利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？

你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律?

思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。

如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。

因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a

a

·A

·B

图

·A

·B

a

·A ′

M

图·A

·B

a

·A ′ M N

图

上，所以AM= A′M,AN= A′N。

∴AM+BM= A′M+BM= A′B

在△A′BN中，

∵A′B＜A′N+BN

∴AM+BM＜AN+BN

即AM+BM最小。

点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB ＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝1

2

AB

＝15

2，EF＝9

2

.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶

15.∴AD＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴

DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋9

2＝25

2

.∴当x＝25

2

时，

△PBC的周长最小， y值略。

数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织

教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。

一、 两条直线间的对称

题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。

点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。

A

C

B

E

D

B

C

a

a

A A

A

第1题图

二、三角形中的对称

题目 2 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是 __

点评：本题只要把点C 、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB 看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

三、四边形中的对称

题目3 如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少？

点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ，最小值为MB ＝10。

M

A D B

C

N

第4题图

第2题图

第3题图

h A

B

第5题图1

四、圆中的对称

题目4 已知：如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。

点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B 的对称点B ′在圆上，AB ′交ON 于

点p ′,由∠AON ﹦60°, ∠B ′ON ﹦30°，∠

AOB ′﹦90°，半径长为1可得AB ′﹦2

。

当点P 运动到点p ′时，此时AP+BP 有最小值为2

五、立体图形中的对称

题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你

E F

G

B ′

A

C ·

H 第5题图2

帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm．

点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B′,作AC ⊥GH于点C,连接A B′。在Rt△A B′C中，AC ﹦16, B′C﹦12,求得 A B′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。

通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力。

综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。