数学破题36计(10-18)

第10计 聋子开门 慧眼识钟

●计名释义

一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.

上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？

其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.

聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.

为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.

●典例示范

【例1】 若(1-2x )2008 = a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2008x 2008(x ∈R ), 则

(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2008)= (用数字作答)

【思考】 显然a 0=1, 且当x =1时，a 0+a 1+…+a 2008=1, ∴原式=2008a 0+a 1+a 2+…+a 2008 =2007+(a 0+a 1+…a 2008)=2007+1=2008.

【点评】 本例的易错点是：必须将2008a 0拆成2007a 0+a 0,否则若得出2008+1=2009就错了.

【例2】 对于定义在R 上的函数f (x )，有下述命题：①若f (x )是奇函数，则f (x -1)的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R , 有f (x +1)= f (x -1), 则f (x )的图象关于直线x =1对称；③若函数f (x -1)的图象关于直线x =1对称，则f (x )是偶函数；④函数f (1+x )与f (1-x )的图象关于直线x =1对称.其中正确命题的序号为 .

【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x -1)的图象关于点A （1，0）对称，①正确；f (x )= f ［(x +1)-1］= f (x +2)，只能说明f (x )为周期函数，②不对；f (x -1)右移一单位得f (x )直线x =1左移一单位得y 轴，故f (x )的图象关于y 轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y 轴对称.例如设f (x )=x , 则f (1+x )=1+x , f (1-x )=1-x ,两图象关于y 轴对称.

【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x )与f (1-x )误认为f (1+x )=f (1-x )，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R 上的函数f (x )的图象关于直线x =1对称的充要条件.

【例3】 关于函数f (x )=2x -2-x (x ∈R ).有下列三个结论：①f (x )的值域为R ; ②f (x )是R 上的增函数；③对任意x ∈R , 都有f (x )+f (-x )=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上). 【解答】 由y ⇒-

=x x

2

1

2(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真.

∵y 1=2x , y 2=x 2

1

-

都是R 上的增函数，∴y =y 1+y 2=2x -2x -也是R 上的增函数，②真. ∵f (-x )=2x --2x = -(2x -2x -)=-f (x ),

∴当x ∈R 时，恒有f (x )+f (-x )=0（即f (x )为R 上的奇函数) ③真.

【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.

正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选. 本例是“全选”（即“都是”）的题型.

●对应训练

1.设F 是椭圆16

722=+y x 的右焦点，

且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|，|FP 2|, |FP 3| ,…,组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 .

●参考答案

1.椭圆中：a =7, b =6, c =1. ∴e =

7

1,设P i 的横坐标为x i , 则|FP i |=

7

1(7-x i ), 其中右准线x =7.

∵|FP n |=|FP 1|+(n -1)d . ∴d =

.)

1(71||||11--=--n x x n FP FP n

n

∵|x 1-x n |≤27, ∴|d |≤

12-n . 已知n ≥21, ∴|d |≤10

1

, 但d ≠0. ∴d ∈［-101，0)∪(0，10

1

］.

点评：本题有两处陷沟，一是d ≠0, 二是可以d <0, 解题时考生切勿疏忽. 第11计 耗子开门 就地打洞

●计名释义

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，

可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.

庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.

数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.