§2-1 弯曲正应力、剪应力、剪力流、剪切中心

一般情况： 一般情况： 、 取形心为坐标原点，假设截面上的剪力流ｑ，根据静力等效条件（无扭转） ｑ，根据静力等效条件 取形心为坐标原点，假设截面上的剪力流ｑ，根据静力等效条件（无扭转）
Qy X0 −QxY0 = ∫ ρ ⋅ qds
0
l
分别令 Qy = 0 ，Q = 0 ，得到两个方 x 程，求得 X0 、 0，其中剪力流方程见 Y 式（2-15） ） 由此可得弯曲中心计算公式。 由此可得弯曲中心计算公式。
由图知： 由图知： 则：
∫
s
0
yδ s （积分必须从剪应力零点开始） d 积分必须从剪应力零点开始）
ds = rdϕ
ϕ
0
y = r sin ϕ
∫
s
0
yδds = ∫ r 2δ sin ϕ ϕ = r 2δ( − cosϕ) d 1
π π 8 (r +δ 2)4 8 (r −δ 2)4 IZ = − ≈π ⋅ r3δ 32 32
1）当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲；如只通过弯曲中 ）当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲； 心不平行于主惯性轴，则为斜弯曲。 心不平行于主惯性轴，则为斜弯曲。 由两个相交矩形组成的截面的弯曲中心
2）对于具有对称轴的截面 ） 弯曲中心在对称轴上，若截面具有两个对称轴，则两个对称轴交点， 弯曲中心在对称轴上，若截面具有两个对称轴，则两个对称轴交点，既为 弯曲中心
F 1
h u
F 1
A F 2 A
τ
F 2
d x
b 1
P
QZ S* τM = IZ d
其中 S 为所求点处横线以外面积对中 性轴的面积矩（求面积ｙ为的函数， 性轴的面积矩（求面积ｙ为的函数，面 积矩为ｙ的二次函数， 积矩为ｙ的二次函数，则腹板剪应力分 布为二次抛物线分布， τ 布为二次抛物线分布，max 在中性轴 处）。
扇性惯性积
当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲； 当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲；如只通过弯曲中心不 平行于主惯性轴，则为斜弯曲。 平行于主惯性轴，则为斜弯曲。
y y
Qy
y
Q
Q
B
C
z
B
Q
z
B Qz
z
C
C
zb
纯弯曲 弯扭组合
zb
斜弯曲（双向弯曲） 斜弯曲（双向弯曲）
z
b
y
τmax
y2
q
z
b
则横截面上任一点处的剪力流等于剪应力与该点处的厚度的乘积： 则横截面上任一点处的剪力流等于剪应力与该点处的厚度的乘积：
q =τ ⋅t
对薄壁开口截面，由于剪力流的合力形成一扭矩，这样截面不仅发生弯曲， 对薄壁开口截面，由于剪力流的合力形成一扭矩，这样截面不仅发生弯曲，还有 扭矩，当截面剪力Q作用于 点时，弯曲发生在主惯性平面（ 平面内弯曲 作用于B点时 平面内弯曲）， 扭矩，当截面剪力 作用于 点时，弯曲发生在主惯性平面（x y平面内弯曲）， 必须将其移到主惯性平面，通过移轴产生附加力矩QZ 必须将其移到主惯性平面，通过移轴产生附加力矩 b，必然有一点该附加力矩 正好与剪力流产生的扭矩平衡。该点为弯曲中心（或称剪切中心）， ），此时截面只 正好与剪力流产生的扭矩平衡。该点为弯曲中心（或称剪切中心），此时截面只 弯不扭。 弯不扭。
* Z
y
h u
P
b 1
τmax
y2
z
b
翼缘上剪应力比较复杂，截面上剪应力是由于梁在弯曲过程中， 翼缘上剪应力比较复杂，截面上剪应力是由于梁在弯曲过程中，纵向纤维欲发生 相对错动而产生纵向剪应力，根据剪应力互等定理得到截面剪应力， 相对错动而产生纵向剪应力，根据剪应力互等定理得到截面剪应力，因此翼缘上 存在两种剪应力： 存在两种剪应力： ａ）平行于ｙ ａ）平行于ｙ轴的剪应力分量 平行于
h u
y2
整个截面剪力流分布： 整个截面剪力流分布： 横截面上的剪应力从顶翼的最外侧“ 横截面上的剪应力从顶翼的最外侧“流”向 里面，接着向下通过腹板，最后向外“ 里面，接着向下通过腹板，最后向外“流”向底 翼缘的外侧，这种“ 翼缘的外侧，这种“流”在任何结构截面中总是 h u 连续的， 连续的，所以它可用来作为确定应力方向的便利 方法，剪力向下作用梁上，腹板剪力流必定向下。 方法，剪力向下作用梁上，腹板剪力流必定向下。 τ f2 剪力流对薄壁截面的剪力分布做了两点假设 １）横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化（因 横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化（ 为是薄壁结构变化不大）； 为是薄壁结构变化不大）； ２）剪应力的方向与横截面的中线平行（或相 剪应力的方向与横截面的中线平行（ 切）。
