江苏省启东中学2017-2018高二数学期末测试题
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题(扫描版)
10若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在( ，＋∞)上递增，所以f(x)＞f( )＝－1－ ，
因为函数y＝f(x)在( ，＋∞)上没有零点，所以－1－ ≥0，即a≤－e；
……………6分
20若a＞0，由f′(x)＝0，得x＝ .
10．2x－y＋2＝0(或y＝2x＋2)；11．2；12．(0,+∞)；13． ；14．4．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子．
（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；
（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率．
①当 ≤ 时，即a≥e时，f′(x)＜0，f(x)在( ，＋∞)上递减，
所以f(x)＜f( )＝－1－ ＜0，符合题意，所以a≥e；……………8分
②当 ＞ 时，即0＜a＜e时，若 ＜x＜ ，f′(x)＜0，f(x)在( ， )上递增；
若x＞ ，f′(x)＞0，f(x)在( ，＋∞)上递减，
所以f(x)在x＝ 处取得极大值，即为最大值，
即所求实数a的取值范围是a≤－e或a＞ .……………10分
（3）不妨设0＜x1＜x2，
由f(x1)＝f(x2)，得lnx1－ax1－b＝lnx2－ax2－b，
因为a＞0，所以 .……………12分
又因为 ，f′(x)在(0，＋∞)上递减，且f′( )＝0，
故要证 ，只要证 ，
只要证 ，只要证 ，
只要证 （*），……………14分
（3）当a＞1时，若函数f(x)的定义域为A，求函数f(x)的值域．
江苏省-学年度第一学期期终考试高二数学试卷
▲
．
y P
M
F1
O
F2
x
（第 14 题) 二、解答题:本大题共 6 小题,共计９０分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答,解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
1５．(本小题满分 14 分）
已知 z 为复数， z 2i 和 z 均为实数,其中 i 是虚数单位. 2i
(1）求复数 z 和 z ；
--
江苏省启东中学 2017-２０１8 学年度第一学期期终考试 高二数学试卷 2０18.1.８
注意事项: 1．本试卷共 4 页,包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分.
本试卷满分为１６0 分,考试时间为 120 分钟. 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的
的方差是
▲．
▲.
５.抛物线 x2 =4 y 的焦点到准线的距离为
▲
．
Read x If x≥0 y←2x＋1
Then
Else y← 2－x2
End If
Print y
（第 3 题）
6.某校高一年级有学生 400 人，高二年级有学生 360 人,现采用分层抽样的方法从全校学生
中抽出 56 人，其中从高一年级学生中抽出 20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为
（2）证明: 2 为无理数; （3）证明:1， 2 ，4 不可能为同一等差数列中的三项．
20．(本小题满分 16 分） 已知椭圆 C： x2 y2 1 左焦点 F,左顶点 A，椭圆上一点 B 满足ＢF⊥ｘ轴,且点 B 16 12
在ｘ轴下方，BＡ连线与左准线 l 交于点Ｐ,过点Ｐ任意引一直线与椭圆交于 C、D，
江苏省启东中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 理
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二理科数学试卷数学I 2018.06(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 是 ▲ . 2.函数)2lg(1x y -=的定义域是 ▲ .3.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是 ▲ .4.曲线y ＝sin xsin x ＋cos x +1在点)23,4π(M 处的切线的斜率是 ▲ .5.已知命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数,则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号）①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝6.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝ ▲ .7.已知x x g 21)(-=,)0(1)]([22≠-=x xx x g f ,则)21(f = ▲ . 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示是 ▲ .9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 ▲ 条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 11.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02≤<-x 时， a x f x +=2)(，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-213f ▲ . 12.已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若若存在(2,3),∈t s ， 且t s ≠，使得)()(t f s f ≠成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <，且()()31f x f x ⋅+=-， 若ef 1)2018(-=，则不等式1)(+<x e x f 的解集是 ▲ .14. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x+2)=3f (x )，当[0,2]x ∈时，x x x f 2)(2-=， 若[4,2]x ∈--时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥t t x f 3181)(恒成立，则实数t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数x a x f )62()(-=在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围．16．（本小题满分14分）已知函数,R (11lg )(∈--=k x kx x f 且k >0)． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（本小题满分16分）已知函数().ln xxxf=（1）求函数()x f的极值点；（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线()x fy=相切，求直线l的方程；（3）设函数()()()1--=xaxfxg，其中Ra∈，求函数()x g在[]e,1上的最小值.（其中e为自然对数的底数）数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y＝ln xx2＋1； (2)y＝ln(2x－5)．2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值．4.（本小题满分10分）设(1+x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考理数学I一、填空题：1.{0,2,4}；2.)2,1()1,(⋃-∞；3. (0,1]；4. 21；5.①④；6. ±1；7. 15；8.()()5,05,-+∞；9. (－∞，2]；10.充分必要；11. 424-；12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92 ； 13.),2(+∞- ；14.10t -≤<或3t ≥二、解答题： 15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围． 解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a <72； ……………4分由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a >52；……………8分若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为∅； ……………10分若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，解得52<a ≤3或a ≥72. ……12分综上所述52<a ≤3或a ≥72. ……………14分16．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R ，且k >0)．(1) 求函数f (x )的定义域；(2) 若函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围． 解：(1) 由kx －1x －1>0，k >0，得x －1k x －1>0，当0<k <1时，得x <1或x >1k；当k ＝1时，得x ∈R 且x ≠1；当k >1时，得x <1k或x >1.综上，当0<k <1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k ≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1. …………… 7分(2) 由函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1，得k －1x 1－1<k －1x 2－1(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k <1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. ……………14分 17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. ……………5分(2)f (x )为偶函数． ……………7分 证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． ……………10分 (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. ……………15分 18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1-=a ，32ln )(++-=x x x f )0(>x ，'1()2f x x -=+， …2分∴ ()f x 的单调递减区间为（0，21）,单调递增区间为（21,)∞+ ………4分111() ln 23ln 2 4.222f x f =-+⨯+=+的极小值是（）. …………7分（2）23)21(31)(x m x x x g ++-+=,1)24()(2'-++=∴x m x x g , 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ , ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m . …………………12分m 的取值范围10(,2)3-- . ………14分19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. ……………8分(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104； ……………10分 ②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，……12分所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．…………16分 20．（本小题满分16分） 已知函数().ln x x x f = （1）求函数()x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0. 而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增. 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.…………………5分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………7分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………10分（3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e上单调递减，在()+∞-,1a e上单调递增.①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ……12分②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e上单调递减，在(]e ea ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……14分 ③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a e a ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+ ………………16分数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx 2＋1； (2)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.(2)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，(2)由V (Y )＝a 2V (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值． 解：(1)因为a k ＝C kn ，当n ＝11时，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111 ＝12(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1 024. (2)左边=21111111111111[(1)]n n n n n kk k k k nn n n n k k k k k k C knC n kC n C k C --------========+-∑∑∑∑∑． 