异面直线所成角的求法(几何法)优质课

（几何法）
娄底市蓝圃学 校 卢明明
复习定义： 1、异面直线的画法（平面衬托法）
β
b b
a
α
α
a
b
a
α
复习定义：
2.异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作 直线a‘ ∥a，b’ ∥b，把a‘与b’所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a、b所成的角.
b
b’
b
a
a’
O
O a'
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F，
连结C1E，A1E，则A1C1E为A1C1与BD1 D1
C1
F1
所成的角(或补角)，
A1
B1
E1
在A1C1E中，
D
C
A1C1 5, A1E 2 5, C1E 3 A
F
B
E
由余弦定理得
cos A1C1E
5 5
A1C1与BD1所成角的余弦值为
ABCD-A1B1C1D1正方体 求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
取DD1的中点E，连接BD 交AC于O 连OE ∵ OE // BD1 ∴∠ AOE是异面直线BD1 和AC所成的角（或补角）
A1 E D
B1
在正方体ABCDA1B1C1D1 中
连接AE，EC
在三角形ACE中
∵AE=EC, OA=OC
5 5
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
现两条异面直线的关系。
例3：
ABCD-A1B1C1D1正方体 求异面直线BD1和AC所成的角
E1
D1
F1
A1
E
D
F
A
C1 B1
C B
课堂小结： 体现了“化归数学思想”
1、异面直线所成角的两种求法： （1）平移法 常用中位线平移 （2）补形法
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形） 求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
感谢聆听 敬请指正
习题1
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为
a
注意：
（1）异面直线所成角的范围：(0 ,90 ] （2）特别的：当角为 90 时，称直线a,b互
相垂直，记为： a b
典例讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体 (1)求异面直线AA1与BC所成的角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
典例讲解：
异面直线所成角的求法
D A
C 连接A1B
∵∴∠△AA11BCC1B1是=6等0边0 三角形
B
异 角面为6直0线0 BC1和－A－C所求成角的
例2 （07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、 G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，求异面直线EF与
GH所成的角
解：连接A1B，BC1，A1C1
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体
(2)求异面直线BC1和AC所成的角 连接A1C1 －－作角
D1
C1
在正方体中ABCDA1B1C1D1，
∵ A1A∥CC1
∴ ACC1A1是平行四边形
A1
B1
∵ A1C1 ∥AC ∴ BC∠1和AA1CC1B即为为异什面么直线
所成的角(或－补角－)证角
900
D1 A1
C1 B1
D O
A
C B
习题2
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
∵A1B // EF，BC1 // GH
A1
∴∠A1B C1为EF与GH所成的角（或补角）
在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1
E
∴∠A1B C1=60° A
∴异面直线EF与GH所成的角等于60°
D1
D
F
H C1
B1
G
C
B
方法整理：
1、求异面直线所成角的“三步曲”：
作
证
求
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线
（在平面上适当的平移）
由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ
注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ
体现了立几的“降维思想””化归思想”
异面直线所成角的求法
练习1. 已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体
若M、N分别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所成
的角余弦值
D1
A1
M
C1
取AB的中点Q， 取C1C的中点R
连接B1Q，连接B1R，连
p
接QR
则∠ QB1R是AM与CN
所成的角（或补角）
B1
R
R
D
A
Q
N C C
BQ
异面直线所成角的求法
练习1
D1
C1
A1
M
B1
F
N
解：取AB的中点E，取C1C
的中点F,连B1 E ，连B1F，连 EF
∵MB1 // A E ,MB1=A E ∴EB1 //AM 同理B1F //CN
A1
B 1
OM
1 2
BD1
Байду номын сангаас
1 2
22 12 22 3 , 2
D
M
A1O
1 2
22 12 5 , 2
由C 余弦定理得 cos A1OM
5, 5
A
B A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
方法归纳：平移法 即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”
的方法，使之成为相交直线所成的角。
解法二：
则AM与CN所成的角（或补角
）是∠ E B1F
在正方体AC1中，
E B1 =
BB12 EB2 =
1
1
2 =
2
5 2
B1F =
C EF=
BC12 C1F 2 =
1
1
2 =
2
5 2
EC2 CF 2 =
A
E
B
5 2
2
1 2
2 =
5 2
COS ∠ E B1F =
2 5
例3：
异面直线所成角的求法
C
∴OE⊥AC ∠ AOE=900
o
A
B 借助平面平移
练习2
长方体ABCD-A1B1C1D1，ABAA12 cm， AD1cm，求异面直线A1C1与BD1 所成角的余弦值。
解：如图，连B1D1与A1C1 交于O，
取BB1的中点M，连OM，则OMD1B，
连A1M，在A1OM中
D于1 是O A1OM就C是1 异面A直1M线A1C221与1B2 D1所5成, 的角（或其补角），