07-固有频率与振型

0 ≤ ω1 ≤ ω 2 ≤ L ≤ ω n
其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后 依次称为二阶、三阶固有频率等。
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多自由度系统
固有频率 主振型
(K − ω 2 M ) A = 0
2 (i ) 对应于ωi可以求得A(i)，它满足 (K − ωi M ) A = 0
L = ∆M −
( ∆M − 1
1
ω
2
I
ω2
I) A = 0
特征矩阵
频率方程
∆M −
1
ω
2
I =0
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将ωi值代入而求出.
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固有频率 主振型 例1 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。 解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚 度矩阵分别为
A(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也 称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A(1) A1(1) (1) A = 2 M (1) An A1( 2 ) (2) A A2 = 2 M 2 An A( n ) A1( n ) ( n) A = 2 M ( n) An
ω32 = 3.1007
k m
求出系统的三个固有频率为
ω1 = 0.3559
k , m
ω2 = 1.2810
k , m
ω3 = 1.7609
k m
再求特征矩阵的伴随矩阵
2k − ω 2 m −k 0 B = K − ω 2M = − k 2k − ω 2 m −k 0 −k k − 2ω 2 m
A( 2)
A ( 3)
三个主振型由图所示
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固有频率 主振型
2 主振型也可由式 (K − ω M ) A = 0 求得
ω1 , ω 2 , ω3
代入
( K − ω 2 M ) A (i ) = 0
归一化后，即令 A1(i ) = 1 (i = 1 , 2 , 3)
可得主振型
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固有频率 主振型 例2 在例1中，若k1 =0, 求系统的固有频率和主振型。 解： k 1 = 0 相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为
k K = − k 0 −k 2k −k 0 −k k
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固有频率 主振型 例4 有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。 假设钢丝中的拉力T很大，因而各点的横向位移不会使拉力有 明显的变化。设m1= m2= m3= m ，尺寸如图所示，试用位移方 程求该系统的固有频率和主振型。 解：系统的质量矩阵是
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固有频率 主振型
K − ω 2M = 0
下面对其取值情况进行讨论。
KA = ω 2 MA
前乘以 A T
可得到
A T KA = ω 2 A T MA
由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正 定的，因此有
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固有频率 主振型
A(1)
. 10000 = 10000 . . 10000
,
A( 2 )
. 10000 = 0.2808 −0.6404
m 0 0 M = 0 m 0 0 0 2m
2k K = − k 0
−k 2k −k
0 −k k
2 将M和K代入频率方程 K − ω M = 0
2k − ω 2 m −k 0
−k 2k − ω 2 m −k
0 −k =0 k − 2ω 2 m
x = A sin(ωt + ϕ )
将解式代入系统运动微分方程，并消去 sin(ωt + ϕ ) ，得到
KA − ω 2 MA = 0
KA = ω 2 MA
(K − ω 2 M ) A = 0
A1 A2 A = = ( A1 M An
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A2
L An )
T
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固有频率 主振型
(K − ω 2 M ) A = 0
B = K − ω 2M
特征矩阵
要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于 是得到该系统的频率方程(或特征方程)。
K − ω 2M = 0
式是关于ω2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称 特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。
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固有频率 主振型
(2k − ω 2 m)(k − 2ω 2 m) − k 2 adj B = k (k − 2ω 2 m) k2 (2k − ω 2 m)(k − 2ω 2 m) k ( 2k − ω 2 m) k ( 2k − ω 2 m) ( 2k − ω 2 m) 2 − k 2 k2 k (k − 2ω 2 m)
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固有频率 主振型 当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有
xi = Ai sin(ωt + ϕ ) i = 1,2,3, L n
代入位移方程 && ∆ Mx + x = 0
sin(ωt + ϕ )
− ω 2 ∆MA + A = 0
设n自由度系统运动微分方程的特解为
xi = Ai sin(ωt + ϕ )
i = 1,2,3,L n
即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为
x = A sin(ωt + ϕ )
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固有频率 主振型
&& [ M ]{ x} + [ K ]{ x} = {0}
归一化后，得到三个主振型
A(1) . 10000 = 10000 . . 10000 , A( 2 ) . 10000 = 0.2808 −0.6404 , A(1) . 10000 = −17808 . 0.3904
设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将ω1值代入，得到第一 . 10000 阶主振型为
A(1) = 18733 . 2.5092
得到第二、三阶主振型为
1.0000 = 0.7274 −0.4709 1.0000 = −11007 . 0.2115
LL
(i ) 令 An = 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
A(i ) = A1(i )
(
A2(i )
L 1
)
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
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Байду номын сангаас
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固有频率 主振型 主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。 特征矩阵 B K − ω 2M 用矩阵A的第i=行第j 列的代数余子 逆矩阵 B −1 = 1 adj B B 式把第j 行第i 列的元素替换掉得到 代入 就是A的伴随矩阵，记作adjA。 adj B 乘以 BI =B ωi 任 BB 何 (i ) B i I = Bi adj Bi Bi =0 非 A 零 Bi adj Bi = 0 列 adj Bi 比较 成 (K − ωi2 M ) A (i ) = 0 比 例 所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。
, A(1)
. 10000 = −17808 . 0.3904
这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩 阵 K = 0 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的 外力的合力为零，是动量守恒系统。
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固有频率 主振型 解出 ω12 = 0,
2 ω2 = 0.7192 ,
k m
ω32 = 2.7808
k , m
k m
ω3 = 1.6676
k m
得到三个固有频率
ω1 = 0,
ω2 = 0.8481
ω1 , ω 2 , ω3
分别代入的第三列
adj B
k2 2 k ( k − ω m) ( k − ω 2 m)(2k − ω 2 m) − k 2
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LL
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固有频率 主振型 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率 和与之对应的n阶主振型
A(1) A1(1) (1) A2 = M (1) An A1( 2 ) (2) A2 2 A = M 2 An A( n ) A1( n ) (n) A2 = M (n) An
A T KA ω = T ≥0 A MA
2
于是，得到
A T MA > 0
AT KA ≥ 0
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固有频率 主振型
A T MA > 0，
A T KA ≥ 0
频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为 零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半 正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是 正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。 一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情 况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为
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固有频率 主振型
k k k 2ω 6 − 9 ω 4 + 9 ω 2 − = 0 m m m
2 3
解方程得到
ω12 = 0.1267 ,
k m
2 ω2 = 1.2726 ,
k m
特征矩阵为
k − ω 2 m −k 0 B = −k 2k − ω 2 m −k 0 −k k − 2ω 2 m
可得到频率方程
(2m 3ω 4 − 7km 2ω 2 + 4k 2 m)ω 2 = 0
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固有频率与振型
固有频率 主振型 主坐标和正则坐标 固有频率相等的情形
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固有频率 主振型
&& [ M ]{ x} + [ K ]{ x} = {0}
&& && && m11 x1 + m12 x 2 + ⋅L+ m1n x n + k 11 x1 + k 12 x 2 +L+ k 1n x n = 0 m x + m x +L+ m x + k x + k x +L+ k x = 0 21 &&1 22 &&2 2 n &&n 21 1 22 2 2n n LL mn1 x1 + mn 2 x 2 +L+ mnn x n + k n1 x1 + k n 2 x 2 +L+ k nn x n = 0 && && &&