世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法

世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法

林文业

湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239

摘要: 对于黎卡提(Riccati)方程)()()(/2

x r y x q y x p dx dy ++=,本文先将其化为二阶线性微分方程,再由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得通解。

关键词: 黎卡提(Riccati)方程；通解 一. 方程的线性化及求解

对于黎卡提(Riccati)方程 )()()(/2x r y x q y x p dx dy ++= (1.1) 其中)(x p 在[]b a ,上一阶可导,且0)(≠x p ,)(x q 、)(x r 在[]b a ,上连续, a 、b 为实数。 设Y x f y )(=，0)(≠x f ，则(1.1)化为

)

()()()()()()()(2x f x r Y x f x f x f x q Y x f x p Y +'-+=' (1.2) 令)(1)(x p x f =,则(1.2)为 )()()

()()()(2x r x p Y x p x p x q x p Y Y +'++=' 设)

()()()()(x p x p x q x p x g '+=

,)()()(x r x p x h =,则上式变为 )()(2x h Y x g Y Y ++=' (1.3) 设z

z Y '-=(0≠z ),则(1.3)化为 z x h z x g z )()(-'='' (1.4) 令j x i z )(=,0)(≠x i ,则(1.4)化为

j x i x i x i x h x i x g j x i x i x i x g j )

()()()()()()()(2)()(''--'+''-='' (1.5) 令 0)(2)()(='-x i x i x g , (1.6) 则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j )

()()()()()(''--'='' 简记为j x k j )(='' 其中)()()()()()()(x i x i x i x h x i x g x k ''--'=

(1.7)

解(1.6),得 ⎰=dx x g e x i )(21)( 代入(1.7),得())(2

1)()(41)(2x g x h x g x k '--= (1.8) 由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得微分方程j x k j )(=''的通解为

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x a x a x a m x a x a x a x a m x a dx j x k dx dx x x k x k dx x x k x C dx j x k dx dx x k x k dx x k C x j 2)1(22222222

22)1(12222222

1)()()()()()()()()()()())(()())((1)(其中)()()()()()(21)()()()(41)(2x r x p x p x p x q x p x p x p x q x p x k -'⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛'+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=,[]b a x ,∈, 1C ,2C 为任意常数。 由于)()(21x j e z dx x g ⎰=,z

z Y '-=,Y x f y )(=,因此黎卡提(Riccati)方程(1.1)的通解为 )

()(2)(2)()(x j x p x j x j x g y '+-= 其中 )()()()()(x p x p x q x p x g '+=

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x a x a x a m x a x a x a x a m x a dx j x k dx dx x x k x k dx x x k x C dx j x k dx dx x k x k dx x k C x j 2)1(22222222

22)1(12222222

1)()()()()()()()()()()())(()())((1)()()()()()()(21)()()()(41)(2x r x p x p x p x q x p x p x p x q x p x k -'⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛'+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=,[]b a x ,∈,1C ,2C 为任意常数。方括内的每一项(除第一项外)都有前一项迭代得出。

二. 简单例子

微分方程2

2x y y +='的通解,由上面的论述求得22112211y C y C y C y C y +'+'-=,其中 ()()()()⋯⋯+----⋯⋅⋅-+⋯+⋅⋅+-=m m x m ！

m m m m x ！x ！y 4841424346474652)1(8652421

()()()()⋯⋯++----⋯⋅⋅⋅-+⋯+⋅⋅⋅+⋅-=+)14(952)14(142454647632)1(97632532m m x ！

m m m m m x ！x ！x y []b a x ,∈,1C ,2C 为任意常数。

参考文献

1. 华北师范大学数学系编《常微分方程》、刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》。

2. 《湛江师范学报. 增刊》(2000年)。

作者简介: 林文业,广东省信宜镇隆人,1989年毕业于中山大学力学系,现湛江公路局工作。