1212122222[2(1)][2(1)]2(1)2n n n k n k n n n n k k n n Cn n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑ 2(1)2n n n -=+证法二求导积分赋值法：1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x 1122(1)2n n n n n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得2112221(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得22212223212()2123(1)n n n n n n n n n n C C C n C n C --+=++++-+L。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 函数的导数为_____________ ．2. 若，则＝______．（用数字作答）3. 设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为______．4. 人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为______．5. 函数的单调减区间是______．6. 函数的极大值是______．7. 设函数的导函数为，若，则＝______．8. 用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有______个．（用数字作答）9. 已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是______．10. 已知两曲线，相交于点P，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值是______．11. 某种圆柱形的饮料罐的容积为，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含的代数式表示）______．12. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是______．13. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______．二、解答题14. 在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）15. 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．16. 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.(1) 求的极值；(2) 设，若在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围．17. 已知函数＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线倾斜角的取值范围；（2）求在区间上的最值；（3）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．18. 为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径上一点（异于两点），点D是圆弧上一点，且．为了实现“以展养展”现在决定：在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每百米为元，线段及圆弧处每百米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．19. 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，求证；（3）设，对于任意时，总存在，使成立，求实数的取值范围.。
江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数
江苏省启东中学2017~2018学年度第二学期高二创新班月考 数学试卷 2018.5.27数学I本试卷均为非选择题( 第1题～第20题，共20题) ．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．抛物线24y x =的准线方程为 ．2．如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则取到黑色牌的概率是 ． 3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ．4．若圆C 的半径为1，点C 与点(2，0)关于点(1，0)对称，则圆C 的标准方程为 ．5．双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是 ．6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ．7．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 8．记函数f (x )＝4－3x －x 2的定义域为D .若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为 ．9．在平面区域{(x ，y ) |0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为 ．10．随机变量ξ的取值为0，1，2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则标准差为 ． 11．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮命中率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学透过这次测试的概率为 ．12．盒中共有9个球，其中4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．从盒中随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为1x ，2x ，3x ，随机变量X 表示1x ，2x ，3x 中的最大数，则X 的数学期望()E X = ．13．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b+=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ．14．设实数x ，y 满足2214x y -=，则234x xy -的最小值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{－2，0，1，3}，在平面直角坐标系中，点M 的坐标(x ，y )满足x ∈A ，y ∈A ．⑴请列出点M 的所有坐标； ⑵求点M 不在y 轴上的概率．16．（本小题满分14分）如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°．⑴求椭圆C的离心率；⑵已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0) ．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2－p，－p）；②求p的取值范围．18．（本小题满分16分）已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1．⑴若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率；⑵若a，b∈[1，6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．19．（本小题满分16分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．⑴若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的概率分布及数学期望；⑵商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．20．（本小题满分16分）如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8．⑴求椭圆的方程；⑵过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心． ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．数学Ⅱ（附加题）本试卷均为非选择题（第21题~第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟． 21.【选做题】本题包括A 、B 两小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.（本小题满分10分）证明等式：12312323(1)!1nn A A A nA n +++=+- ．B.（本小题满分10分）某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（本小题满分10分）将5个小球放入三个不同的盒子中．⑴若小球完全相同，且每个盒子至少放一个球，求有多少种放法？⑵若小球各不相同，且每个盒子至少放一个球，求有多少种放法？⑶若小球完全相同，盒子也完全相同，求有多少种放法？23．（本小题满分10分）设4k S =12a a ++⋅⋅⋅4k a +()*k ∈N ，其中{}01i a ∈，(i =1，2，⋅⋅⋅，4k )．当4k S 除以4的余数是b (b =0，1，2，3)时，数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，4k a 的个数记为()m b ．（1）当2k =时，求m (1)的值；（2）求m (3)关于k 的表达式，并化简．。
【配套K12】江苏省启东市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题
2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上．1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ． 2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为_____▲____．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．. 8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第3题）11．在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得的所有弦中弦长的最小值为 ▲ ．12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动， 则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆()()22:3354C x y -+-=和两点()3,0A m -，()3,0Bm （0m >），若圆C上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______▲______．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．21PF F MOy x(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， 求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--． （1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ． （1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别是 {}n a 的第几项； （2（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分16分）已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值；（2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M221a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中Ra∈，若点(1,2)P-在矩阵M的变换下得到点(4,0)P'-，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．21．（C）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，圆的参数方程为（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点 为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23． （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ， 且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ， 直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则 2分4分所以， 8分（2） 14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数． …10分 （3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项， 且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分 设公差为d ，显然d ≠0，则， 消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-32(x +4) 又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6)又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→PQ 1+λ1， 同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝→PQ +λ2→PA 1+λ2又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ 1+λ1又→PC //→PD ，比较系数得32λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32 8分（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)由→BC ＝λ1→CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+λ1y 01+λ12＝48整理得：(3x 20+4y 20-48)λ21-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48同理由→QD ＝λ2→DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ22＝48同理可得：λ2＝3x 20+4y 20-4824x 0+96又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 20+4y 20-4824x 0+96＝32 整理得：x 0-y 0+2＝0 即点Q 在定直线x -y +2＝0上 16分21.