高中数学竞赛专题讲座有哪些

高中数学竞赛专题讲座有

哪些

篇一：高中数学竞赛专题讲座之数列

高中数学竞赛专题讲座之数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?

?A?a1

?B?a2

2

，则?an?的最大项是（B ）

n2?4n?5

?C?a3 ?D?a4

23

2．（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,anan?2?10an?t?n?3?，则lg(a100)? （）

A、98

B、99

C、100

D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，

其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”

为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为（ A ）

A. 2007

B. 2008

C. 2006

D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1

的最小整数n是（）125

B．6

C．7

D．8

A．5

解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-

1

的等比数列， 3

1

8[1?(?)n]

1n1n13∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)==6-6×(-)，∴|Sn-n-6|=6×()<，得：

1331251?3

3250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。

5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=

A．1

B．-1

xn?13?xn

2005

，则

?x

n?1

n

= （）

C．2+3 D．-2+3

解：xn+1=

xn?1?

xn3

3

?3，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-3,

6

2005

x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1，??，∴有

n?1

n

?x1?1。故选A。

6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}的前n项和分别为An，Bn记、{bn}

Cn?an?Bn?bn?An?an?bn(n?1)则数列{Cn}的前10项和为( C )

A?B10

A .A10?B10 B. 10 C.A10?

B102

7．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

则f2006(2006)f(123)?12?22?32?14。记f1(n)?f(n)，fk?1(n)?f(fk(n))，k?1,2,3,?，

＝

(A) 20(B) 4（ D ）

)?40记做2006?40，于是有解：将f(2006

(C)

42

(D)

145.

2006?40?16?37?58?89?145?42?20?4?16??

从16开始，fn是周期为8的周期数列。故f2006(2006)?f2004(16)?f4?250?8(16)?f4(16)?145.

正确答案为D。二、填空题部分

111111?

?5?41036?235?1111?

11

),则1.数列?an?的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn?(an? 2an

a

n2．（200 6天津）已知a,b,c,d都是偶数，且0?a?b?c?d，d?a?90，若a,b,c成等差

数列，b,c,d成等比数列，则a?b?c?d的值等于194．

3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，?，

n3

记这个数列前n项和为S(n)，则lim=___________。n???S(n)

4．（2006年江苏）等比数列?an?的首项为a1?2020，公比q??前n项的积，则当n?12 时，f?n?有最大值．

1

．设f?n?表示这个数列的2

5. 在x轴的正方向上，从左向右依次取点列Aj,j?1,2,?，以及在第一象限内的抛物线

??

y2?

3

x上从左向右依次取点列?Bk?,k?1,2,?，使?Ak?1BkAk （k?1,2,?）都是等边三角形，其2

中A0是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是。【解】：设第n个等边三角形的边长为an。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为（a1?a2???an?1? an

，2

a?3?

。?a1?a2???an?1?n?）

2?2?

2

an

再从第n个等边三角形上，我们可得Bn的纵坐标为

?1?

??an??an。从而有22??

2

an12an?3?

a?a?a???a?，即有。an??a1?a2???an?1??n12n?1

22?2?22

由此可得a1?a2???an?（2）

an12a12

?an （1）,以及a1?a2???an?1?n?1?an?1

2222

11

(an?an?1)?(an?an?1)(an?an?1). 22

变形可得(an?an?1?1)(an?an?1)?0.

（1）－（2）即得an?

由于an?an?1?0，所以an?an?1?1。在（1）式中取n ＝1，可得故a1?1。

因此第2005个等边三角形的边长为a2005?2005。

6.(2005年浙江)已知数列xn，满足(n?1)xn?1?xn?n, 且x1?2，则x2005= 【解】：由(n?1)xn?1?xn?n，推出xn?1?1? 112

，而a1?0，a1?a1

22

2005!?1

。

2005!

xn?1