第二章 平台式惯性导航系统

φx （3）初始对准误差 水平对准角对加计影响 Δα = gφx 则有 Δv = ∫ Δα dt =gφxt 2 g φ t x Δx = ∫ Δvdt = 2
10
可见，惯性导航系统导航的精度与惯性 器件（陀螺仪及加速度计）的精度及初始对 准误差等有关，也与工作时间相关。即使系 工作时间 统在开始工作时有优异的精度，随着工作时 间的增加，误差将会累积，导航性能将逐渐 误差将会累积 降低。因此为了提高导航精度，需要其它的 辅助信息校正惯性导航误差。
••
••
f = R− G
••
（2-2-6）
16
f 即为比力，即加速度计测量量。
二、导航系统比力方程
设载体在地心惯性坐标系中的位置矢量为 R 。矢量相对惯 性坐标系求其对时间的变化率为绝对变化率，矢量在动坐 标系的投影对时间的变化率称为相对变化率。若动坐标系r 相对惯性坐标系作定点转动，转动角速度ωir 是确定的， 则矢量的绝对变率与相对变率之间的关系为：
图2-1-2简化惯导平台
4
例3 假设有一质量块，沿水平轴线直线运动，加速度 可测得为a，初始位置 x 、速度 v0。则其在某一时刻t的 速度和位置即可由下式求出，实现了简单的一维水平 导航
0
v ( t ) = v0 + ∫ α dt
0
t
x ( t ) = x0 + ∫ v ( t )dt
0
t
（2-1-1）
例1 如图2-1-1假设有一小车以加速度a 加速水平运动， 车内有一惯量小球质量为m,可测得其与垂直面呈α角 则由小球的受力分析可知加速度a= gsinα。显然惯导 工作原理不需要接收任何外界的信息，也不向外发射 信息，全自主工作。
图2-1-1 简化惯导自主工作原理图
3
例2 如图2-1-2，假设有一小船沿一维直线运动，且也有 惯性小球测加速度，但由于小船在水中有摇摆， 加速度 计测量值将混合重力加速度和摇摆运动加速度，使推算 水平加速度a受到影响。显然需要一个惯性稳定平台不随 船摇动，使测量轴保持在水平面上，通过陀螺仪可以实 现这一目的。
dR dt r
ωir
ωir × R
d R = d R + ω ir × R dt dt
i r
（2-2-7）
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如取地球坐标系为动坐标系，则载体的位置矢量的微分方程为 （2-2-8） d R = d R +ω × R 式中
是载体相对于地球的速度，是重要导航参数，式（2-2-8）写成 ：
dt i dt e ie d R = V ep dt e
∇
Δα = ∇
Δv = ∫ Δα dt =∇t
2 ∇ t Δx=∫Δvdt = 2
9
（2）陀螺常值漂移 角度偏值 则对加速度计的影响
φy =ε t
ε
小角度近似
Δα = g sinφy = gφy = gε t 2 g t ε Δv = ∫ Δα dt = 2 3 g ε t Δx = ∫ Δvdt = 6
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎜ ⎝ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
（2-2-15）
f =V ep + 2ωie + ω ×V ep − g
⎞ ep ⎟ ⎟ ⎠
g
（2-2-17）
这就是载体相对于地球运动时，加速度计测得的比力表达式，称 ⎛ ⎞ ⎜ 2ω ie ×V ep ⎟⎟ 是哥氏加速 为比力方程，式中 V ep是相对地球的加速度； ⎜ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ω ep ×V ep ⎟ g是 度， 是由于载体围绕地球转动所产生的向心加速度， ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 地球重力加速度。 20
图2-3-1地理坐标系和地球坐标系
21
2-3-1 平台指令角速度
地理坐标系的方位随地球自转和载体航行而不断地改变，因 此，必须给平台加指令信号，使平台作相应的转动以保持与地理 t 坐标系的一致。地理坐标系相对于惯性坐标系的转动角速率为ωit
t =ω t +ω t ωit et ie
t ⎤ ⎥ iex ⎥ t ⎥ iey ⎥ t ⎥ ⎥ iez ⎥ ⎦
F = mα = m
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ 2 d R⎟ ⎟ 2 dt ⎟
（2-2-1）
⎠I
α 是绝对加速度
I 表示相对惯性空间
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F 为作用在P点上的全部作用力
