2019-2020年高三数学期末考试试卷 理

2019-2020年高三数学期末考试试卷 理
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．sin(210)-的值为
A ．12-
B ．1
2
C ．
2．设全集U R =，(2)
{|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{}1
D ．{}0,1 3．设x R ∈，则“1x =”是“复数()
()211z x x i =-++”为纯虚数的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ． 201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 5．若1()n x x
+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 6．函数sin(2)3
y x π
=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为
A ．511[
,]1212ππ B ．5[0,]12π
C ．2[,]63ππ
D ．2[,]3
π
π 7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，
正视图 侧视图
其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何 体的体积是
A ．
14
3 B ．
4 C ．10
3
D ．3
8．A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC
内任意一点O 都有11
222
OP OA OB OC =--，则
A.AP AD =
B.PA PD =
C.DP DA =
D.PA AD = 9．将边长为2的等边
PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点
(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：
①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④
6
9()2
f x dx π
=
⎰
. 其中正确的说法个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆22
24
a x y +=的切
线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为
A B
11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个
图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含)(n f 个小正方形．则)20(f 等于 A ．761 B ．762
C ．841
D ．842
12．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104x x +=的解，函数()()22,0
2,
0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，
则关于x 的方程()f x x =的解的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得 分的中位数之和是___________．
14．已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二
面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为______________.
15．已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2
y x =与12
y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．
16．对于四面体ABCD ，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED⊥平面ABC ； ②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；
③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1；
④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。

三、解答题： 17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin A a =
． （1）求角B 的大小；
（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值． 18．（本小题满分12分）
“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在[)20,80（单位： mg/100ml ）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．
i i
S S m f =+⨯
（1）若血液酒精浓度在[)50,60和[)60,70的分别有9人和6人，请补全频率分布直方图。

图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 的值，并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图甲中各组的组中点值及频率） （2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90/100mg ml 的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90/100mg ml 范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴、李两位先生被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率． 19．（本小题满分12分）
如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .
A
（1）求证：BM AD ⊥；
（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E -- 20．（本小题满分12分）
如图，已知圆(2
2:16E x y ++=，点)
F
，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂
直平分线和半径PE 相交于Q ． （1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；
（2）已知,,A B C 是轨迹Γ的三个动点，A 与B 关于原点对称，且||||CA CB =，问ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln ()f x x mx m R =-∈．
（1）若曲线()y f x =过点(1,1)P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；
（3）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>．
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF∥CB，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G.
(1)求证：△DEF∽△EFA； (2)如果FG ＝1，求EF 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点
按坐标变换1
3
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．
（1）求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M . (1)求M ；
(2)当,a b M ∈时,证明:24a b ab +<+.
2015届高三理科数学答案
二、填空题：
13、 55 14、13π
15、
1
3
16、①②④
三、解答题： 17、（本小题满分12分） （1
）
sin A a =
，由正弦定理得sin sin A A =
， ………………………4分
tan 3
B B π
=∴=
. …………………………6分
（2）2241
cos 22
a b B ac +-==，224a c ac ∴+=+ ……………………………8分
又222a c ac ∴+≥，所以4ac ≤，当且仅当a c =取等号.………………………10分
1
sin 2
S ac B =
≤ ABC
为正三角形时，max S =. ……………………………12分
18、（本小题满分12分）
（1）[50,60)的频率为
90.15,=0.01560=频率
则组距
[60,70)的频率为
60.01,=0.0160=频率则组距
S 统计意义：酒精浓度的平均数为
250.25+350.15+450.2+550.15+650.1+750.1=42.75⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ……4分
（2）70～90共有600.15=9⨯人
ξ的可能值为0,1,2 272921
(0)36C P C ξ===
12272914
(1)36
C C P C ξ===
27291
(2)36
C P C ξ=== …………8分
所以，ξ的分布列为：
……………10分
记“吴、李两位先生至少有1人被抽中”为事件A
5
()1(0)12
P A P ξ=-==
…………12分
19、（本小题满分12分）
（1）证明：连接BM ，则，所以AM BM ⊥ 又因为面ADM ⊥平面ABCM ，面ADM 面ABCM=AM
所以，BM ADM BM AD ⊥⇒⊥面 （2）建立如图所示的空间直角作标系M xyz - 由（1）可知，平面ADM 的法向量(0,1,0)m = 设平面ABCM 的法向量(,,)n x y z =，
所以，(0,0,0)A B D M
22
(,2,),((1,(1DB DE DB E λλλ=-
-=⇒--
(2,0,0),((1,(1MA ME λλ==-- 0(0,1,2)0n MA n n ME λλ⎫⋅=⎪
⇒=--⎬⋅=⎪⎭
二面角D AM E --
得，1
2
λ=
，即：E 为DB 的中点。

