(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

（0195）《实变函数》复习大纲
第一章集合论
一、基本内容：
集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集
二、基本结论
1、集合的运算规律
2、可数集的性质
（1）任何无限集必含有可数子集
（2）可数集的子集至多是可数的。

即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集
A={}
n
x
x
x
a
,
,
,2
1
Λ,
()()
()n
k
x
x
x
k
k
k
.
,2,1
;
,
,2
1Λ
Λ=
=
则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：
1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明
两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理
解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某
个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。

即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数
集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。

我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集
一、基本内容：
度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以
及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论
1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

三、基本要求：
1、明确n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在
极限理论中的作用。

2、理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。

3、理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。

4、理解直线上开集、闭集、完备集的构造。

5、理解康托集的构造、特性。

四、重点： 1、能够正确计算点集的边界、聚点和闭包
2、能够正确应用Cantor 集合的构造及性质举例。

五、学习主要事项：本章介绍的点集是带有某种距离结构的集合，通过内点和聚点可以定义其它的所有概念；集合的开、闭性是集合的整体性质，利用它可以定义函数的连续性；本章最后的例子介绍康托集，它的构造方法十分有用，利用这种方法。

我们可以构造类似的不同性质的例子，例如，测度为任意正数的疏朗集。

第三章测度论
一、基本内容：外测度及其性质；Lebesgue可测集及其性质。

二、基本结论
1、可测集的性质（基本性质、运算性质）。

2、可测集的构造。

3、不可测集是存在的。

4、常见可测集。

区间、开集、闭集，零测集及其子集以及由这些集合的可数
并、交、差等运算而得的集合。

三、基本要求：
1、理解测度的意义。

2、理解外测度的意义，掌握其有关性质。

3、理解可测集的定义，掌握可测集的性质。

4、了解并掌握不可测集的存在性这一结论。

四、重点：1、用概念求一、二维空间点集的测度
2、用可测集合的有关性质证明相关的结论。

五、学习主要事项：本章介绍的测度是直线上线段的“长度”，平面图形的“面积”，
空间立体的“体积”在欧氏空间的推广。

我们需要注意，对具体的集合而言，有时与我们的“直观”有差异。

例如，全体有理数集合的测度为零，但是它是无界集合；
[]1,0的全体无理点所成的集合的测度为1，但是它却不含任何区间；康托集是不可数集合，但是它的测度为零。

第四章可测函数
一、基本内容
可测函数的概念、性质及其构造，可测函数的各种收敛性及其关系。

二、基本结论
1、可测函数经过四则运算后仍是可测函数。

2、几乎处处相等的函数有相同的可测性。

3、可测函数列的极限函数仍是可测函数。

4、各种收敛性的关系。

三、基本要求：
1、掌握可测函数的定义及等价定义。

2、掌握可测函数的有关性质。

3、理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。

4、掌握叶果洛夫定理，鲁津定理以及它们的逆定理的证明。

5、掌握依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与几乎处处收敛的联系与区别。

四、重点：1、可测函数的概念。

2、叶果洛夫定理逆 定理及鲁津定理逆 定理的证明 。

3、按定义证明依测度收敛。

4、用可测函数各种收敛性的关系证明相关的结论。

五、学习主要事项：本章介绍的可测函数必须是定义在可测上，我们以前熟悉的连续函数（定义在可测集上）是可测的，可测函数列的“几乎处处收敛”、“近一致收敛”、“依测度收敛”既有区别又有联系，学习时必须认真理请它们的关系。

（参见前面的图示）
第五章
积分论 一、 基本内容：黎曼积分可积性的证明， L-积分的定义及其性质，积分的极限定
理，有界变差函数，不定积分与绝对连续函数。

.
.e a f f n →
在黎斯定理条件下的子列在叶果洛夫条件下
在f
f n ⇒..u a f n
二、基本结论
1、在测度有限情形下，有界可测函数是可以积分的。

2、可积函数的性质。

3、积分收敛定理。

4、R-积分与L-积分的关系。

三、基本要求
1、了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。

2、理解勒贝格积分的定义及其建立过程。

3、掌握R积分与L积分的关系。

4、掌握L积分的性质，特别是掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。

5、掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法
都引理。

四、重点：1、计算函数的积分值。

2、利用控制收敛定理及逐项积分定理求积分列的极限。

五、学习主要事项：L-积分是黎曼正常积分的推广。

本章从具体到一般逐步给出积分概
念，首先对定义在测度有限的可测集上的有界可测函数定义积分，然后对非负函数定义积分值，最后对一般可测函数定义积分值，从而定义其可积性。

值得注意的是，不可积函数有时可以计算积分值（这时积分值为无穷大）。

在L-积分下，积分与极限交换顺序的条件是比较容易满足的。

（0195）《实变函数》样题及解答
一、 判断下列命题是否正确（每小题1分，共10分）。

1．无界勒贝格可测集合的勒贝格的测度必为∞+。

2．可数点集一定为零测集。

3．设E 为1R 的可测子集，0>mE ，E 一定含有一个区间 。

4．开集1G 是开集2G 的真子集，则21
mG mG <。

5．设()()x g x f ,均是可测集合 E 上的可测函数，且对任何()()x g x f E x <∈,，若()x g 为L-可积，则()x f 也L-可积。

