(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

（0195）《实变函数》复习大纲

第一章集合论

一、基本内容：

集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集

二、基本结论

1、集合的运算规律

2、可数集的性质

（1）任何无限集必含有可数子集

（2）可数集的子集至多是可数的。即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集

A={}

n

x

x

x

a

,

,

,2

1

Λ,

()()

()n

k

x

x

x

k

k

k

.

,2,1

;

,

,2

1Λ

Λ=

=

则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：

1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明

两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理

解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某

个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数

集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集

一、基本内容：

度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以

及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论

1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

三、基本要求：

1、明确n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在

极限理论中的作用。

2、理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。

3、理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。

4、理解直线上开集、闭集、完备集的构造。

5、理解康托集的构造、特性。

四、重点： 1、能够正确计算点集的边界、聚点和闭包

2、能够正确应用Cantor 集合的构造及性质举例。

五、学习主要事项：本章介绍的点集是带有某种距离结构的集合，通过内点和聚点可以定义其它的所有概念；集合的开、闭性是集合的整体性质，利用它可以定义函数的连续性；本章最后的例子介绍康托集，它的构造方法十分有用，利用这种方法。我们可以构造类似的不同性质的例子，例如，测度为任意正数的疏朗集。

第三章测度论

一、基本内容：外测度及其性质；Lebesgue可测集及其性质。

二、基本结论

1、可测集的性质（基本性质、运算性质）。

2、可测集的构造。

3、不可测集是存在的。

4、常见可测集。区间、开集、闭集，零测集及其子集以及由这些集合的可数

并、交、差等运算而得的集合。

三、基本要求：

1、理解测度的意义。

2、理解外测度的意义，掌握其有关性质。

3、理解可测集的定义，掌握可测集的性质。

4、了解并掌握不可测集的存在性这一结论。

四、重点：1、用概念求一、二维空间点集的测度

2、用可测集合的有关性质证明相关的结论。

五、学习主要事项：本章介绍的测度是直线上线段的“长度”，平面图形的“面积”，

空间立体的“体积”在欧氏空间的推广。我们需要注意，对具体的集合而言，有时与我们的“直观”有差异。例如，全体有理数集合的测度为零，但是它是无界集合；

[]1,0的全体无理点所成的集合的测度为1，但是它却不含任何区间；康托集是不可数集合，但是它的测度为零。

第四章可测函数

一、基本内容

可测函数的概念、性质及其构造，可测函数的各种收敛性及其关系。

二、基本结论

1、可测函数经过四则运算后仍是可测函数。

2、几乎处处相等的函数有相同的可测性。

3、可测函数列的极限函数仍是可测函数。

4、各种收敛性的关系。

三、基本要求：

1、掌握可测函数的定义及等价定义。

2、掌握可测函数的有关性质。

3、理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。

4、掌握叶果洛夫定理，鲁津定理以及它们的逆定理的证明。

5、掌握依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与几乎处处收敛的联系与区别。 四、重点：1、可测函数的概念。

2、叶果洛夫定理逆 定理及鲁津定理逆 定理的证明 。

3、按定义证明依测度收敛。

4、用可测函数各种收敛性的关系证明相关的结论。

五、学习主要事项：本章介绍的可测函数必须是定义在可测上，我们以前熟悉的连续函数（定义在可测集上）是可测的，可测函数列的“几乎处处收敛”、“近一致收敛”、“依测度收敛”既有区别又有联系，学习时必须认真理请它们的关系。（参见前面的图示）

第五章

积分论 一、 基本内容：黎曼积分可积性的证明， L-积分的定义及其性质，积分的极限定

理，有界变差函数，不定积分与绝对连续函数。

.

.e a f f n →

在黎斯定理条件下的子列在叶果洛夫条件下

在f

f n ⇒..u a f n