保险精算 第5章1 生存年金
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1 x:n
v n n p x
1 精算累积因子 n Ex
5.2 连续给付型生存年金
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存年金 设（x）购买了终身生存年金，即按连续方式每年给 付年金1元。 该年金在x岁时的精算现值用符号 ax 表示。 ＊总额支付法：未来所有年金给付现值用Y表示，
ax v t px dt
t 0
e
0
t
e
t
1 10 dt
例1答案
（ 2）
T 1 1 1 v T 2 Var v 2 Var[aT ] Var
A (A )
2 2 x x
Ax v t fT (t )dt
签单时保险金给付现值随机变量为
T v , T n Z bT vT n v , T n 表示n年期两全保险的精算现值。
T 0, T n v , T n Z Z1 Z 2 其中Z1 , Z2 n v , T n 0, T n
Ax:n A A
生存年金的用途
＊人寿保险中，保险费通常以生存年金的方式分期 缴纳。 ＊某些场合保险理赔的保险金采用生存年金的方式， 如：
养老保险、伤残保险、失业保险 。
5.1 生存年金的概念
一、年金的特点
1、以生存为给付条件 2、给付具有不确定性
二、计算原理
趸缴纯保费=生存年金给付的精算现值
5.1.2 生存年金精算现值的概念
Y aT|
at | f T (t )dt
0
at | dFT (t )
0
at | d ( t px )
0
at | t px 0
t
0
px d (at | )
t
0
px d (at | )
在总额支付法 ax
则有
t
0
px d (at | ) 中代入
三、类型
1、连续性 连续型年金 离散型年金 2、给付的时间 期初付年金 期末付年金 3、保险期限 定期生存年金 终身生存年金 延期生存年金 变额生存年金
注：
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末 获得生存给付的保险。
1 单位金额的n年期生存保险的趸缴纯保费为 Ax:n
在生存年金研究中习惯用 n E x 表示该保险的精算现值。 精算折现因子 n Ex A
e
0.015t
ax
e 0.05t e 0.015t dt
0
15.38
例：用上例已知，求
解：
Var (Y )
Ax e
0
t
e
0
f x (t )dt
0.05t
0.015e
0.015 s
ds
0.2307
2
Ax e
0
2 t
f x (t )dt
0
fT (t )t px xt
回忆
t
e
0 ds
例4.2答案
0.5429
2.n年定期连续生存年金
＊总额支付法
ax： v p dt t x n
t 0
n
n年定期两全保险
定义 被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内 的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生 存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。 等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。 假定(x)投保n年定期两全保险，保额1元。 t 基本函数关系 v , t n t vt n v , tn v , t n zt bt vt n v , t n bt 1 , t 0
at v ds
s 0
t
ax
t
0
px d
t
0
t v v ds 0 t px dt s
例1
设死力是常值 0.04，利息力 0.06 在此假设条件下，求 （1）终身生存年金的精算现值 ax； （2）终身生存年金现值 aT |的标准差；
（3）a 超过 ax 的概率。 T| 解： （ 1）
0.015e
0.015 s
e
0
0.1t
ds
0.1304
。
。
Var (Y ) 1 [ 2A ( A ) 2 ] x x 2
30.87
1 x:n
1 x:n
v t px xt dt v n px
t n 0
n
方差？
方差
Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z 2 ) Cov(Z1 , Z 2 ) Var(Z1 ) Var(Z 2 ) E(Z1 Z 2 ) E(Z1 ) E(Z 2 )
精算 现值
练习： 已知：
f x (t ) 0.01e
0.01t
t0
0.03
求：
ax
Var (Y )
0.05 f x (t ) 0.015e0.015t 答案：已知
求： 解：
t0
ax
t
px f x (t )dt t 0.015e
t
0.015 s
ds
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Байду номын сангаас
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
3.延期生存年金
险种
延期n年 终身生存年金 延期m年 n年定期生存年金
生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴纯保费， 是依赖于剩余寿命确定年金的数学期望值。 计算方法主要有两种：总额支付法、现时支付法。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年 金给付额的现值，再求现值的数学期望。 现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时 的精算现值，再将所有的现值相加或积分。
第五章 年金的精算现值
第五章 年金的精算现值
5.1 生存年金的概念
5.2 连续给付型生存年金
5.3 离散型生存年金
5.4 每年给付数次的生存年金
5.1 生存年金的概念
生存年金的概念
生存年金是指按预先约定的金额，以一定的时间为周 期绵延不断地进行一系列的给付，且这些给付必须以原 指定的领取人的生存为前提条件，一旦原指定的领取人 死亡，或预先约定给付期届满时，给付宣告结束。
v n n p x
1 精算累积因子 n Ex
5.2 连续给付型生存年金
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存年金 设（x）购买了终身生存年金，即按连续方式每年给 付年金1元。 该年金在x岁时的精算现值用符号 ax 表示。 ＊总额支付法：未来所有年金给付现值用Y表示，
ax v t px dt
t 0
e
0
t
e
t
1 10 dt
例1答案
（ 2）