(B)【解析】（1）由=，∴ --------------3分 （2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分 21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分 （2）圆的普通方程为： 圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分 22． 【解析】依题意， ，如图，以为点，分别以的方向为轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证， 为平面的一个法向量. 依题意， .K12教育资源学习用资料K12教育资源学习用资料 设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0． 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分 因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分 因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分。
2017年江苏省南通市启东高二(上)期末数学试卷((有答案))AlPKwH
2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M 的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M 的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．+b n+2+…+b2n=+…+∴当n≥2，n∈N*时，b n+1下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．+b k+2+…+b2k＜﹣．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．则n=k+1时，b k+2∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【分析】利用复数的运算性质、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【分析】分析出算法的功能是求分段函数f（x）的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值即可．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的关键．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【分析】根据平均数与方差的公式计算即可．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为2．【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．【点评】本题考查的简单性质，考查计算能力．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：18【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【分析】根据已知中各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，分析等式两边的数的变化规律，发现等号前为一个平方差的形式，右边是4的整数倍，归纳总结后，即可得到结论．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【分析】根据题意，求出椭圆的焦点，分析可得双曲线的焦点在x轴上，且c=4，可设双曲线的方程为﹣=1，由离心率公式和c的值可得a的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入双曲线的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意先求出椭圆的焦点，方便设出双曲线的方程．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【分析】基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有10个，由此能求出出现向上的点数之和不小于9的概率．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【分析】若命题“p∧q”是真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得答案．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=1【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数问题，难度中档．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【分析】已知直线过定点I（3，﹣2），由题意画出图形，利用垂径定理求得答案．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【分析】由椭圆方程求得椭圆的离心率和左准线方程，把2|PF1|转化为椭圆上的点到左准线的距离，过A作左准线的垂线AB，则AB的长度即为所求．【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．【点评】本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆的简单几何性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【分析】当D（0，3m）时，∠ADB=60°，满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，从而|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，进而（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．【解答】解：设P（x0，y0），M（x M，y M），∵，∴=（x0+c，y0）=（x M+c，y M）∴M（x0﹣c，y0），=（x0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（x0，y0）∴（x0﹣c）x0+y02=0即x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去y0得：c2x02﹣2a2cx0+a2（a2﹣c2）=0，解得：x0=或x0=，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查向量共线的坐标表示，以及向量垂直的条件：数量积为0，同时考查解方程和解不等式的运算求解能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由虚部为0求得b，代入，由其虚部为0求得a，则复数z和|z|可求；（2）由的实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可．（2）求出命题q成立时，t的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，列出不等式求解即可．（2）通过椭圆的焦点所在的轴，求解椭圆的离心率即可．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【分析】（1）设出P的坐标，利用距离公式，通过待定系数法列出方程组求解即可．（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），M，N在圆C 上，即关于x，y的方程组有解，转化为直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，利用点到直线的距离公式，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【分析】（1）根据题意取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，由等比数列的通项公式求出a n，再求出a n=4时的项数n即可判断；（2）假设是有理数，利用有理数的定义得：存在互质整数h、k，使得，再进行证明直到推出矛盾；（3）假设1，，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【分析】（1）由椭圆方程求得F坐标，结合BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），结合A（﹣4，0），求得直线AB方程，进一步求得P的坐标，由=λ1，得，再由=λ2，得，再由，可得，利用，由系数相等即可求得；（2）设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得，，代入椭圆方程：，求得λ1，同理求得λ2，代入，可得x0+y0+2=0，说明点Q在定直线x﹣y+2=0上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属难题．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【分析】（1）点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P'（﹣4，0），利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a的值；（2）先求矩阵M的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，从而可得矩阵M的特征值，进而可求特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．【点评】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M的特征值及其对应的特征向量．关键是写出特征多项式，从而求得特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4，求出圆心M（0，﹣2）到直线x+y ﹣1=0的距离，即可得到圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG ∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【分析】（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．（2）设Q（x1，y1），则，从而y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．【解答】解：（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（x0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4x．证明：（2）设Q（x1，y1），则，y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴x0x1=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（x1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查向量共线的证明，考查抛物线、直线方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题+Word版含解析
