1.1.2弧度制.1ppt

一般地，我们规定：
正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。
零角的弧度数是0。
用角度制和弧度制来度量零角，单位 不同，但数量相同（都是0）。 用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，数量也不同。 周角的弧度数是2π，而在角度制下 的度数是360。
y
探究
B α O A x
如图，半径为r的圆的圆心与原点 重合，角α的始边与x轴的正半轴重合， 交圆与点A，终边与圆交与点B.请在下 列表格中填空。
2
周角的弧度数是2π，而在角度制 下的度数是360。 ∴ 360°= 2πrad； 180°= πrad.
π 1= rad ≈ 0.01745rad 180
°
180°= πrad
180 ° ° 1rad = （ ）≈ 57.30 π
例3：请用弧度制表示下列角度的范围.
π θ 锐角： {θ|0°＜θ＜90°}， 0, 2
例6:直径为20cm的圆中，求下列各圆
4π 心所对的弧长⑴ 3
⑵ 165o
解： r = 10cm
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
o
11π 55π 所以l = ´ 10 = (cm) 12 6
已知扇形的周长为30cm，当它的半径和 例7 ： 圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最 大？最大面积是多少？
解：扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为 l，面积为S， 则有 l + 2r = 30 ∴ l = 30 - 2r
骣 15 ÷ 225 1 1 ∴ S = rl = (30 - 2r)´ r = - ç r- ÷ + ç ÷ ç 桫 2 2 2 4
3 、不论是以“弧度”还是以“度”为单位 的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的 定值． y y
B
Ｄ
A
α
O
x x
α
O
Ｃ
x x
（２） （１） 当圆心角一定时，它所对弧长与半径的 比值是一定的，与所取圆的半径大小无关。
弧度数的绝对值公式 角的弧度数的绝对值
l （l为弧长，r为半径） r
S弓形 = S扇形 - S ΓΑΟΒ = 12π - 9 3
教材习题答案
π 7π 1、（1） （2）8 6
20π （ 3） 3
2、（1）15°（2）－240°（3）54°
α | α = kπ,k Ζ 3、（1）
π （2） α | α = + kπ,k Ζ 2
4、（1）
3
Ｄ．- 7π
6
2、67°30′化成弧度。 解： ∵67 30' = 67.5
o
o
o
π 3 ∴67 30' = rad 67.5 = πrad 180 8
3 3、 把 πrad 化成度。 5
解： 3 πrad = 3 ´ 180o = 108o 5 5
4、如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇 形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
知识回顾
生活中，存在着各种不同的度量单 位制，比如度量长度用的千米、尺、码 等，度量重量用的吨、斤、磅等，不同 单位制能给解决问题带来便利，角的度 量除了用度之外，是不是还有其他的单 位制呢？
1.1.2 弧度制
教学目标
知识与能力
理解弧度制的含义； 弧度数的绝对值公式； 会弧度与角度的换算。
教学重难点
2
15 225 ∴ 当r= 时，扇形面积的最大值是 cm 2 2 4
15 30 - 2 ´ l 2 =2 此时 α = = （弧度）。 15 r 2
课堂小结
1、弧度制的概念 2、弧度制和角度制的比较与换算 具体总结如下表：
弧度制 度量单位 弧度
圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的角
角度制 角度
例1：已知扇形的周长是6cm，面积是 2cm² ，则扇形的圆心角的弧度数是 （ B ） Ａ．1 Ｂ．1或4
Ｃ．4
Ｄ．2或4
例2：下列选项中，错误的是（ D ） A“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位 1 Ｂ．一度的角是周角的 360 ，一弧度的角是周 1 角的
Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们 与圆的半径长短有关
单位规定 等于半径的长的
1 周角的 为1度的角 360
π =180° 180 换算关系 1rad= 57.30 57°18′，
π rad=0.01745 rad 1° = 180
课堂练习
1、－300°化为弧度是（ Ｂ ）
Ａ. - 4π
3 7π Ｃ． 4
Ｂ．- 5π
解：设扇形的半径为r，弧长为l ，则有
2r + l = 6 r = 2 l =1 l = 2 r
A
B
o
∴
扇形的面积 S =
1 rl = 2(cm)2 . 2
5、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中 心角是1弧度,求该扇形的面积。 ∵ 弧长 ∴
l= a R= R
3R = 6, R = 2
练习:将下列角度转化为弧度：

