第二章第3节 万有引力定律的应用

三、万有引力定律的应用

教学目标

1. 知道天体间的相互作用主要是万有引力。

2. 知道如何应用万有引力定律计算天体质量的方法。

3. 通过了解万有引力定律在天文学上的重要应用，体会科学定律对人类认识世界的作用。 重点难点

重点： 天体质量的计算及两个重要模型的理解 难点： 黄金代换的理解 设计思想

万有引力定律在天文学上应用广泛，与实际问题、现代科技相联系，可以用来发现新问题，开拓新领域。同时，万有引力定律与牛顿第二定律、圆周运动的知识相结合，可用来求解天体的质量和密度，分析天体的运动规律。本节课是以计算天体质量为问题中心，展开两个模型的探究和讨论，深刻理解黄金代换和万能公式的物理意义，掌握两个核心公式的应用。计算天体质量的两个模型如下：一是忽略中心天体自传情况下，中心天体表面物体所受的重力mg 近似

等于中心天体对物体的引力，即mg=2R

Mm

G ，由此解出M=G gR 2；一是利用围绕中心天体运

动的天体来求解，即r v m r GMm 22

==mω2

r=r T

m 224π来求解。天体的质量算出后，还可以利用ρ=V

M 来求天体的密度。 教学资源 《万有引力定律的应用》多媒体课件 教学设计 【课堂引入】

故事：在1781年3月13日,这是一个很平常的日子,晴朗而略带寒意的夜晚,英国天文学家威廉·赫歇尔（1738—1822）跟往常一样，在其妹妹加罗琳（1750—1848）的陪同下，用自己制造的口径为16厘米、焦距为213厘米的反射望远镜，对着夜空热心地进行巡天观测。当他把望远镜指向双子座时,他发现有一颗很奇妙的星星,乍一看像是一颗恒星,一闪一闪地发光,引起了他的怀疑。

经过一段时间的观测和计算这后,这颗一直被看作是“彗星”的新天体,实际上是一颗在土星轨道外面的大行星——天王星。

天王星被发现以后,天文学家们都想目睹这颗大行星的真面目。在人们观测和计算中,发现天王星理论计算位置与实际观测位置总有误差,就是这一误差,引起了人们对“天外星”的探究，并于1846年9月23日发现了太阳系的第八颗行星——海王星。

海王星被称为“从笔尖上发现的行星”，原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近。你知道科学家在推测海王星的轨道时,应用的物理规律主要有哪些吗? （学生都会回答万有引力定律。）

一个成功的理论不仅要能解释已知的事实，更重要的是能预言未知的现象。预言彗星的回归和预言未知天体就充分展示了万有引力定律的巨大成就。 【课堂学习】

学习活动一：预言彗星回归和未知天体

问题1： 万有引力定律适用于彗星吗？你了解哈雷彗星吗？

牛顿指出，行星的运动规律同样适用于彗星。哈雷根据牛顿的引力理论，对哈雷彗星的轨道运动进行了计算，预言了它将于1758年再次出现。后来，克雷洛计算了遥远的行星对它的影响，指出它将推迟于1759年4月份经过近日点，这个预言果然得到了证实。这充分证明了万有引力定律的正确性，展现了其无穷的魅力。

问题2：除了预言彗星回归，万有引力定律在天文学上还有何应用？ （应用万有引力定律还可以用来发现未知天体。） 问题3：应用万有引力定律发现了哪些行星？

（海王星和冥王星就是应用万有引力定律发现的，凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分显示了科学理论的威力。）

（这部分内容主要引导学生看书，进行自主学习，也可以让学生课后查阅资料。）

（过渡：应用万有引力定律可以发现未知天体，给天文学的研究开辟了一条新的道路。同时，应用万有引力定律还可以“称量”地球的质量，计算天体的质量，这些累累硕果体现了万有引力定律的巨大理论价值。） 学习活动二：计算天体质量

问题1：卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G 的值，从而宣称“称量”出了地球的质量，测出G 后,是怎样“称量”地球的质量的呢？

