绝对值三角不等式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
bc
bc
bc
a c
①
c d 2 c d 2 c d 2 c ②
da
da
da
a
又 a c 2 ca
a c
c a
24 a c 2 ca
③
由①,②,③得, a b c d 2 a 2 c
2
a c
c b
a 4
c
d
a
c
a
20
课堂练习:
1.(1)已知|h|< ,| k | ( 0),求证 | hk |
3
6
9
求证:| x 2y 3z |
证明:| x 2y 3z || x | | 2y | | 3z |
| x | | 2 || y | | 3 || z |
| x | 2 | y | 3 | z |
| x | , | y | , | z |
3
6
9
| x | 2 | y | 3 | z | 2 3
推论1:| a1 a2 a3 | | a1 | | a2 | | a3 |
a1 a2 an a1 a2 an nn N
推论2: | a | | b || a b || a | | b |
证明:在定理中以b 代b,得:| a | | b || a (b) || a | | b |
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3
5
同理,与原点距离大于3的点对应的实数 可表示为:
如图
x 3
6
设a,b是任意两个实数,那么|a-b| 的几 何意义是什么?
A
|a-b|
B
a
b
x
7
探究
用恰当的方法在数轴上把|a| , |b| ,|a+b| 表示出来,你能发现它们之间有何关系?
定理1 如果a,b是实数,则 |a+b| ≤|a| +|b| ,
12
定理探索
还有别的证法吗?
由 a a a与 b b b ,
得 a b ab a b .
当我们把 a b 看作一个整体时,上式逆 用 x a a x a 可得什么结论?
ab a b. 13
定理探索
能用已学过得的 a b a b
证明 a b a b 吗?
可以a 表示为 a a b b.
来自百度文库
ab
1 1
ab 1 1 a b
ab .
1 a 1 b
ab
16
练习
1.①已知
x
r
0, a
0
,求证
1 ax
1 ar
.
②已知 an l 1, 求证 an l 1 .
2.已知 A a , B b ,求证:
2
2
① A B a b ;
② A B a b .
17
例2.已知 | x | , | y | , | z |
当且仅当ab≥0时,等号成立。
绝对值三角 不等式
8
探究?
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
a, b,能得出什么结论?你能解释其几何意
义吗?
(1) 当 a, b 不共线时有
ab a b
(2) 当 a, b 共线且同向时有
绝对值三角 不等式
ab a b 9
如何证明定理1?
探究
你能根据定理1的研究思路,探究一下|a| , |b| ,|a+b|, |a-b|之间的其它关系吗?
ab a b,a a b 0.
bb
当 a 0 时,有:x a x2 a2 x a
或 x a .
3
(二)绝对值的几何意义:
实数a的绝对值 |a|,表示数轴上坐标为 a的点A到原点的距离(图1)。
|a|
O
A
x
如:|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B 到坐标原点的距离。
4
由绝对值的几何意义可知,A、B之间的点 与坐标原点的距离小于3,可表示为:
由| a | 1, | b | 1,可知(1 a2 )(1 b2 ) 0 成立,
所以 a b 1 1 ab
19
例4.设 a, b, c, d 都是不等于 0 的实数,求证
a b c d 4
bcd a
证明: a 0, b 0,
b
c
c 0, d
d 0 a
a b 2 a b 2 ab 2
即: | a | | b || a b || a | | b | 11
定理探索
当 a b 0 时,显然成立, 当 a b 0时,要证 a b a b. 只要证 a2 2 a b b2 a2 2ab b2,
即证 ab ab.
而 ab ab显然成立.
从而证得 a b a b a b .
解: 0 | h | , 0 | k | ,
0 | h | | k |
即 | hk |
(2)已知 | h | c , | x | c (c 0, 0), 求证 h
解:由0 c | x | 可知0 1 1
x
|x| c
且0 | h | c
1 | h | 1 c 即 h
2a
求证 xy ab .
证明:xy ab xy ya ya ab yx a ay b
y x a a y b M a .
2M 2 a
15
例题
ab
a
b
例3
求证
1 a b
1 a
1 b
.
证明:在 a b 0 时,显然成立.
当 a b 0 时,左边
1 1 1
36 9
| x 2y 3z | 18
例.3.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 a b 1 1 ab
证明:a b 1 (a b)2 1
1 ab
(1 ab)2
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0
(1 a2 )(1 b2 ) 0
结论:
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
10
注意:1 左边可以“加强”同样成立,即
| a | | b | | a b || a | | b |
2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
3 a, b 同号时右边取“=”a,, b 异号时左边取“=”
a a bb a b b.
即a b ab.
就是含有绝对值不等式的重要定理,
即 a b ab a b .
14
例题
例1 已知ε >0,x-a ε , y b ε ,
求 2x+3y-2a-3b 5ε
例2 已知 x a ,0 y b , y 0, M ,
2M
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动,的径奋+老灵正,感确学来努,的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水!!
2020年7月17日星期五1
复习
(一)绝对值的定义:
对任意实数a,
a(当a0时) a ( 0 当a 0时)
a(当a0时)
2
问题
我们已学过积商绝对值的性质, 哪位同学能回答?
|x|
c
x
21
P20: 1,2,3,4,
作业
22
定理2 如果a,b,c是实数,那么
ac ab bc
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
| a1 a2 a3 || a1 | | a2 | | a3 |
23