（1）36°= 5 （rad）；
7π （2）－105°= （rad）； 12
5π （3）37°30′= （rad）. 24
角 度 弧 度
0

30 45 60 90 120 135 150 270 360 180
0
π π 6 4
π π 3 2
直角： {θ|θ=90°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°}
θ=
π 2
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
π θ ，π 2
θ=π θ = 2π
0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}
π θ - ， 2
B O
l=2r
2弧度
3r
3rad
r
A
r
O B
r
A
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所 对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对 值是
l l = 3， 即∠AOB=－ = －3弧度。 r r
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角 的制度，角度制是以“度”为单位度量角的 制度； 2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心 角（或该弧）的大小，而1°是圆的 1 所对的 360 圆心角（或该弧）的大小；
2π 3π 5π 3 4 6
π
3p 2
2π
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度” 二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角 。 所对应的弧度数.但如果以度（ ）为 单位表 。 示角时，度（ ）不能省略.
1、弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角 正实数
零角
负角
零
负实数
l 2、求弧长： α = R
cos0.75o > cos0.75
o
（2） tan1.2
< tan1.2
5、 m 3
6、弧度数为1.2
1 例6:利用弧度制证明扇形面积公式 S = lR 2
其中是l扇形弧长，R是圆的半径。
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 1 πR 2
2π
∴
弧长为l的扇形圆心角为
∴
l rad R
R
o
S
S=
l 1 1 π R 2 = lR R 2π 2
l
nπ R 2 比较这与扇形面积公式 S扇 = 要简单. 360
绝对值是
l | a |= r
l |α|= r
r r
其中 : 1、l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2πr 3、圆心角θ为周角时，l = 2πr，则θ = = 2 π； r πr 4、圆心角θ为半角时，l = πr，则θ = = π。 r
π θ 0， 2
0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
θ 0，π
θ 0， 2π
例4：将下列弧度转化为角度：
= 15 °； （ 1） 12
7p = －157 ° 30 ′； （2）8
13 = 390 °. （ 3） 6
1 于是 S = Rl = 2 (cm 2 ) 2
6、已知扇形AOB的圆心角为120°，半 径为6，求此扇形所含弓形面积。
2π 解：由 α = 120 = ,r = 6 3 2π l = r | α |= 6 = 4π 3
o
∴ ∴
又∵ ∴
1 1 S扇形 = lr = 4π 6 = 12π 2 2 1 2 2π 1 2 3 S ΓΑΟΒ = r sin = 6 =9 3 2 3 2 2
AB 的长
r 2 r r
2r r
OB旋转的方向
ÐAOB的弧
度数
ÐAOB的度
数
逆时针方向
逆时针方向 逆时针方向 顺时针 顺时针 未旋转 逆时针方向 逆时针方向
2
1 －2
180°
360°
57.3° - 114.6° - 180°
-p
r 2 r
0
2
0
0°
180°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
360°
由上表可知，如果一个半径为ｒ的圆 的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度制的
重点： 了解弧度制，并能进行弧度与 度的换算。 难点： 弧度的概念。
角的度量
1 角度制 1度的角等于周角的 360
弧度制
定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做１弧度的角。
符号： rad 读作：弧度。
如图，圆O的半径是1，
l 的长等于1,
O
B
1 rad
l
A
ÐAOB 就是1弧度的角。
l 若l=2r，则∠AOB= = 2弧度； r l 若l= 3r，则∠AOB= = 3弧度。 r