20、（本小题满分12分）
（1）Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以QP QF =； 得4QE QF QE QP PE +=+==，
又4EF =<，得Q 的轨迹是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆.
2
2:14
x y τ+=. …………………………………………………4分
（2）当AB 的斜率存不存在或为零时，｜AB ｜=4，｜OC ｜=1，S=2；｜AB ｜=2，｜OC ｜=2，S=2 当AB 的斜率存存在且不为零时，
B 与A 关于原点对称，设:(0)AB y kx k =>
CA CB =，C ∴在AB 的垂直平分线上，1
:CD y x k
∴=-.
22
22
(14)414
y kx k x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩，
2AB OA ===，
同理可得OC =，………6分
142ABC
S
AB CO ===……………8分 2224145(1)22
k k k +++
+≤=
，当且仅当1k =±时取等号，
所以8
5
S ≥
， …………………………………………………………………11分 当(C 或时min 8
5
S =
. ………………12分 21、（本小题满分10分）
（1）切线方程为：1y =- …………………………………………3分 （2）1
'()f x m x
=
- ①当1
m e
≤，'()0f x ≥ 所以，()f x 在[1,]e 递增，max ()()1f x f e em ==-
②当1m ≥时，'()0f x ≤，所以，()f x 在[1,]e 递减，max ()(1)f x f m ==-
③当1
1m e <<，1[1,]m 递增，1[,]e m 递减max 1()()ln 1f x f m m
==-- ………7分
（3）设2
ln 1ln (),'(),'()0x x
u x u x u x x x -===则令，x=e
所以，()u x 在(0,)e 递增，(,)e +∞递减 1()()u x u e e ==
极大值，所以，10m e
<< 11221221ln 0,ln 0ln ln ()x mx x mx x x m x x -=-=⇒+=+
11212
1122111222
2
1ln ln ln ln ()ln (,01)1x x x x x x
x x x x t t x x x x x x +-+=
+=⋅=<<--设
121
ln ln ln 1
t x x t t ++=
- …………………………………10分 设22
12ln 1
()ln ,'()1(1)t t t t h t t h t t t t +-+-==
-- 设2()2ln 1,'()222ln F t t t t F t t t =--=-- 设2
()222ln ,'()2t t t t t
φφ=--=-
所以，'()F t 在(0,1)递减，'(1)0F = 所以，()F t 在(0,1)递增，()(1)0F t F == 所以，()h t 在(0,1)递减 所以，当1t →时，()2h t >，
所以，212x x e ⋅> ………………12分 22、（本小题满分10分） （1）证明：
//EF BC DEF EBC DEF BAD DEF BCD BAD ⇒∠=∠⎫
⇒∠=∠⇒∆⎬∠=∠⎭
∽EFA ∆ ……5分
（2）EFA ∆∽2EFD FE FD FA ∆⇒=⋅ 又因为FG 为切线，则2FG FD FA =⋅
所以，EF=FG=1. ………………10分 23、（本小题满分10分） （1）C :3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
⇒ 22:194x y C +=，
将1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ⇒ 32x x y y '=⎧⎨'
=⎩代入C 的普通方程得221x y ''+=，即 22:1C x y '+=；……5分
（2）设(,),P x y 00(,)A x y ， 则003,22
x y x y +== 所以0023,2x x y y =-=，即(23,2)A x y -
代入22:1C x y '+=，得22(23)(2)1x y -+=，即2231()24
x y -+= AB 中点P 的轨迹方程为2231()24
x y -+= ……………………………10分
24、（本小题满分10分）
（1）解不等式：114x x ++-<
124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-， ⇒22x -<<⇒()2,2M =-. ………………………………5分
（2）需证明：22224(2)816a ab b a b ab ++<++，
只需证明222244160a b a b --+>，
即需证明22(4)(4)0a b -->。

证明： 2222,(2,2)4,4(4)0,(4)0a b a b a b ∈-⇒<<⇒-<-< ⇒22(4)(4)0a b -->，所以原不等式成立. ……………………………………10分。