雅可比行列式

(u, v) 0 ，则存在有连续偏导 ( x, y )
证明：§11.1.定理 3 的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定 理 1 中，令 s u, t v ，有
(u, v) ( x, y) (u, v) ( x, y) (u, v) (u, v)
J ( x, y) (u, v) 0 .函数组将 xy 平面上开区域 G 变换称 uv 平面上的开区域 G ' .点 ( x0 , y0 ) G 变 ( x, y)
换成 uv 平面上点 (u0 , v0 ) [u( x0 , y0 ), v( x0 , y0 )] G ' ，则包含点 (u0 , v0 ) 的面积微元 d ' 与对应的包 含点 ( x0 , y0 ) 的面积微元之比是 J ( x0 , y0 ) ，即
r cos cos r cos sin r sin
r sin sin r sin cos r 2 sin . 0
二、函数行列式的性质 为了简单起见，仅就 n=2 的情形加以讨论，所有结果对任意自然数 n 都是正确的. dy dy dx 已知一元函数 y f ( x) 与 x (t ) 的复合函数 y f [ (t )] 的导数是 ，与它类似的 dt dx dt 有： 定理 1.若函数组 u u( x, y), v v( x, y) 有连续的偏导数，而 x x( s, t ), y y( s, t ) 也有连续偏 导数，则
§11.2 .函数行列式
教学目的 教学要求 (1)．掌握函数行列式 (2) 能用函数行列式解决一些简单的问题 一、函数行列式 由 A Rn 到 R 的映射（或变换）就是 n 元函数，即
( x1 , x2 , , xn , y) f A R R n R ，或 , xn ), ( x1 , x2 , , xn ) A.
(u, v) (u, v) ( x, y) . ( s, t ) ( x, y) ( s, t )
证明：由复合函数的微分法则，有
u u x u y u u x u y , s x s y s t x t y t v v x v y v v x v y , s x s y s t x t y t
2
由行列式的乘法，有
u (u , v) s ( s, t ) v s u x u y u x s y s t v v x v y t x s y s u x u y x t y t v x v y x t y t
u u v u u v 1 0 1， v 0 1 v
பைடு நூலகம்
即
(u, v) 1 (u, v) 0. ， ( x , y ) ( x, y ) ( x, y ) (u, v)
三、函数行列式的几何性质
3
一元函数 y f ( x) 是 R1 到 R1 的映射.取定一点 x0 ， 它的象是 y0 f ( x0 ) .当自变量 x 在点 x0 有改变量 x ， 相应 y 在 y0 有改变量 y .线段 y 的长 y 与线段 x 的长 x 之比
例：求下列函数组（变换）的函数行列式： 1.极坐标变换
x r cos , y r sin .
1
x ( x, y ) r (r , ) y r
x cos y sin
r sin r cos
r cos2 r sin 2 r.
（2）
称 为 函 数 组 ( f1 , f 2 ,
f n ) 在 点 ( x1 , x2 ,
( f1 , f 2 , ( x1 , x2, fn ) xn )
x n )的 雅 可 比 行 列 式 ， 也 称 为 函 数 行 列 式 ， 表 为
或
D( f1 , f 2 , D( x1 , x2,
fn ) . xn )
r sin r cos 0
0 0 r cos 2 r sin 2 r . 1
3.球面坐标变换
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
x r ( x, y, z ) y (r , , ) r z r x y z x sin cos y sin sin cos z
2.柱面坐标变换
x r cos , y r sin , z z.
x r ( x, y, z ) y (r , , z ) r z r x y z x z cos y sin z 0 z z
掌握函数行列式．
y f ( x1 , x2 ,
由 A Rn 到 R n 的映射（或变换）就是 n 个 n 元函数构成的函数组，即
( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn ) f A R n R n R n ，或
y1 f1 ( x1 , x2 , xn ), y f ( x , x , x ), 2 2 1 2 n ( x1 , x2, yn f n ( x1 , x2 , xn ).
dx 1 . dy dy dx
和它类似的有： 定理 2.若函数组 u u( x, y), v v( x, y) 有连续的偏导数，且 数的反函数组 x x(u, v), y y(u, v) ，且
( x, y ) 1 . (u, v) (u, v) ( x, y ) (3)
xn ) A.
(1)
表 为 ( f1 , f 2 ,
fn ) ， 设 它 们 对 每 个 自 变 量 都 存 在 偏 导 数
f1 x1 f 2 x1 f n x1 f 1 x2 f 2 x2 f n x2 f 1 xn f 2 xn f n xn
fi , i 1, 2 n , j 1, 2 n， 行 列 式 x j
u x v x
u y v y
x s y s
x (u, v) ( x, y ) t . y ( x, y ) ( s, t ) t
若一元函数 y f ( x) 在点 x0 某邻域具有连续的导数 f ( x) ，且 f ( x0 ) 0 .由连续函数的保号 性，在点 x0 某邻域 , f ( x)与f ( x0 ) 保持同一符号，因而在 函数 y f ( x) 严格单调，它存在反函 数 x ( y) ，且
d ' (u, v) J ( x0 , y0 ) . d ( x, y ) ( x0 , y0 )
4
y x y x
称为映射 f
在 x0 到 x0 x 的平均伸缩系数，若当 x 0 时平均伸缩系数
y x f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 ) ， x
存在极限，即
lim
x 0
lim
x 0
则称 f '( x0 ) 是映射 f 在点 x0 的伸缩系数. 由此可见，一元函数 y f ( x) 在点 x0 的导数的绝对值 f '( x0 ) 有新的几何意义：它是映射 f 在点 x0 的伸缩系数. 同样， R 2 到 R 2 的变换 u u( x, y), v v( x, y) 也有类似的几何意义. 定理 3 .若函数组 u u( x, y), v v( x, y) 在开区域 G 存在连续的偏导数，且 (x, y) G ，有