（只要知道了引力常量G 就可以了，忽略地球自转的情况下，在地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。）

问题2：设地面附近的重力加速度g=9.8 m/s 2，地球半径R=6.4×106 m ，引力常量G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，试估算地球的质量。

（忽略地球自转，mg=G gR M R GMm 22=⇒，M=11

2

6210

67.6)104.6(8.9-⨯⨯⨯=G gR kg=6.0×1024 kg 。） （计算过程中应该教给学生估算的方法，不用计算器，不求精确计算，因为g 和R 本身就是取的平均值，地球质量也只能估算，只要数量级对就可以了，本处不太方便展示，建议教师在黑板上给学生演示估算过程。）

问题3：知道了引力常量G ，测出星球表面的重力加速度就可以称出天体的质量了，能否用该方法计算太阳的质量？如果不能你能想到什么好方法？

（不能，因为我们不可能站在太阳上测其表面的重力加速度。可以利用地球绕太阳做匀速圆周运动的模型求解，万有引力提供向心力，应用万有引力定律结合向心力的方程求解。） 问题4：地球绕太阳公转的轨道半径r 为1.49×1011

m ，公转的周期T 是3.16×107

s ，太阳的质量是多少？

（根据牛顿第二定律，可知：F 向=ma 向=m ·(

T

π2)2

r ① 又因为F 向是由万有引力提供的所以F 向=F 万=G ·

2

r Mm

② 所以由①②式联立可得M=kg GT r 2

7113112232)

1016.3(1067.6)1049.1(14.344⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-π=1.96×1030

kg ）

（该问题也可不给轨道半径r 和公转周期T ，让学生根据常识得出r 和T ，根据太阳光传到地球表面大概需要8min 可知r ，T 即为1年。计算时还是应该让学生估算，保证数量级正确即可。）

问题5：根据以上两个模型，你能总结出求解天体质量的一般方法吗？

（方法一：忽略地球自转的影响，地面上物体的重力近似的等于地球对物体的万有引力，设地面附近的重力加速度为g ，则有2

Mm

G

mg R =，该方程也称为黄金代换。方法二：行星或卫星绕中心天体沿圆轨道做匀速圆周运动，万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力，即可根据向心力公式列方程求出处于圆轨道圆心的太阳或地球等中心天体的质量。基本方程式：

222

224Mm v G ma m mr m r r r T

πω====，该方程也称为万能公式。

） 问题6：应用黄金代换和万能公式求解的是哪个天体的质量？中心天体还是环绕天体？ （从两式的推导过程可知，只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。）

问题：1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，运行周期为114 min ，卫星轨道的平均半径为7782 km ，请据此计算地球的质量。（保留一位有效数字）

解析：由 2

224T mr r GMm π=得 2324GT r M π=

代入已知得kg kg M 24

2

11332106)

60114(1067.6)107782(4⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-π （过渡：应用黄金代换和万能公式可以求解中心天体的质量，进而根据密度公式还可以求解天体的密度。黄金代换和万能公式是本章的两个核心公式，几乎所有与万有引力有关的问题都是围绕这两个公式的应用，该如何理解它们，公式里的各个物理量的意义是什么，应用过程中该注意哪些问题呢？下面我们首先讨论黄金代换，至于万能公式的理解我们等到后面再说。）

学习活动三： 黄金代换的理解与应用 问题1： 大家回忆一下重力的定义是什么？ （由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力。）

问题2：地球表面上物体的重力和地球对物体的万有引力是一回事吗？它们的关系是如何？ （地球上物体的重力是由于地球的吸引而产生的，它并不等于万有引力。因为地球上的物体要随地球自转而做匀速圆周运动，设运动半径r 是物体到地轴的距离，向心力大小为F 需=mω2r ，方向垂直指向地轴。物体随地球的自转所需的向心力是由地球对物体万有引力的一个分力提供的，万有引力的另一个分力才是通常所说的物体受到的重力，如图所示。）