i
ii1 c 22 o zd s z 1 2 z 1 2 s2 iz n iii 1 2 s2 iin
例
6
计算
1
0 z sinzdz
复变函数：第3章复变函数的积分
例2计算
dz
其中 ,
c z z0 n1
C为以 z 0 中心，r为半
径的正向圆周, n为整数.
解: C 的方程可写成 zz0ri e,02 ,
所以
cz d z 0n 1 z 0 2 r n i 1 e i i r n 1 e d 0 2 r n e ii n d r in0 2 e in d
(见3.5解析函数的高阶导数). 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 .ຫໍສະໝຸດ 3.5 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶 导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实 变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不 能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶 导数我们有下面的定理
柯 西 — 古 萨 （ Cauchy—Goursat ） 基 本 定 理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内 的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即
c fzdz0
3.2.3 几个等价定理
定理一 如果函数 f z在单连域内处处解析，
那 线末C积无分关c. f zdz与连结从起点到终点的路
定理二 如果函数 fzuiv在单连域B 内处
定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 n 阶导数为:
fn z0 2 n !i c z fz z 0 n 1dn z 1 ,2 ,
其中 C为f z在函数的解析区域 D内围绕 z 0 的任何
一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 D .
感谢观赏
例9计算
z
dz 2
z
的值，为包含圆周
z
1
在
内的任何一条正向简单闭曲线。
解:
dz z2 z
dz c1 z 2 z
dz c2 z 2 z
dzd z 1d z 1 d z 1dz
c1z1 z c1
c2z1
z c2
02i2i00
3.4 柯西积分公式
定理(柯西积分公式) 如果函数f z在区域 D 内
解：
1
z sinzdz
0
1
11
0zdcoz szcoz0s0cozsdz
zcozssin z1si1nco1s
0
例7 计算 3i e2zdz i
解：
3ie2zdz1 3ie2zdz
i
2 i
1 2e2z 3ii1 2e6i e2i 0.
例8 计算
i
z
z
1e
dz
0
解： iz1ezdzizid ez
0
0
z1ez
i
0
0iezdz
z1ezez 1ie i ico 1 sisi n 1 0 si1n ico 1s
3.3 基本定理的推广—复合闭路定理
我们可以把柯西—古萨基本定理推广到多连域 的情况 .
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值， 这一重要事实，称为闭路变形原理.
1）的线段所连结成的折线。
解 : zdz zdz zdz
c
c1
c2
1
tddt
11 it idt
0
0
1 1 i 1 i 2 2
3.2 柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基 本定理
3.2.1 积分与路经无关问题
积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分 值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及 区域的单连通性有关.
(沿圆周正向)
解
由公式(3.4.1)得
1 sinz
dz
2i z 4 z
sin z 0 z 0
例11计算 z4z11z23dz(沿圆周正向)
解
由公式(3.4.1)得
1 2 dz
z4z1 z3
1
1
d z2
dz
z4z1
z4z3
2 i.1 2 i.2 6 i.
柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积 分表达式,是研究解析函数的有力工具