高阶系统的零、极点分析

题 目: 高阶系统的零、极点分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为

2

(),()(48)p K s b

G s D s s s s s a

+=

=+++

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1、 当系统开环传递函数为()p G s 时，绘制根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位

斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标

2、 当系统开环传递函数为()()p G s D s ，a=0.1,b=0.11时，绘制根轨迹并用Matlab 求取

单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标

3、 当系统开环传递函数为()()p G s D s ，a ＝b=20时，绘制根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标

4、 比较上述三种情况的仿真结果，分析原因，说明偶极子对系统的影响。

时间安排：

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

摘要

本次课程设计的主要任务是对高阶系统零、极点的分析。

一个控制系统的好坏，主要是从系统的稳定性、准确性和快速性三个方面来进行描述的。此次课程设计主要是利用MATLAB绘制高阶系统的根轨迹，了解高阶系统零、极点的分布情况，求取高阶系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应，并分析系统的动态和稳态性能指标。通过增加系统零、极点，求解不同闭环传递函数下系统的各项性能指标，来分析总结零、极点和偶极子对于高阶系统的影响。

关键字：劳斯稳定判据根轨迹零极点稳定要求性能指标

高阶系统的零、极点分析

1系统稳定性分析

劳斯稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳斯表中的第一列数的符号完全相同。如果劳斯表中的第一列的符号不完全相同，则系统不稳定。而且，系统正实部特征根的个数等于劳斯表第一列数的符号变化次数。

根据已知条件可知，所研究系统的开环传递函数：

22()

()()()(48)(48)()

k p K s b K s b G s G s D s s s s s a s s s s a ++=∙=

∙=

++++++ 由开环传递函数可得其闭环特征方程为：

432(4)(84)(8)0s a s a s a K s bK +++++++=

劳斯表如下：

4s 1 84a + bK 3s 4a + 8a K + 0

2

s 2416324a a K a

++-+ bK

1

s 224163241632[(8)(4)]44a a K a a K

a K a bK a a

++-++-⨯+-+⨯++ 0

0s bK

根据劳斯判据可知，系统稳定，则劳斯表中第一列数的符号完全相同。由以上劳斯表可知，当表中第一列均为正数时，系统稳定，得下列不等式组：

40a +>

24163204a a K

a

++->+

224163241632[(8)(4)]044a a K a a K a K a bK a a ++-++-⨯+-+⨯>++

0bK >

简化得：

40a +>

（*） 2416320a a K ++->

32232(1284)(25688)(3216)0a K bK a K bK a K K bK ++-++-+-->

0bK >

由此可知：当设计系统参数K 、a 、b ，使得不等书组（*）成立，则系统稳定。 确定系统开环增益K ：

（1）当20K =时，系统开环传递函数为：2220

()()(48)(48)

k p K G s G s s s s s s s ==

=

++++，可知系统稳定；

（2）当20K =、0.1a =、0.11b =时，系统开环传递函数为：

222()20(0.11)

()()()(48)(48)()(48)(0.1)

k p K s b K s b s G s G s D s s s s s a s s s s a s s s s +++=∙=

∙==

+++++++++， 根据不等式组（*）可知系统稳定；

（3）当20K =、20a b ==时，系统开环传递函数为：

222

()20(20)

()()()(48)(48)()(48)(20)

k p K s b K s b s G s G s D s s s s s a s s s s a s s s s +++=∙=

∙==+++++++++， 根据不等式组（*）可知系统稳定；

故在以下分析时，均取20K =。

2系统开环传递函数为()p

G s 时，对系统的分析

2.1绘制根轨迹

2.1.1利用MATLAB 绘制系统的根轨迹

程序： num=1;

den=conv([1,0],[1,4,8]); sys=tf(num,den); rlocus(num,den); axis([-6,6,-10,10]);

程序运行结果如图2-1所示：

图2-1开环传递函数为()p G s 的系统的根轨迹

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)

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