《 等腰三角形》 (第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】

第一章三角形的证明

1.1等腰三角形教学设计

第1课时

一、教学目标

1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.

2．进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容.

3．能证明等腰三角形的性质.

二、教学重点及难点

重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法．难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等．

三、教学用具

多媒体课件、直尺或三角板、等腰三角形纸片．

四、相关资源

微课，知识卡片图片.

五、教学过程

【复习导入】

1．通过动画，回忆8条基本事实．

8条基本事实具体内容为：

1.两点确定一条直线.

2.两点之间线段最短.

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）.

5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.

7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.

8.三边分别相等的两个三角形全等.

2．什么是等腰三角形？

相等的两边AB，AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠A叫做顶角，腰和底边的夹角∠B，∠C叫做底角．

设计意图：在此过程中，帮助学生回忆8条基本事实和等腰三角形相关定义，不但可以帮助学生回忆旧知识，还引出了本章证明的主要依据．

【探究新知】

1．想一想：

已经探索过的“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明吗？

已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.

求证：△ABC≌△DEF.

证明：在△ABC和△DEF中

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°.

∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)

∵∠A=∠D,∠B=∠E

∴∠C=∠F

又BC=EF，∠B=∠E，

∴△ABC≌△DEF.

证明得到定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS) 根据全等三角形定义，还可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

设计意图：让学生根据基本事实证明“角角边”定理.鼓励学生独立完成，可以提醒学生首先根据命题画出几何图案，在结合几何图案用数学符号写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.“全等三角形的对应边相等，对应角相等”的提出，以便后续证明使用.

2．做一做:

现在请同学们课前准备好的一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB ，AC 重叠在一起，折痕为AD ，如图所示，你能发现什么现象吗？

3．议一议：

我们曾经探索过等腰三角形的哪些性质？请选择一条进行证明，并与同伴交流. （1）定理：等腰三角形的两底角相等.(简述为：等边对等角）

（2）推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”)

已知：如图，在△ABC 中，AB =AC . 求证：∠B=∠C .

分析：我们刚刚利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.

证明：如图，取BC 的中点D ，连接AD

.

B

B

B

→

→

∵ AB =AC ，BC =CD ,AD =AD . ∴△ABD ≌△ACD (SSS).

∴∠B=∠C (全等三角形对应角相等）.

(另外可以作顶角平分线，证明依据为SAS ；可能有学生作底边上的高并利用勾股定理来证明，对此，要保护学生的学习积极性，也要引导学生认识到：勾股定理尚未用基本事实证明过，从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据；另外还可以不加辅助线证明△ABC ≌△ACB ,关键是把一个等腰三角形看成两个三角形，任何一个三角形都能与本身重合.）

已知：如图，在△ABC 中，AB =AC,取BC 的中点D ，连接AD . 求证：∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝∠CAD ．

证明：由△ABD ≌△ACD 可知，∠BAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°.

设计意图：通过观察、操作、回忆以前的折纸过程，引导学生复习证明的思路.通过证明，得出三角形的性质定理．培养学生发现数学问题、解决数学问题的思维能力．加深学生理解，培养学生正确的学习习惯．教学中鼓励学生寻求其他证明方法.

【典例精析】

例1．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝80°，求∠C 和∠A 的度数．

生：学生独立思考解决问题的方法，有困难小组交流合作，互相补充．并独立完成解答． 师：出示多媒体答案，强调巡视时发现的问题． 解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝80°，

A

C

B

∴∠C ＝∠B ＝80°

∠A =180°-(∠B +∠C )＝20° ∴∠C ＝80°，∠A ＝20°．

例2．如图，已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，BD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数．

生：学生独立思考解决问题的方法，有困难小组交流合作，互相补充并独立完成解答． 师：出示多媒体答案，强调巡视时发现的问题． 找学生板演步骤，师点拨．

解：由AB ＝AC ，∠A ＝30°，得∠ABC ＝∠C =1

2

×（180°-30°）=75°， 又∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝

12∠ABC =1

2

×75°=37.5°， ∴∠ADB =180°-30°-37.5°=112.5°．

设计意图：培养学生灵活运用知识解决问题的能力，鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平．

【课堂练习】

1．等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，40° B ．100°，20°

C ．50°，50°

D ．40°，40°或100°，20° 2. 如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（ ） A ．45° B ．40° C ．55° D ．50° 3．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）

A ．顶角

B ．顶角的一半

C ．顶角的2倍

D ．底角的一半 4．已知△ABC 的周长为36cm ，且AB ＝AC ，又AD ⊥BC ，D 为垂足，△ABD 的周长为30cm ，那么AD 的长为（ ）

D

A

C

B