如图2-2-1，图中M为质量块，由一个弹簧把它悬挂起 来，阻尼器C使加速度计有稳定的输出。用R表示加速度 计壳体（即载体）相对于惯性空间的位移，x 为质量块 g 为重力加速度。 当载体以加速度 M相对于壳体的位移， 向上运动时，则质量M的运动方程为：
m R − x = kx + cx − mg
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
稳态时：
k x = R+ g m
（2-2-2）
C
M
x
x是弹簧的变形位移值，也就是加速度 计的指示值或输出值，由式（2-2-2）可知 输出值就是比力。如果在比力中补偿了引 力加速度的影响，即可求得绝对加速度。
M
2 -2-1加速度计原理图
Vep = dV ep dt
p
则可得
d 2 R =V + ⎛⎜ 2ωie +ω ep ⎞⎟×V ep +ωie ×⎛⎜ωie × R ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ dt 2 i ep ⎜⎝ ⎝ ⎠
（2-2-14）
19
2R d f = − G 代入上式，得 将已知（2-2-6）式 2 dt i
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ep ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
0
0
VN 0 AN AE
ϕ0
VN
∫ ∫
+
⊗
∫ ∫
1 R
+
⊗
+Biblioteka Baidu
ϕ
λ0
λ
VE
+⊗ VE 0
1 R cosϕ
⊗
2-1-4 平台坐标系和地理坐标系
2-1-5 惯导系统原型示意图
7
由加速度算得载体的地速分量为
VN = ∫α N dt +VN 0 VE = ∫α E dt +VE 0
（2-1-2）
根据地理坐标系的定义，由V 和V E可求得载体的纬度ϕ 和 经度 λ ，也就是求得载体在地球上的位置
第二章 平台式惯性导航系统
§2-1惯性导航的基本概念
2-1-1 惯性导航的基本原理
惯性导航系统是利用惯性敏感器件，基准方 向及最初的位置信息来确定运载体的姿态、位置 和速度的自主式航位推算系统，简称惯导。 自主式航位推算系统 惯导是一种自主式的导航方法，它完全是利 用载体自身设备独立自主的进行导航，它与外界 不发生任何光、电、声、磁的联系，从而实现了 与外界条件隔绝的，假想的“封闭”空 间内实现导 航，所以它具有隐蔽性好，工作条件不受气象条 件和人为的外界干扰，且不向外发射任何信息等 件和人为的外界干扰 一系列的优点，这些优点对于军用飞机，导弹， 舰船显得特别重要。 2
5
例4 如图2-1-3为二维平面惯性稳定平台简化图，平 台始终与当地水平面一致，加速度计 AE和 AN 始终指向 正东和正北方向，两者相互垂直没有耦合，假定初 始位置、速度已知，加速度分别为α x和α y ，则在某一 时刻的两个方向的速度和位置可以算出（类似例3的 情况）。 y
A
N
A
E
x
图2-1-3二维平面的惯性稳定平台简化图
（2-3-1）
地球自转角速率为
⎡ ⎤ ω ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ t ⎢ ωie = ω = ⎢ωie cosϕ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ω ⎢ωie sinϕ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
（2-3-2）
载体相对地球坐标系的角速率为
ω t = ω ωet ω
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
t ⎤ etx ⎥ t ⎥ ety ⎥ ⎥ t ⎥ etz ⎥ ⎦
i
（2-2-10）
dωie
i
18 （2-2-11 ）
加速度计沿平台坐标系正交安装，测量值为沿平台坐标系三个轴 的比力分量，因此取平台坐标系为动坐标系，则得
dV ep = dV ep +ωip ×V ep dt dt
i p
（2-2-12）
将式（2-2-9），（2-2-12）代入式（2-2-11）中，又因 ωip =ωie +ω ep 故式（2-2-11）为 d 2 R = dV ep + ⎛⎜ 2ω ie +ω ep ⎞⎟×V ep +ω ie × ⎛⎜ω ie × R ⎞⎟ （2-2-13） ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ dt 2 i dt p ⎜⎝ ⎝ ⎠ 令