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共160分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. “”的否定是__________．【答案】【解析】分析：根据的否定为得结果.详解：因为的否定为，所以“”的否定是点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.2. 函数的定义域是__________．【答案】【解析】分析：根据分母不为零得定义域.详解：因为，所以,即定义域为.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.3. 两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于的概率是__________．【答案】【解析】在距绳子两段两米处分别取A，B两点，当绳子在线段AB上时（不含端点），符合要求，所以灯与两端距离都大于2m的概率为，故填．4. 命题，命题，则“或”是__________命题.(填“真”、“假”）【答案】真【解析】分析：先判断p,q真假，再判断“或”真假.详解：因为，所以p为假命题,因为，所以q为真命题,因此“或”是真命题，点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.5. 函数的导函数__________．【答案】【解析】分析：根据导数运算法则直接计算.详解：点睛：本题考查基本初等函数导数，考查基本求解能力.6. 已知函数是上奇函数，且当时，则__________．【答案】【解析】分析：先求，再根据奇函数得.详解：因为，因为函数是上奇函数，所以点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.7. 已知集合，若，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果.详解：因为，所以点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.8. 函数的单调减区间为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集.详解：因为，所以因此单调减区间为.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.9. “”是“函数是上的奇函数”的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）【答案】必要不充分【解析】分析：先举反例说明充分性不成立，再根据奇函数性质推导，说明必要性成立. 详解：因为满足，但不是奇函数，所以充分性不成立，因为函数是上的奇函数，所以必要性成立.因此“”是“函数是上的奇函数”的必要不充分条件.，点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10. 设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数图象在处的切线方程是，，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化11. 若关于的不等式的解集是，则实数的值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二次函数图像得恒成立且的两根为1，3，再根据韦达定理求实数的值详解：因为关于的不等式的解集是，所以恒成立且的两根为1，3，所以.点睛：一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.12. 函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据图像得，解得b,a关系,即得解析式，根据二次函数性质求取值范围.详解：因为根据图像得，所以点睛：本题考查幂函数图像与性质，考查二次函数求最值方法.13. 已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先根据导数研究图像，再根据与图像交点情况确定实数的取值范围.详解：令，所以当时，；当时，；作与图像，由图可得要使函数恰有两个不同的零点，需点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是增函数.若存在实数，对任意的【答案】【解析】分析：先根据单调性得对任意的都成立，再根据实数存在性得，即得，解得正整数的最大值.详解：因为偶函数在区间上是增函数，对任意的，都有，所以对任意的都成立，因为存在实数，所以即得，因为成立，，所以正整数的最大值为4.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题：15. 甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求基本事件总数，再求点数之和是4的倍数事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求基本事件总数，再求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A，基本事件共有36个，事件A包含9个基本事件，故P(A)=；（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B，基本事件共有36个，事件B包含21个基本事件，故P(B)=．答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为.（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16. 已知集合.（1）当时，求集合；（2）当时，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）解一次不等式得集合A，（2）先根据A∩B= B得B A，再根据k分类解集合A，最后根据数轴确定实数的取值范围.详解：（1）当k＝1时，A＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}；（2）因为A∩B= B，所以B A，由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，①当k=0时，A=R，满足B A成立；②当k<0时，A=，由B A，得，即，故，综上所述：．点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．17. 如图，在圆心角为，半径为的扇形铁皮上截取一块矩形材料，其中点为圆心，点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长，圆柱形铁皮罐的容积为.（1）求圆柱形铁皮罐的容积关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积最大？最大容积是多少？ (圆柱体积公式：，为圆柱的底面枳，为圆柱的高）【答案】（1）；（2），.【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根据周长公式得半径，再根据圆柱体积公式求V(x)，最后根据实际意义确定定义域，（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值.详解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，设圆柱底面半径为r，则＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x)＝，定义域为(0，60).（2）由V ′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：(20V(20所以当x＝20时，V(x)有极大值，也是最大值为.答：当x为20 cm时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得实根；第三步：比较实根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．18. 已知命题函数是上的奇函数，命题函数的定义域和值域都是，其中.（1）若命题为真命题，求实数的值；（2）若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据奇函数定义得f(－x)＋f(x)＝0，解得实数的值；（2）根据函数单调性得转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根，利用实根分布解得k 的取值范围，由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得命题p和q中有且仅有一个为真命题，根据真假列方程组解得实数的取值范围.详解：（1）若命题p为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，即，化简得对任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命题q为真命题，因为在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是单调增函数，又g(x)的定义域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的两个不相等的实根，且1＜a＜b．即方程有两个大于1的实根且不相等，记h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范围为．因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p和q中有且仅有一个为真命题，即p真q假，或p假q真．所以或所以实数k的取值范围为．点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.19. 已知函数，集合.（1）当时，解不等式；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）；（3）当时，的值域为；当时，的值域为；当时，的值域为．【解析】分析：（1）先根据一元二次方程解得e x＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域. 详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得e x－3e-x－1＞1，所以e2x－2e x－3＞0，即(e x－3) (e x＋1)＞0，所以e x＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因为A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即e x＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.由0≤x≤1得1≤e x≤e，所以3e x－e2x＝－(e x－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）设t＝e x，由（2）知1≤t≤e，记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，(①当≥e时，即a≥e2时，g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域为.②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；所以f(x)的值域为；2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，所以f(x)的值域为．综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；当a≥e2时，f(x)的值域为．点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.20. 已知函数.（1）若函数的图象在处的切线过点，求的值；（2）当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围；（3）当时，存在实数使得，求证：.【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据两点间斜率公式列等式，解得的值；（2）先求导数，根据a讨论导数零点情况，再根据对应单调性确定函数值域，最后根据无零点确定最小值大于零或最大值小于零，解得结果，（3）先根据，解得，代入得，再转化为一元函数：最后利用导数证明h(t)< 0成立.详解：（1）因为f ′(x)＝－a，所以k＝f ′(1)＝1－a，又因为f(1)＝－a－b，所以切线方程为y＋a＋b＝(1－a)(x－1)，因为过点(2，0)，所以a＋b=1－a，即2a＋b＝1.（2）当b＝0时，f(x)＝lnx－ax，所以f ′(x)＝－a＝.10若a≤0，则f ′(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上递增，所以f(x)＞f()＝－1－，因为函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，所以－1－≥0，即a≤－e；20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝.①当≤时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)＜f()＝－1－＜0，符合题意，所以a≥e；②当＞时，即0＜a＜e时，若＜x＜，f ′(x)＜0，f(x)在(，)上递增；若x＞，f ′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(，＋∞)上没有零点，必须满足f()＝ln－1＝－lna－1＜0，得a＞，所以＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞.（3）不妨设0＜x1＜x2，由f(x1)＝f(x2)，得lnx1－ax1－b＝lnx2－ax2－b，因为a＞0，所以.又因为，f ′(x)在(0，＋∞)上递减，且f ′()＝0，故要证，只要证，只要证，只要证，只要证（*），令，记，则，所以h(t)在(1,+∞)上递减，所以h(t)< h(1)=0，所以（*）成立，所以原命题成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21. 求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或．【解析】分析：（1）根据复合函数（指数函数与一次函数的复合）求导法则求导数，（2）根据复合函数（幂函数与一次函数的复合）求导法则求导数.详解：（1）；（2）．或．点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的.22. 2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果.详解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分别有360和576种不同的排法.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.23. 小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为.（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果. 详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝××＝；故随机变量ξ的概率分布为所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋3×＝．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.24. 已知，定义.（1）求的值；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先根据定义代入求求的值；（2）根据定义可得，则左边化简得，利用等式化简,并利用二项式定理可得结果.详解：（1），．（2）当n＝1时，,等式成立．当n≥2时，，由于，所以，综上所述，对n∈N*，成立．点睛：有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.常应用组合数性质进行转化：，.。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题