T 1 1 1 v T 2 Var v 2 Var[aT ] Var
A (A )
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签单时保险金给付现值随机变量为
T v , T n Z bT vT n v , T n 表示n年期两全保险的精算现值。
T 0, T n v , T n Z Z1 Z 2 其中Z1 , Z2 n v , T n 0, T n
Ax:n A A
生存年金的用途
＊人寿保险中，保险费通常以生存年金的方式分期 缴纳。 ＊某些场合保险理赔的保险金采用生存年金的方式， 如：
养老保险、伤残保险、失业保险 。
5.1 生存年金的概念
一、年金的特点
1、以生存为给付条件 2、给付具有不确定性
二、计算原理
趸缴纯保费=生存年金给付的精算现值
5.1.2 生存年金精算现值的概念
Y aT|
at | f T (t )dt
0
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0
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0
at | t px 0
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在总额支付法 ax
则有
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0
px d (at | ) 中代入
三、类型
1、连续性 连续型年金 离散型年金 2、给付的时间 期初付年金 期末付年金 3、保险期限 定期生存年金 终身生存年金 延期生存年金 变额生存年金
注：
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末 获得生存给付的保险。
1 单位金额的n年期生存保险的趸缴纯保费为 Ax:n
在生存年金研究中习惯用 n E x 表示该保险的精算现值。 精算折现因子 n Ex A
e
0.015t
ax
e 0.05t e 0.015t dt
0
15.38
例：用上例已知，求
解：
Var (Y )
Ax e
0
t
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0
f x (t )dt
0.05t
0.015e
0.015 s
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0.2307
2
Ax e
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f x (t )dt
0
fT (t )t px xt
回忆
t
e
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例4.2答案
0.5429
2.n年定期连续生存年金
＊总额支付法
ax： v p dt t x n
t 0
n
n年定期两全保险
定义 被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内 的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生 存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。 等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。 假定(x)投保n年定期两全保险，保额1元。 t 基本函数关系 v , t n t vt n v , tn v , t n zt bt vt n v , t n bt 1 , t 0
at v ds
s 0
t
ax
t
0
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t
0
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例1
设死力是常值 0.04，利息力 0.06 在此假设条件下，求 （1）终身生存年金的精算现值 ax； （2）终身生存年金现值 aT |的标准差；
（3）a 超过 ax 的概率。 T| 解： （ 1）
0.015e
0.015 s
e
0
0.1t
ds
0.1304
。
。
Var (Y ) 1 [ 2A ( A ) 2 ] x x 2
30.87
1 x:n
1 x:n
v t px xt dt v n px
t n 0
n
方差？
方差
Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z 2 ) Cov(Z1 , Z 2 ) Var(Z1 ) Var(Z 2 ) E(Z1 Z 2 ) E(Z1 ) E(Z 2 )
精算 现值
练习： 已知：
f x (t ) 0.01e
0.01t
t0
0.03
求：
ax
Var (Y )
0.05 f x (t ) 0.015e0.015t 答案：已知
求： 解：
t0
ax
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px f x (t )dt t 0.015e
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ds
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Байду номын сангаас
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
3.延期生存年金
险种
延期n年 终身生存年金 延期m年 n年定期生存年金
生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴纯保费， 是依赖于剩余寿命确定年金的数学期望值。 计算方法主要有两种：总额支付法、现时支付法。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年 金给付额的现值，再求现值的数学期望。 现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时 的精算现值，再将所有的现值相加或积分。
第五章 年金的精算现值
第五章 年金的精算现值
5.1 生存年金的概念
5.2 连续给付型生存年金
5.3 离散型生存年金
5.4 每年给付数次的生存年金
5.1 生存年金的概念
生存年金的概念
生存年金是指按预先约定的金额，以一定的时间为周 期绵延不断地进行一系列的给付，且这些给付必须以原 指定的领取人的生存为前提条件，一旦原指定的领取人 死亡，或预先约定给付期届满时，给付宣告结束。