11
2-1-2 平台惯导的组成
加速度计 用来获取载体的加速度信息。 惯导平台 模拟一个导航坐标系，是加速度计的安装基准，并用 模拟的方法给出载体的姿态和方位信息。克服作用在平台上的各 种干扰力矩，平台必须有以陀螺仪作为敏感元件的稳定回路。为 稳定回路 了使平台能跟踪导航坐标系在惯性空间的转动，平台还必须有从 加速度计到计算机再到陀螺仪并通过稳定回路形成的跟踪回路。 跟踪回路 导航计算机 导航参数计算，给出控制平台的指令角速率信息。
d R = V ep + ω ie × R dt
i
（2-2-9）
将式（2-2-9）两边相对惯性坐标系求导数得 d 2 R = dV ep + d ⎛⎜ω ie × R ⎞⎟ ⎟ ⎟ dt dt i ⎜⎜⎝ dt 2 i ⎠ 因ωie是常值则有 dt = 0 ，故式（2-2-10）为 d 2 R = dV ep + ω ie × d R dt dt i dt 2 i
2-2-2比力及比力方程 2-2平台式惯导系统的基本原理
一 比力
加速度计是惯性导航系统中重要的敏感元件，它输出与载体 运动加速度成一定关系的信号，加速度计测量的不是载体的
运动加速度，而是载体相对惯性空间的绝对加速度和引 力加速度之差，称作比力。设一质点P，质量为m，在惯性坐
标系中的位置矢量为R，则有牛顿第二定律可知
6
例5 如图2-1-4和2-1-5，假定载体在地球表面等高度运动， 不考 等高度 虑地球的自转，并设地球是半径为 R的圆球体，初始位置纬度 虑地球的自转 为ϕ ,经度为 λ ,初始的地速分量北向为VN 0，东向为VE 0 。沿轴 oxp 和 轴 oyp 装两个加速度计AE 和 AN ，分别测量东西方向的加速度 α E 和 南北方向的加速度α N 。
f + G = V ep + 2ω ie + ω ×V ep + ωie × ω ie × R
考虑到地球的重力场是地球引力和地球自转时所产生的离心力的 ωie ⎛ ⎞ ⎜ 矢量差，即 ω⎞ie ×⎜ωie × R ⎟⎟ ⎛ ⎠ g = G − ω ie × ⎜⎜ω ie × R ⎟⎟ ⎝ （2-2-16） 将（2-2-16）式代入（2-2-15）式得 G
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因为 （2-2-3） F = F引+F外 F引是作用在P点的引力； F外是作用在P点的除引力以外的外力，也称为非引力。 而 F引 = mG G为引力加速度 故式（2-2-3）可写成
令 由 式（2-2-4）得
F 外 + mG = m R F外 +G = R （2-2-4） m F外 = f （2-2-5） m
2-3指北方位惯性导航系统的力学编排方程
指北方位惯性导航系统是 用地理坐标系为导航坐标
系，平台坐标系在载体航行的
过程中始终跟踪地理坐标系。 三个加速度计的敏感轴分别沿 平台的三个轴安装，图2-3-1表 示地理坐标系和地理位置的关 系，地理坐标系和地理位置经 度、纬度的关系简单、明确， 是最基本的导航坐标系。
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图2-1-6惯导系统
组成部分示意图
1、当地水平面惯性导航系统 这种系统的导航坐标系 oy p保持 是当地水平坐标系，即平台坐标系的两个轴oxp、 oz p 轴为地垂线方向。 在水平面内， 导航坐标系 oy p 轴在系统工作 oxp、 （1）指北方位惯导系统：这是指 指北 过程中，始终指向地理东向和北向，也就是平台坐标系 跟踪地理坐标系。 空间稳定 跟踪地平 oy p 轴 （2）自由方位惯导系统：在系统工作中，平台的 自由 与地理北向夹某个角度，由于可以有多种变化规律，因 此有游动方位、自由方位之分。 游动方位、自由方位 自由地平 指北地平 2、空间稳定惯导系统：这种系统的导航坐标系是地心 空间稳定惯导系统 oz p 相对 oy p 、 惯性坐标系。理想情况下，平台坐标系 oxp、 惯性坐标系一致，无相对转动。 游动方位 自由方位 13
N
VN dt + ϕ 0 ϕ=∫ R V λ = ∫ E sec ϕ dt + λ 0 R
（2-1-3）
惯性稳定平台随载体航行中，要始终保持当地水平，而 且x轴，y轴始终指向正东和正北的方向，可以避免重力 α y的交叉干扰。 加速度 g和α x 、
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例6 惯性导航系统在结构安装，惯性器件本身及工程 实现中不可避免的存在误差，下面简单分析在一维直线 运动情况下误差源对系统导航精度的影响 （1） 加速度计常值零偏 则加速度误差 速度误差 位移误差