江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()sin f x x x =-的导数为 ．2．若56n n C C =，则9n C ＝______．（用数字作答）3．设曲线3()f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ______．4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为______．5．函数()ln f x x x =的单调减区间是______．6．函数311()433f x x x =-+的极大值是______． 7．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______． 8．用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ______个．（用数字作答）9．已知函数()327f x x x =-在区间[],1a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ______．10．已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,,2g x x x ππ⎛⎫=∈⎪⎝⎭相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是______．11．某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示）______．12．已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2x y e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是______． 13．已知a 为常数，函数()()201ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为______．二、解答题14．在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）15．设关于x 的一元二次方程x2＋2ax ＋b2＝0，其中a ，b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a ，b ∈{1,2,3,4,5}；(2)若a 是从区间[0,5]中任取的一个数，b 是从区间[0,4]中任取的一个数．16．已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围． 17．已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x(x ∈R)的图象为曲线C ． （1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．18．为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点（异于O B 、两点），点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．19．已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈. （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12x x ，，且1(01]x ∈，，求证123()()2ln 22f x f x -≥-； （3）设()()lng x f x ax =-，对于任意(0,2)a ∈时，总存在[1,2]x ∈，使()(2)2g x k a >--成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．1cos x -【解析】试题分析：由题：()(sin )1cos f x x x x '''=-=-考点：导数的运算．2．55【解析】分析：利用组合数的性质求出11n =，进而可得结果.详解：因为56n n C C =，所以11n =，9921111n C C C ==1110552⨯==，故答案为55. 点睛：本题主要考查组合数的性质与基本运算，属于基本题.3．13【解析】由函数的解析式可得：()2'31f x ax =+， 则函数在()()1,1f 处的切线斜率为()'131f a =+，结合直线平行的结论可得：312a +=，解得：13a =. 4．35【解析】分析：根据这个路口的指示灯的总时间,已知绿灯的时间，利用几何概型的计算公式，计算可得答案.详解：根据题意，这个路口的指示灯的总时间为37360100++=秒，其中有60秒是绿灯时间，则到达路口时，遇到绿灯的概率为6031005=，故答案为35. 点睛：本题主要考查长度型几何概型，属于简单题，可直接绿灯的时间除以总时间求解. 5．1(0,)e【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写成区间形式，可得到函数ln y x x =的单调减区间.详解：函数的定义域为0x >，'ln 1y x =+，令ln 10x +<，得10,x e <<∴函数ln y x x =的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.6．173【解析】函数的定义域为R ，且()()()2'422f x x x x =-=+-， 列表考查函数的性质如图所示：则当2x =-时函数取得极大值：()()()311172242333f -=⨯--⨯-+=. 7．105【解析】 结合导数的运算法则可得：()()2'152'1f x x f =+， 则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-，导函数的解析式为：()2'1530f x x =-， 据此可得：()2'315330105f =⨯-=. 8．300【解析】分析：分两种情况讨论：①三位数中没有一个偶数数字，②三位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下三位数的数目，由分类计数原理计算可得答案.详解：①三位数中没有一个偶数数字，即在1,3,5,7,9种任选三个，有3560A =种情况，即有60个沒有一个偶数数字三位数；②三位数中只有一个偶数数字，在1,3,5,7,9种选出两个，在2,4,6,8中选出一个，有215440C C ⋅=种取法，将取出的三个数字全排列，有336A =种顺序，则有406240⨯=个只有一个偶数数字的三位数，所以至多有一个数字是偶数的三位数有60240300+=个，故答案为300.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.9．()()4,32,3--⋃【解析】分析：求出函数的单调区间，找出函数的极值点，令极值点在区间,1a a +（）内，得到关于a的的不等式，从而可求出a 的范围.详解：()2'3270,3f x x x =->∴>或3,x <-∴函数在()(),3,3,-∞-+∞递增，在()3,3-递减，因为函数()327f x x x =-在区间[],1a a +上不是单调函数，31a a ∴<-<+或31a a <<+，43a ∴-<<-或23a <<，综上所述，实数a 的取值范围是()()4,32,3--⋃，故答案为()()4,32,3--⋃.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用导数求函数单调区间的步骤：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.10．3- 【解析】分析：联立两曲线方程，可得sin 2tan ,0cos x x a x a==>，设交点()P m n ,，分别求出()(),f x g x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1-，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a 值.详解：由()()f x g x =，即2cos sin x a x =，即有sin 2tan ,0cos x x a x a==<，设交点()P m n ,，()2cos g x x =的导数为()()'2,sin g x sinx f x a x =-=的导数为()'cos f x a x =，由两曲线在点P 处的切线相互垂直，可得2cos 1sinm a m -⋅=-，且2tan m a =，则222sin cos 1sin cos a m m m m =+，分子分母同除以2cos m ，即有22tan 11tan a m m =+，可得2441a =+，解得3a =-或a =舍去），故答案为3-. 点睛：本题主要考查导数的几何意义，同角三角函数之间的关系以及两直线垂直斜率之间的关系，属于难题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.11【解析】设饮料罐的底面半径为r ，高为h ，由题意可得：2V r h π=，故2V h r π=， 圆柱的表面积： 2222222222V V S r rh r r r r rππππππ=+=+⨯=+22V V r r r π=++≥当且仅当22V r r π=，即r =点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.12．94ln2.5- 【解析】分析：将问题转化为y m =被.斜率为5且与2x y e x =+相切的直线与直线55y x =- 截得的弦长求解即可.详解：设与55y x =-平行且与2x y e x =+相切的直线的切点为()000,2x x e x +，因为'21x y e =+，000215,2,ln 2x x e e x ∴+===，切点为()ln 2,4ln 2+，切线方程为()4ln 25ln 2y x --=-，544ln 2y x =+-，MN 长度的最小值就是y m =被55y x =-与544ln 2y x =+-截得的弦长54ln 2494ln 2555m m ++---=，故答案为94ln 25-. 点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.13．()31,1.e e ⎧⎫--⋃⎨⎬⎩⎭ 【解析】分析：关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解等价于等价于直线2y ax =+与()y f x =有四个不同的交点，画出，画出()y f x =与2y ax =+的图象，利用数形结合可得结果.详解：关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，等价于直线2y ax =+与()y f x =有四个不同的交点，直线2y ax =+过定点()0,2，斜率为a ，当直线与21x y x +=+相切时，由()21'11x x x +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，令0x =可得斜率1a =-；当直线()ln 01y x x =-<<相切时，1'y x =-，由ln 2111,x x e x x e x--=-⇒=-=-可得斜率a e =-；同理，当直线()ln 1y x x =>相切时，斜率31a e=，画出()y f x =与2y ax =+的图象，如图，由图知，1e a -<<-或31a e=时，2y ax =+与()y f x =有四个交点，此时关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，故答案为()31,1e e ⎧⎫--⋃⎨⎬⎩⎭. 点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．14．（1）1440（2）576（3）3720（4）840【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A 44＝24种情况，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，②，将这个整体与三名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案．【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，则三名女生不能相邻的排法有24×60＝1440种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，则四名男生相邻的排法有24×24＝576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，则此时有5×5×120＝3000种站法，则一共有720+3000＝3720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A33＝6种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有7733AA840种．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 15．（1）35（2）35【详解】分析：(1)利用列举法可得随机数{},1,2,3,4,5a b ∈的基本事件共有25个，方程有实根()a b ≥包含15个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；(2) a 是从区间[]0,5中任取的一个数，b 是从区间[]0,4中任取的一个数，坐标系内(),a b 所在区域是矩形，方程有实根，坐标系内(),a b 所在区域是直角梯形，利用几何概型概率公式求解即可. 详解：设事件A 为“方程x2＋2ax ＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax ＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b. (1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含15个基本事件，故事件A 发生的概率为P(A)＝35(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b)|0≤a≤5,0≤b≤4}．构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a≤5，0≤b≤4，a≥b}，概率为两者的面积之比， 所以所求的概率为P(A)＝35点睛：本题主要考查古典概型概率公式与几何概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ，()12,AB …. ()1,n A B ，再()21,A B ，()22,A B …..()2,n A B 依次()31,A B ()32,A B ….