立体几何中的最值

立体几何最值问题

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立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值

例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ）

A. 5

5 B. 5

5

2 C. 2 D. 1

二、定性分析法求最值

例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。

三、展成平面求最值

例 3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，

AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ）

A. 2a

B. 2b

C. 2c

D. a+b+c

图3-1

四、利用向量求最值

例4. 在棱长为1的体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为_______。

一、线段长度最短或截面周长最小问题

例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.

例2.如图，形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<

（2）当a 为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面MNA 与面

MNB 所成的二面角α的大小。

例3. 如图，边长均为a 的形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)2

0(π

θθ<

<。点

M 在AC 上，点N 在BF 上，若AM=FN ,(1)求证:MN//面BCE ; (2)求证:MN ⊥AB;

(3)求MN 的最小值.

例4.形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=x ,BN=y, ).2,0(<

例5. 如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a,AC ＝b,D 是斜边AB 上的点，以CD

为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?

例6. 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.

二、面积最值问题

例7. 如图1所示，边长AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太线与地面成30°角，试问：遮阳棚ABC 与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?

例8. 在三棱锥A—BCD中，ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形，二面角A—BC—D＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。

例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为。

例10、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。

例11、在棱长为1的体ABCD —ABCD 中，若G 、E 分别是BB 1、C 1D 1的中点，点F 是形ADD 1A 1的中心。则四边形BGEF 在体侧面及底面共6个面的射影图形面积的最大值是 。

三、体积最值问题

例12. 如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值.

A

B

C

D D 1

A 1

C 1

B 1 E

F

G

评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.

球面上任一点对球的直径所的角等于90°，这应记作很重要的性质.

四、角度最值问题。

例13. 在棱长为1的体ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上的一动点，平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值.

“动态”立体几何题初探

本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。

一、截面问题

截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有一定的可变性。

例1、已知正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面积为S,高为h,过C 点作三棱柱的与底面ABC 成α角的截面△MNC,(0<2

π

α<

),使MN//AB ，求截面的面积。