2021高三数学上学期期末考试卷含答案

第一卷 〔选择题，共60分〕【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〕1．集合{}022≤-=x x x A ，{1,0,1}B =-，那么A B =〔 〕 A 、{1}-B 、{0}C 、{0,1}D 、{1}2．i 是虚数单位，复数ii3223-+等于〔 〕 A 、iB 、i -C 、i --1D 、i -13. 设向量a ＝(2sin α，1)，b ＝(1，cos α)，且a ∥b ，那么锐角α为〔 〕A 、6πB 、4π C 、3πD 、125π 4．设R ϕ∈，那么 〝()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数〞 是〝=0ϕ〞的〔 〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件5．等差数列{}n a 的公差为2，假设1a 、3a 、4a 成等比数列，那么6a 等于〔 〕A 、－2B 、－ 4C 、0D 、26．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是〔 〕 A 、5≥k B 、5<k C 、5>k D 、6≤k7. 函数x x x f ωωcos sin 3)(+=〔ω>0〕的最小正周期为4π，那么该函数的图像〔 〕 A 、关于直线x = π3对称B 、关于直线x =5π3对称C 、关于点〔π3,0〕对称D 、关于点〔5π3,0〕对称8. 设y x z +=)21(, 其中y x ,满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+20002x y x y x 那么 z 的最小值为〔 〕A 、21 B 、41 C 、81D 、161 9．一个棱锥的三视图如右图所示，那么这个棱锥侧面中 面积最大的是〔 〕 A 、29 B 、6C 、26D 、1010．设直线过点()a ,0,其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,那么a 的值为( ) A 、± 2B 、±2C 、±22D 、±411．函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).A B C D12.函数()()2ln x x b f x x +-=〔R b ∈〕．假设存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得 )(x f ＞－)(x f x '⋅，那么实数b 的取值范围是〔 〕A 、(),2-∞B 、3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C 、9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D 、(),3-∞第二卷 〔非选择题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答。

【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分, 共20分〕 13．等于则)2cos(,31cos θπθ+= . 14．数列{}n a 满足nn a a +=+111，413=a ，那么1a = .15．抛物线x y 42=的准线与双曲线)0.0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线交于点P 〔0x ，-2〕，那么双曲线的离心率为 . 16．正四棱锥O －ABCD 的体积为54，底面边长为23，那么正四棱锥O －ABCD 的外接球的表面积为 .【三】解答题〔本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

〕17.〔本小题总分值12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且B c b sin 23= 〔Ⅰ〕确定角C 的大小 ；〔Ⅱ〕假设c ＝7，且5a b +=，求△ABC 的面积 ． 18．(本小题总分值12分)在各项均为正数的等比数列{a n }中，108,124321=+=+a a a a ， 〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式 ；〔Ⅱ〕记n n na b =，求数列{b n }的前n 项和S n ． 19.〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥，底面ABCD 是等腰梯形，.,//BD AC BC AD ⊥〔Ⅰ〕证明：PC BD ⊥；〔Ⅱ〕假设2,4==BC AD ，直线PD 与平面PAC 所成的角为 30，求四棱锥ABCD P -的体积．20.〔本小题总分值12分〕椭圆与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且离心率为22． 〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕过点P 〔0，1〕的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，假设PB AP 2=，求AOB ∆的面积 ．21.〔本小题总分值12分〕m ∈R ,函数2()()f x x mx m =++⋅e x .〔Ⅰ〕当m=1时，求曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线方程； 〔Ⅱ〕求证:x x me mxe x x x f +++≥23)(.请考生在第22、23、24题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一个题目计分，作答时请涂写清题号。

22. (本小题总分值10分)AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于点E ，DE ＝1.〔1〕求证：AC 平分∠BAD ； 〔2〕求BC 的长 ．23．(本小题总分值10分)曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为x ＝5＋32ty ＝12t(t 为参数)．〔1〕求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；〔2〕设曲线C 与直线l 相交于P 、Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．24. (本小题总分值10分) 函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.〔1〕当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；〔2〕关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．第一卷 选择题〔共60分〕【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 C A B B D C DD CB AC 注：12．C()()0f x xf x '+>⇒()0xf x '>⎡⎤⎣⎦，设()()()2ln g x xf x x x b ==+-，假设存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，那么函数()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得()0g x '>成立，()()212212x bx g x x b x x-+'=+-=，设()2221h x x bx =-+，那么()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，应选C 、 第二卷 〔非选择题，共90分〕【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分,共20分〕 13.97 14. 32- 15. 5 16. 100π【三】解答题〔本大题共70分〕 17.解：〔1〕由B c b sin 23=及正弦定理得，()1sin sin 22sin 23 B C R B R ••=••① ……………………2分230=∴≠SinC SinB ………………………………3分ABC∆是锐角三角形，3C π∴=………………………………5分〔2〕由余弦定理得22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得73)(2=-+ab b a ……………………………………7分65b a =∴=+ab …………………………………………8分23323621sin 21=⨯⨯==∴∆C ab S ABC ……………………………12分解法2：前同解法1，联立方程组求得 232a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 和 332a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或〔详解略〕 18. 解：〔Ⅰ〕设等比数列{a n }的首项为1a ，公比为q 〔q ＞0〕，由得10812312111=+=+q a q a q a a ，那么解得31=a 3=q所以数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列， ………………4分即n n n a 3331=•=- ……………………………………………6分解法2：等比数列的性质也可以解答。