()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.16．（1）极大值3ln 2-，无极小值．（2）[－1，＋∞)． 【解析】分析：（1）由曲线()()ln 2f x x ax =-+在点(0，()0f )处的切线斜率为32，利用导数的几何意义，列方程求出a 的值，列表判断导函数的符号，从而可得结果；（2）()g x 在(],1-∞上是增函数，等价于由题知()'0g x ≥在(],1-∞上恒成立，即122k x≥--在(],1-∞上恒成立，求得1012x<≤-，可得1k ≥-. 详解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a. 由题知f′(0)＝－＋a ＝32， 所以a ＝2，所以f′(x)＝＋2＝232x x -- 令f′(x)＝0，得x ＝32. 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：所以f(x)在x ＝32处取得极大值3ln2-，无极小值． (2) g(x)＝ln(2－x)＋(k ＋2)x ，g′(x)＝＋(k ＋2)， 由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立， 即k≥－2在(－∞，1]上恒成立，因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜≤1，所以k≥－1. 故实数k 的取值范围是[－1，＋∞)．点睛：【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 17．（1）3,0,42πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭（2）最大值为43；最小值为163-（3）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2，＋∞)．【解析】分析：(1)由()()22'43211f x x x x =-+=--≥-，可得过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭（2）利用导数研究函数的单调性可得()f x 的最大值为()()4143f f ==；()f x 的最小值为()1613f -=-；(3)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，11011k k k ≥-⎧⎪⇒-≤<⎨-≥-⎪⎩或 ，可得21430x x -≤-+<或2431x x -+≥，从而可得结果.详解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x ＋3，则f′(x)＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭（2）分别令()'0f x >可得函数()f x 增区间()()1,1,3,4-，()'0f x <可得函数()f x 的减区间()1,3，()f x 的最大值为()()4143f f ==；()f x 的最小值为()1613f -=- (3)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得－1≤k ＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x ＋3<0或x2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知斜率范围求倾斜角的范围以及利用导数求最值，属于难题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，进而得导函数的范围，也就是切线斜率的范围，即是倾斜角正切值的范围，最后根据正切值与倾斜角的关系再结合倾斜角本身的范围即可求出倾斜角α的取值范围. 18．（1）2cos )3y a x x x π=⨯+-+，定义域为(0)3π，； （2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．【解析】 试题分析：（1）由题意结合正弦定理可得2233OC CD sinxsinsin x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合题意可知函数的解析式为23y a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，定义域为03π⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）结合(1)中函数的解析式：()23f x a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭求导可得())212216f x a sinx a cos x π⎡⎤⎛⎫=⨯--=⨯+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，利用导函数研究函数的单调性可得()f x 在6x π=处取得最大值266f a ππ⎛⎫⎫=⨯⎪⎪⎝⎭⎭． 试题解析：（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =百米，由正弦定理得2233OC CD sinxsinsin x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，得OC =百米，3CD x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭百米．又圆弧DB 长为23x π⎛⎫-⎪⎝⎭百米．所以223333y a sinx a sin x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦23a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，03x ，π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）记()23f x a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，则())212216f x a sinx a cos x π⎡⎤⎛⎫=⨯--=⨯+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，令()0f x '=，得6x π=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即266f a ππ⎛⎫⎫=⨯⎪⎪⎝⎭⎭．答：（1）23y a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，定义域为03π⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）广告位出租的总收入的最大值为26a π⎫⎪⎭元． 19．（1）递增区间为(0,1)和(2,)+∞,递减区间为(1,2).（2）见解析（3）5[,)2-+∞ 【解析】分析：（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）220x ax -+=在()0,x ∈+∞上有两个不等的实根12,x x ,由韦达定理及对数的运算法则可得()()211211212422(01)2x f x f x lnx ln x x -==+--<≤，只需利用导数证明()()22234ln 2ln212ln222x F x x F x =+--≥=-即可；（3）只需()()max 22g x k a >--成立即可.化简得()21ln ln 2g x x x ax a =+--,()0g x '>，所以()g x 在[]1,2x ∈递增，()()max 2ln222ln g x g a a ==+-+，利用()ln222ln 22a a k a +-->--在上()0,2a ∈恒成立可得结果.详解：(1)()222(0)x ax f x x a x x x -+=+-=>'3a =当时,()()()22132x x x x f x x x---+==', 令()001f x x >⇒<<'或2x >,令()012f x x <⇒<<', 所以()f x 的递增区间为()0,1和()2,+∞,递减区间为()1,2. (2)由于()f x 有两个极值点12,x x ,则220x ax -+=在()0,x ∈+∞上有两个不等的实根12,x x,212112122180(01)2202a a x x a x a x x x x a x x ⎧⎧∆=->⎪⎪>+=⎪⎪⎪⎪∴<≤⇒=+⎨⎨=⎪⎪⎪⎪=>⎪⎪⎩⎩()()2212111222112ln 2ln 22f x f x x x ax x x ax ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121212112ln ln 22x x x x x x x x =-+--+- 22111121212ln ln 22x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21112124ln 2ln2(01)2x x x x =+--<≤ 设()2224ln 2ln2(01)2x F x x x x =+--<≤，所以()()2224333244440x x x F x x x x xx----=--==<'所以()F x 在(]0,1上递减，所以()()312ln22F x F ≥=-即()()1232ln22f x f x -≥-. (3)由题意知：只需()()max 22g x k a >--成立即可. 因为()21ln ln 2g x x x ax a =+--,所以()1g x x a x=+-'，因为[]1,2x ∈，所以152,2x x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，而()0,2a ∈， 所以()0g x '>，所以()g x 在[]1,2x ∈递增， 当2x =时，()()max 2ln222ln g x g a a ==+-+.所以()ln222ln 22a a k a +-->--在上()0,2a ∈恒成立，令()()ln 22ln24h a a a k a =----++，则()0h a >在上()0,2a ∈恒成立，()()2112k a h a k a a---=---='，又()20h = 当20k --≤时，()0h a '<,()h a 在()0,2a ∈递减,当0a →时，()h a →+∞, 所以()()20h a h >=，所以2k ≥-； 当20k -->即2k <-时，()102h a a k'=⇒=--①1022k <<--即52k <-时，()h a 在1,22k ⎛⎫⎪--⎝⎭上递增， 存在12a k =--，使得()()20h a h <=，不合；②122k ≥--即522k -≤<-时，()0h a '<，()h a 在()0,2a ∈递减, 当0a →时，()h a →+∞,所以()()20h a h >=， 所以522k -≤<-综上, 实数k 的取值范围为5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x≥或()max0f x≤恒成立；④讨论参数.。
江苏省南通市启东2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+1+b n+2+…+b2n=+…+下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+2+…+b2k＜﹣．则n=k+1时，b k+2+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是．2．椭圆+=1的焦点坐标为．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有条公切线．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题．6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是．8．椭圆的离心率为，则m=．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是∃x∈R，sinx≥1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是：∃x∈R，sinx≥1．故答案为：∃x∈R，sinx≥1．2．椭圆+=1的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程求得半焦距c的值，根据椭圆的性质即可求得椭圆的焦点坐标．【解答】解：由椭圆的性质可知焦点在y轴上，c===1，∴椭圆的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1），故答案为：（0，﹣1），（0，1），．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有2条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆的方程的标准形式，分别求出圆心和半径，两圆的圆心距小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，即可得出结论．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径为1，圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C2（1，﹣1），半径为2，两圆的圆心距为，正好小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，故两圆的公切线只有二条，故答案为2．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：若“p∨q为假”则p，q同时为假命题，若““p∧q为假”则p，q至少有一个为假命题，p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分，故答案为：必要不充分5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的否命题．【考点】四种命题．【分析】设命题p为：若m，则n．根据已知写出命题r，s，t，结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：设命题p为：若m，则n．那么命题r：若￢m，则￢n，命题s：若￢n，则￢m．命题t：若n，则m．根据命题的关系，s是t的否命题．故答案为：否6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是m＞2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，解得：m＞2，故答案为：m＞2．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．