6． 开集减去闭集是开集。

7． 设(){}x f n 是可测集E 上的可测函数列， ()()x f x f n n
inf =，则()x f 是可测函数。

8． 有界可测集上的勒贝格可积函数一定是几乎处处有限的可测函数。

9．设f(x)是L 可积函数，g(x)是L 不可积函数，则f(x)+g(x)是L 不可积函数 。

10．设q
R E ⊂，p 是E 的内点，则p 一定是E 的聚点 。

答案： 1、错误 2、正确 3、错误 4、错误 5、错误
6、正确
7、正确
8、正确
9、正确 10、正确
二、填空题（每小题2分，共10分）。

3．设E 是平面上矩形{(x ，y)|0≤x ≤2|，0≤y ≤2}中坐标都是有理数的点组成的集合，则
mE=__________
4． 设()[]()[]
=⎩⎨⎧-∈∈=⎰
1,0,1,0,
x f P P
x e
P x x x f x
是康托集，则其中
________
6．4、设n
R E ⊂,()x f 是E 上的实值函数，α是实数，则
[]I ∞
=->1
1n n f
E α= 。

7．可数点集的L 外测度是 。

8．设()x f 是可测集n
R E ⊂上的有界函数，∞<mE ，则()x f 在E 上L 可积的
条件是()x f 在E 上可测。

9．设可数集合A 的基数是a ，B 是有限集，则B A ⋃的基数是 。

10．设()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数，E 是()x f 的不连续点集，则
=mE 。

答案：1、(]20，
2、[]10，
3、 0
4、1-e
5、几乎处处
6、[]α≥f E
7、 0
8、充要
9、a 10、 0 三、(10 分)证明：整系数多项式全体所成之集是可数集。

证明： 设A 为整系数多项式全体所成之集，记
{}
n i a x a x a x a a P i n n n ,,3,2,1|2210ΛΛ=++++=是整数，
n A (){}n i a a a a a i n ,,3,2,1|,,,,210ΛΛ==是整数，，
由于整数是可数集合，从而n A 可数 令:ϕ ()n n
n a a a a x a x a x a a ,,,,2102210ΛΛ→++++
易知，ϕ 是n P 到n A 的一一对应。

故n P 可数。

因此Y ∞
==1n n P A 也可数。

四、(10 分)设(){}(){}()Λ,3,2,1,=n x f x g n n 是可测集E 上的可测函数列，()x g ，()x f 是
定义在可测集E 上的可测函数，若f f n ⇒，g g n ⇒ 。

证明 g f g f n n +⇒+ 证明： 对任何正数0>σ
()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡
≥-⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥-⊂≥+-+2||2||||σσσg g E f f E g f g f E n n n n
()[]⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
≥-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥-≤≥+-+2||2||||σσσg g mE f f mE g f g f mE n n n n
由于右边各项收敛于零，故()[]()∞→→≥+-+n g f g f mE n n 0||σ。

五、（10分）设,+∞<mE (){}()Λ,3,2,1=n x f n 是E 上的一列可测函数，证明
()()()∞→→+⎰n dx x f x f E n n 0
||1|
|的充要条件是0⇒n f
证明： 充分性 由0⇒n f 及定义知0||1||⇒+n n f f ，且1|
|1|
|≤+n n f f ，由控制
收敛定理得结论。

必要性 由于σ
σ
σ+≥+⇔
≥1||1||||n n n f f f
[]≤≥+σσ
σ
||1n f mE ()()[]≤
+⎰
≥dx x f x f n f E n
n σ||||1|
|()()()∞→→+⎰n dx x f x f E n n 0
||1|
|
故0⇒n f
六、（10分）设
()[][]⎩⎨
⎧=的有理数
，是的无理数，是10103
x x
x x x f ，()[]10，
在x f 上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？为什么？ 若可积，则计算其积分值。

解：(1) ()x f 在[0，1]上不是黎曼可积的，因为()x f 的不连续点集)1,0(不是零测集。

(2) ()x f 在[0，1]上是勒贝格可积的，因为()x f 有界可测。

记]1,0[1⋂=Q E ，12\]1,0[E E =，则
()⎰
]
1,0[)(dx x f L =()dx x f E ⎰1
+()dx x f E ⎰2=dx x E
⎰1+dx x E ⎰23=0+dx x E ⎰2
3
=dx x E ⎰1
3
+dx x E ⎰
2
3=⎰
]
1,0[3
dx x =⎰
]
1,0[3
)(dx x R =4
1。

七、（10分）计算：xdx x
n x n n 5
10
2
42cos 1lim ⎰
+∞
→
解：令Λ,2,1],1,0[,cos 1)(5
2
42=∈+=n x x x
n x n x f n ，则1|)(|≤x f n 且对任何]1,0[∈x 都有0)(lim =∞
→x f n n 。

显然，)(x f n 在]1,0[上连续可测，由Lebesgue 控制收敛定理，
00)()(cos 110
10105
1
022lim lim lim ====+⎰⎰⎰⎰∞
→∞→∞→dx dx x f dx x f xdx x n nx n n n n n 。