〔Ⅱ〕由(Ⅰ)得n n n n na b 3•== ……………………………………7分所以()1 (33332313)21321nnn n b b b b S •++•+•+•=++++=……………8分()()2...............33133323131432+•+•-++•+•+•=n n n n n S (10)分由〔1〕－〔2〕，得()11321331313333332++•---=•-+++•+=-n nn nn n n S ()分12 (4)33)412(32431311+•-=•+-=∴++n n n n n n S ……………………12分19. 解：〔Ⅰ〕因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以…………2分又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线， 所以PAC BD 平面⊥. (4)分而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥. (5)分〔Ⅱ〕设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由〔Ⅰ〕知，PAC BD 平面⊥ ……6分所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由PAC BD 平面⊥，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥.在POD Rt 中，由DPO ∠30=，得OD PD 2=.因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以BOC AOD ∆∆,均为等腰直角三角形， ………………………………8分从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+= 于是梯形ABCD 面积1(42)39.2S =⨯+⨯=………………………………9分在等腰三角形AOD 中，OD AD == 所以2 4.PD OD PA ==== …………………………10分故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=. …………12分20. 解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，由2=c ，可得2=a ，2222=-=c a b既所求方程为12422=+y x ………………………………5分〔Ⅱ〕设),(11y x A ，),(22y x B ， 由PB AP 2=有 ⎩⎨⎧-=-=-)(12122121y y x x 设直线方程为1+=kx y ，代入椭圆方程整理，得0241222=-++kx x k )( …………………………7分 解得1228222++±-=k k k x …………………………8分 假设 12282221++--=k k k x ，12282222+++-=k k k x 那么 122822122822222++--⋅=++---k k k k k k 解得1412=k …………………………………………10分 又AOB ∆的面积81261228221||||212221=++⋅=-⋅=k k x x OP S ……12分21.〔1〕解：当m=1时，x e x x x f )1()(2++=，那么x e x x x f )23()(2/++= (2)分e f K 6)1(/==∴ …………………………………………3分e f 3)1(= ………………………………………4分∴曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线方程为y-3e=6e(x-1)即6ex －y －3e ＝0 …………………………………………5分〔2〕证明：由题意，得)1()()(232223--=--=+++-x e x x x e x me mxe x x x f x x x x ……7分当x =0时，结论显然成立 ……………………………………8分当x ＞0.∵x 2＞0，令g(x)=e 1x x --,那么g′(x)=e 1x -, ……………………9分∴当x ＞0时g (x )为增函数;当x ＜0时g (x )为减函数, ……………………………………10分∴x =0时g (x )取最小值，g (0)=0.∴()0g x ≥. ∴e 10x x --≥.∴23()f x x x ≥+. (12)分22. 解：〔1〕因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠OCA ，因为CD 为半圆的切线，所以OC ⊥CD ，又因为AD ⊥CD ，所以OC ∥AD ，所以∠OCA ＝∠CAD ，∠OAC ＝∠CAD ，所以AC 平分∠BAD . …………………………………………5分〔2〕连接CE ，由(1)知BC ＝CE ，因为ABCE 四点共圆，∠B ＝∠CED ，又由题意知∠ACB ＝∠CDE ＝90°，所以△DCE ∽△ABC ，所以DE CE ＝CB AB ，所以BC ＝2. ………………………………10分〔解法不唯一〕23. 解：〔1〕对于C ：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ；对于l：由x＝5＋32t，y＝12t，消去参数t得y＝13(x－5)，即x－3y－5＝0. …………………………………………5分〔2〕由〔1〕可知C为圆，且圆心为(2,0)，半径为2，那么弦心距d＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ|＝222－322＝7，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积为S＝2d·|PQ|＝37.…………10分24. 解：〔1〕当a＝2时，f(x)＋|x－4|≥4当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}． …………5分〔2〕记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，那么h (x )＝－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a .2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a＋12.又|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3. …………………………10分。