【考点】圆的切线方程．【分析】先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值范围．【解答】解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或a．故选A＞或a．8．椭圆的离心率为，则m=3或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为x+4y﹣5=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设过M点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据M为弦AB的中点，由中点坐标公式，表示出直线AB方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将A和B两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点M的坐标和求出的斜率写出直线AB的方程即可．【解答】解：设过点M的直线与椭圆相交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则有+=1①，+=1②，①﹣②式可得： +=0，又点M为弦AB的中点，且M（1，1），由+＜1，可得M在椭圆内，∴x1+x2=2，y1+y2=2，即得k AB==﹣，∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为（0，c）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．【解答】解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1N中点，连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||∵在椭圆+=1（a＞b＞0）中，设P点坐标为（x0，y0）则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|∵P点在椭圆+=1（a＞b＞0）上，∴|x0|∈（0，a]，又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a）∴|OM|∈（0，c）．故答案为：（0，c）．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线x=有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为（6﹣2，6+2）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆左焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可．利用|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=10﹣（|MF1|﹣|MA|）≥6﹣|AF1|，即可得出其最小值．【解答】解：由椭圆+=1的焦点在x轴上，a=3，b=2，c=1，左焦点为F1（﹣1，0），连接MF1．由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF|=2a，|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=6+|MA|﹣|MF1|．即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF2|最大．在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，|MA|﹣|MF1|=|AF1|==2．∴|MA|+|MF2|的最大值是6+2．∴|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=6﹣（|MF1|﹣|MA|）≥10﹣|AF1|=6﹣2，∴|MA|+|MF|的取值范围（6﹣2，6+2），故答案为：（6﹣2，6+2）．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+2n2=2b2，，∴=．∴k1•k2===．故答案为：﹣．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为[，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故答案为[，]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1＜m＜，因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，则，解得≤a≤，故实数a的取值范围为：[，]．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f （x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆弧C1所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C2所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C2所在圆的方程；（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P 的轨迹方程，分别与圆弧C1的方程、圆弧C2的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=25，令x=3，解得M（3，4），N（3，﹣4），∵圆弧C2过点A（﹣1，0），∴直线AM的中垂线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），∵直线MN的中垂线方程y=0上，∴令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（3，0），∴圆弧C2所在圆的半径为r2=|O2A|=4，∴圆弧C2的方程为（x﹣3）2+y2=16（﹣1≤x≤3）；（2）假设存在这样的点P（x，y），由得，，化简得，x2+y2+4x+2=0，∴点P的轨迹方程是x2+y2+4x+2=0，由，解得（舍去），由，解得，综上知的，这样的点P存在2个．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得，求出m，n后就得到椭圆的方程．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣），结合题设条件能够推导出|AP|2=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）∵椭圆过M，N两点∴⇒，即椭圆方程为+=1．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣）∴|AP|2=（x﹣a）2+y2=（x﹣a）2+4（1﹣）=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4﹣a2∴4﹣a2=1⇒a=±∉（0，]∴a＞3即＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3﹣a）2∴（3﹣a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）通过将点（1，）代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=﹣my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知P（，﹣）、Q（，），利用斜率计算公式计算即可；②通过（1）可知直线AB的方程为x+2y﹣2=0，|AB|=，通过①可知P（，﹣）、Q（，），利用点P在第一象限可知﹣2＜m＜0，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．【解答】（1）解：依题意，，化简得：，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．①证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，∴P（，﹣），联立，消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，∴Q（，），∴直线l的斜率为==；②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y﹣2=0，|AB|==，由①可知：P（，﹣），Q（，），∵点P在第一象限，∴＜﹣，即﹣2＜m＜0，∴点P到直线AB的距离d P==﹣，点Q到直线AB的距离d Q==，∴=== [（m﹣4）++10]，∵（4﹣m）+≥2=4，当且仅当4﹣m=即m=4﹣2时取等号，∴（m﹣4）+≤﹣4，∴的最大值为（10﹣4）=5﹣2．2016年12月29日。
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2017-2018学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q=________．2．函数f（x）=+的定义域为________．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为________．4．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2018，则输出的b=________．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有________．7．如图所示，该伪代码运行的结果为________．8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=________．9．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为________．10．已知函数f（x）=，则f（log23+2018）=________．11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是________．13．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是________．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]（1）求实数a的值；（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率．16．函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3（1）求a、b、c的值；（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件：①对?x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；②对?x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．II卷21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x 2﹣2x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．2017-2018学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q={3，4}．【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，所以P∩Q={3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数f（x）=+的定义域为[﹣3，1]．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本．则样本间隔为480÷20=24，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为3+24×3=75，故答案为：754．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2018，则输出的b=2017．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次计算a，b的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2017，b=2018，a=2017+2018=4033b=4033﹣2018=2017输出a的值为4033，b的值为2017．故答案为：2017．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率．【解答】解：在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，基本事件总数n==10，在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p=．故答案为：．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有300．【考点】频率分布直方图．【分析】结合图形，求出成绩在[300，350）内的学生人数的频率，即可求出成绩在[300，350）内的学生人数．【解答】解：根据题意，成绩在[300，350）内的学生人数的频率为1﹣（0.001+0.001+0.004+0.005+0.003）×50=1﹣0.7=0.3，∴成绩在[300，350）内的学生人数为：1000×0.3=300；故答案为：300．7．如图所示，该伪代码运行的结果为9．。
最新-启东中学高二数学(上)期末复习试卷[原创] 精品