I y ⋅ Iωy − I xy ⋅ Iωx X0 = 2 I x ⋅ I y − I xy I xy ⋅ Iωy − I x ⋅ Iωx Y = 2 0 I x ⋅ I y − I xy
其中： 其中：
I = bω s ωx ∫ xtd 0 b Iωy = ∫ ω s ytd 0
yb = 0
Q b = ∫ r ⋅ qdA = ∫ Z
0
2π
2π
Q
0
π
(1−cosϕ)rdϕ = 2rQ
Zb = 2r
可见与剪力无关， 可见与剪力无关，只是截面几何特征
例2-2 试求等厚度圆形闭口截面 Q = 0, Qy = Q 时的剪力流和弯曲中心 z
b
y
dA
y
Qy = Q dϕ ϕ o、 、 c B
πδ
cosϕ
δ
B C C C（B） （ ）
B
y
例题2-1 例题 试求等厚度开口截面 Q = 0 , Qy = Q 时的 z 剪力流和弯曲中心
Qy = Q
B
o、 c
z
δ
Zb
y
Qy = Q dϕ
y
dA s
B
o、 c
ϕ
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z
q
z
δ
r
1.求剪力流 求剪力流q 求剪力流 Qy s Qy τ= ∫ ydA=δIZ b Z 0 I
τf 2
y
τf1
y2
τ f1 =
*
Q S IZb
* Z
τ f1
h u
t
b
F 1
h u
z
〉〉 要小得多， 与腹板相比 SZ 要小得多，而又 b t，因 很小，往往忽略不计； 此 很小，往往忽略不计；
A
ｂ）取 点的微单元， ｂ）取Ａ点的微单元，拉力 F 大于拉力 F , 2 1 平衡，剪应力的方向也可定下来， 平衡，剪应力的方向也可定下来，既与翼缘 长边平行的剪应力分量： 长边平行的剪应力分量：
z
z
δ
r
a
解：
由于截面关于坐标轴对称，所以弯曲中心即截面的形心，下面求剪力流 ， 由于截面关于坐标轴对称，所以弯曲中心即截面的形心，下面求剪力流q， 根据材料力学： 根据材料力学：
Q * S Q s Q ϕ 2 τ= = y ⋅ δds = d r2 π r δ sin ϕ ϕ = − δ cosϕ 0 − I Zδ I Zδ ∫ I Zδ ∫ 2
第二章 箱梁的纵向弯曲 剪力流、 §2－1 弯曲正应力 σM、剪应力 τM、剪力流、剪切中心 －
按材料力学初等梁理论： 按材料力学初等梁理论：
y
M y σM = IZ
QZ S* τM = IZd
y
b 1
x
弯曲正应力按与中性轴的距离成正比线性分布， 弯曲正应力按与中性轴的距离成正比线性分布，而剪应力则比较复杂
F 1
F 与 F的差值由截面剪应力τh d 来 1 2 u x
A F 2
τ
F 2
dx
b 1
P
P
τf 2
Q 1 u y2 Q 1y2 bh Q Z S* b = = = IZh IZh IZ u u
y
b 1
翼缘板中的剪应力沿轴线性分布， 翼缘板中的剪应力沿轴线性分布，在翼缘板外边缘 剪应力为零． 剪应力为零．
y
y F 1
b
z
y
F 1
z
Q
Q
B
F 2
Q
M =Q b Z
a c
F 2
z
Q
F 3
zb
F 3
Q b = Fa + F b+ F c Z 1 2 3
也就是说，截面上剪应力的合力作用点，既为弯曲中心， 也就是说，截面上剪应力的合力作用点，既为弯曲中心，截面上剪应力的合力作 用点是固定的，由截面的几何形状决定。 用点是固定的，由截面的几何形状决定。
τmax
以宽翼缘工字形截面为例： 以宽翼缘工字形截面为例： 腹板按二次抛物线分布最大值在 中性轴处， 中性轴处，翼板上的剪应力分布 情况较复杂，因为此时d=b，b较 情况较复杂，因为此时 ， 较 相对来说剪应力很小， 大，相对来说剪应力很小，一般 不考虑。 不考虑。
h u
y2
z
b
根据剪应力互等定理， 根据剪应力互等定理，除 了平行ｙ轴的剪应力分量外， 了平行ｙ轴的剪应力分量外， 还有与翼缘长边平行的剪应力 分量。 分量。 让我们取顶面翼缘右边部 分的应力来讨论： 分的应力来讨论： 腹板剪应力
（面积静矩必须从剪应力零点开始，因为对称， 面积静矩必须从剪应力零点开始，因为对称， 剪力为反对称荷载在对称轴a、b点处为零） 点处为零） 剪力为反对称荷载在对称轴 点处为零 而 作业： 作业： 试求薄壁半圆形 横截面的剪切中 心
y
r
o、 c
z
IZ =πr δ
3
则：
τ=
Qy
πrδ
cosϕ q =
Qy
y 代入得： 代入得： τ = Q ( −co ϕ) 1 s πδ r
可求剪力流： 可求剪力流：
再由
q =τ ⋅ δ
q=
Qy
πδ
( −cosϕ) 1
Zb
Qy = Q
y
dϕ
y
dA
B
o、 c
ϕ
r
z
z
δ
2. 求截面弯曲中心
因为截面关于Ｚ轴对称，所以弯曲中心一定在Ｚ轴上，既 因为截面关于Ｚ轴对称，所以弯曲中心一定在Ｚ轴上， ，只需求 Zb