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启东中学高二数学（上）期末复习试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．下列命题正确的是 （ ）A ．////a bb a αα⎧⇒⎨⊂⎩B ．//a a b b αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩C ．//a b a b αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩D ．//a b a b αα⎧⇒⊥⎨⊥⎩2．过点M （－2，4）作圆C ：25)1()2(22=-+-y x 的切线l ，直线023:1=++a y ax l与l 平行，则l 1与l 之间的距离是（ ）A ．528 B ．512 C ．58 D ．52 3．直线10Ax By +-=在y 轴上截距为1-y -=2倍，则,A B 的值分别为： （ ）AB．1- C1- D．4．若双曲线的一个顶点到两条准线的距离和等于4，一个焦点到两条渐近线的距离和等于8， 则双曲线的离心率的值是 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．225．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则⋅的值是 （ ）A ．43 B ．43- C ．3 D ．－3 6．111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上的一点， 222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)0f x y f x y f x y ++=所表示的直线与l 的位置关系是 （ ） A ．重合 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定7．,a b 是异面直线，,αβ表示平面，,,a b αβ⊂⊂甲：//,//,a b βα乙：//αβ，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件 8．已知点)0)(,(≠ab b a P 是圆222:r y x O =+内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的 直线，若直线n 的方程为2r by ax =+则 （ ）A ．//m n 且n 与圆O 相离B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合，且n 与圆O 相离D ．n m ⊥且n 与圆O 相离9．直线a x y -=与抛物线ax y =2交于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．其形状不能确定10．过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点F 作弦AB ，若1||d AF =，2||d BF =，则2111d d +的数值为 （ ）A ．22a b B ．22b a C ．2a ba + D ．与a 、b 斜率有关11．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）A ．221≥e eB ．42221≥+e eC ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 12．某人获悉一个岛上有三处藏有宝物，由于年代久远，有的数据缺失，记载如下：岛上有一棵椰子树，由椰子树动向东走3米为藏宝处A ，继续向东走b 米，到达B 处，然后向 东偏北60°走a 米为藏宝处C （其中,a b 为缺失数据）由B 向南走31BC 为藏宝处E ， 三个藏宝处在以B 为焦点，椰子树的南北方向所在的直线为相应准线的双曲线上，寻宝 关键推出,a b 的值，,a b 的准确值分别为 （ ） A ．28 , 4 B ．14 , 4 C ．28 , 8 D ．14 , 8 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上13．已知圆16)1(:22=-+y x C (圆心为C 点)及点)1,0(-A ,Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交CQ 于M ,则点M 的轨迹方程是 ; 14．设中心在原点的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 ;15．椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值是 ; 16．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为棱AB 、CD 的中点，α为EF 与AC 所成的角，β为EF 与BD 所成 的角，为使2πβα=+，须添加条件 .（（必须写出两个答案）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知异面直线a 、b 的公垂线段AB 的长为10，点a AM a M a A ,5,,=∈∈点、b 所成的角为60°，求点M 到直线b 的距离.18．（本小题12分）某厂使用两种零件B A ,装配两种产品Y X ,.该厂的生产能力是月产X 最多2500件,月产Y 最多1200件,而组装一件X 需4个A ,2个B ;组装一件Y 需6个A ,8个B .某个月,该厂能用的A 最多有14000个, B 最多有12000个,已知产品X 每件利润1000元, Y每件利润2000元,欲使该月利润最高,需组装Y X ,产品各多少件?最高利润是多少万元?19．（本小题12分）如图F 1、F 2为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右两个焦点，直线L ：52+=x y 与椭圆C 交于两点P 1、P 2，已知椭圆中心O 点，关于L 的对称点恰好落在C 的左准线L ′上.（1）求左准线L ′的方程； （2）已知2222211,95,OF P F a OF P F ⋅-⋅成等差数列，求椭圆C 的方程.20．（本小题满分12分）已知抛物线x y =2的弦AB 与直线1y =有公共点，且弦AB 的中点N 到y 轴的距离为1，求弦AB 长度的最大值，并求此直线AB 所在的直线的方程.21．（本小题12分）已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，且PA=AD ，M 、N 分别为AB 、PC 的中点. 求证：（1）MN//平面ADP ； （2）MN ⊥PC.22．（本小题14分） 已知双曲线M 过点)26,4(P ,且它的渐近线方程是02=±y x (1) 求双曲线M 的方程;(2) 设椭圆N 的中心在原点,它的短轴是双曲线M 的实轴,且N 中斜率为4-的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在N 内的部分,试求椭圆N 的方程.2018—2018学年度第一学期期末高二数学试卷参考答案一、选择题1—6：BBBCBB 7—12：CABBDA二、填空题13．13422=+x y 14．1222=+y x 15．22 16．BD AC ⊥;AB=AD CB=CD （若其它正确答案）三、解答题：17．解：设过B 点与a 平行的直线为c 、b 、c 所确定的平面为α.由于AB 是异面直线a 、b 的公垂线α⊥⊥∴AB c AB 于是…………2分 过点M 作MN ⊥c 垂足为N ，则AB//MN α⊥∴MN ，四边形ABMN 是矩形 5==∴AM BN在α内过N 作NC ⊥b ，垂足为C ，连MC ，由三垂线定理知MC ⊥b∴MC 即为点M 到b 的距离………………7分 又a 、b 所成的角为︒=∠︒6060CBN ………………9分在Rt △BCN 中，32560sin =︒=BN NC 192522=+=∴NC MN MC …………12分18．解: 设组装x 件X 产品,y 件Y 产品,利润为z 万元 由题意得 目标函数: y x z 2.01.0+= 2分约束条件:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≤≤≤+≤+Ny x y x y x y x ,1200250012000821400064 6分作出可行域 10分作出直线02:0=+y x l ,平移0l 到点A 处z 取最大值; 由⎩⎨⎧=+=+12000821400064y x y x 得⎩⎨⎧==10002000y x ∴最优解为)1000,2000( 11分 ∴当组装2000件X 产品,1000件Y 产品时,该月利润最高,最高是400万元. 12分19．解: (1)设原点O 关于L ：52+=x y 的对称点),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=-=5222210000x y xyL x '∴-=∴40的方程4-=x …………4分（2）设c a y x P y x P 4)1(),,(),,(2222111=知由又)(),(22221211c x c OF P F c x c OF F -=⋅+=⋅，………………6分 由940,910)()(21221-=+-=-++x x a c x c c x c 得…………8分又⎪⎩⎪⎨⎧=-++=14452222cc y c x x y 消去041610080)20(22=+-++-c c x x c y 得…………10分 0,29402080208021>∆=-=--∴--=+∴此时c c c x x∴椭圆的方程为14822=+y x ………………12分20．解：设),(11y x A 、),(22y x B ，中点),1(0y N当AB 直线的倾斜角90°时，AB 直线方程是.2||,1==AB x （2分）当AB 直线的倾斜角不为90°时，222211,y x y x ==相减得))((212121y y y y x x -+=- 所以ky k y AB 211200==即（4分） 设AB 直线方程为：)1(21)1(0-=--=-x k ky x k y y 即，由于弦AB 与直线y=1有公共点，故当y=1时21021112112≥∴≥-≥+-k k k k k 即（6分） 0121)1(21222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-k k y y y x x k k y 故 所以121122121-==+k y y k y y ，故 )14)(11(]4))[(11(||11||22212212212k k y y y y k y y k AB -+=-++=-+=（8分） 014,011],41,0(1,21222≥->+∴∈∴≥k k k k25)21411()14)(11(||22222=-++≤-+=∴k kkk AB 故当25||,361411max 22==-=+AB k k k 时即 （14分）21、证明：取PD 中点为Q ，连接AQ 、QN①∵N 为PC 的中点，M 为AB 的中点，2,2,//ABAM DC QN DC QN ==∴…………2分 ∵四边形ABCD 为矩形，DC AB DCAB =∴,//，AMNQ AM QN 即,=∴为平行四边形，MN AQ //∴…………4分ADP MN ADP AQ 闰面平面⊄⊂, ADP MN 平面//∴…………6分②⊥PA 矩形ABCD 所在平面，DC PA ⊥∴， A AP AD DC AD =⊥ ,AQ DC PAD DC ⊥⊥∴,平面………………9分PDC AQ D PD DC PD AQ 平面⊥∴=⊥∴,, ，PC MN MN AQ PC AQ ⊥∴⊥∴,//, ………………12分22、（1）设双曲线M 的方程为)0(422≠=-λλy x M 过点)26,4(P λ=⨯-∴46416 10=∴λ双曲线M 的方程为10422=-y x 4分（2）由题意可设椭圆的方程为)10(110222>=+a x ay 设斜率为-4的直线与椭圆交于点),(11y x A ，),(22y x B AB 中点),(00y x P 则有2212121010a y x a =+ ① 2222221010a y x a =+② ①-②得 0))((10))((212121212=-++-+y y y y x x x x a022121221212102)(10)(y x a y y x x a x x y y ⋅⋅-=++-=--∴ 8分 002104y x a -=-∴ 00240x y a =∴ 10分 又2100=x y 2021402=⨯=∴a∴椭圆的方程为1201022=+y x 12分。
高二文科数学-启东中学期末试卷及答案
启东市第二学期期末高二（文科）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．从“⇒”、“⇐”、“⇔”中选择适当的符号填空： ①22+=x x ▲ 2||+=x x ；②∈x A ∪B ▲ ∈x A ∩B ．①⇔；②⇐2．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的逆否命题是r ，则q 与r 的命题关系是 ▲ ． 由四种命题关系图可得：互为否命题 3．i 是虚数单位．已知4)1(331i iiz ++-+=，则复数z 对应的点落在第 ▲ 象限． 二（或2）4．已知命题P ：∈∃x R ，0322>-+x ax ．如果命题⌝P 是真命题，那么a 的范围是 ▲ ．由⌝P ：∈∀x R ，322-+x ax ≤0是真命题，即322-+x ax ≤0恒成立，得a ≤31- 5．已知双曲线的两条渐近线方程为043=±y x ，则双曲线方程为 ▲ ．只知渐近线不知焦点，故分两种情况（共轭双曲线）．得191622±=-y x 6．已知在复平面内，定点M 与复数m =1+2i 对应，动点Z 与复数yi x z +=（∈y x ,R ）对应，那么不等式|23|m z -≤2的点Z 的集合表示的图形面积为 ▲ ．不等式|23|m z -≤2可化为|32|m z -≤32,以)34,32(为圆心,32为半径的圆面，面积为94π7．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=-2px (p ＞0)的准线相切，则p = ▲ ．分析: 圆方程化为16)3(22=+-y x ，垂直于x 轴的圆的切线为x =-1,x =7，由于抛物线方程是标准方程，故准线方程为x =7，解得p =148．设中心在原点的椭圆离心率为e ，左、右两焦点分别为F 1、F 2，抛物线x y 42=以F 2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若PF 2与x 轴成45°，则e 的值为 ▲ ．抛物线x y 42=以F 2为焦点得c =1，PF 2与x 轴成45°得PF 2方程y =x +1，从而得点P (1,2)，得直角三角形12F PF ，得215+=a ，215-=e 9．已知函数x x x f cos 21)(2+=，则)(x f 取得极值时的x 值为 ▲ ． 0sin )(=-='x x x f 只有一解0，故x =010．已知函数23)(23+-=x x x f ，若]3,2[-∈x ，则函数的值域为 ▲ ．)2(3)(-='x x x f ，]0,2[-，]3,2[上增，)2,0(上减，18)2(-=-f ，2)0(=f ，2)2(-=f ，2)3(=f ，故值域为]2,18[-11．已知函数)(x f y =的图象如图，则函数)(x f y '=的草图为 ▲ ．12．已知三次方程0223=+++b x ax x 有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 由题意可知3--=a b ，0]3)1()[1(223=++++-=+++a x a x x b x ax x ，则03)1(2=++++a x a x 的两根分别在（0,1）（1,+∞）上令3)1()(2++++=a x a x x g ，则⎩⎨⎧<>0)1(0)0(g g ，得253-<<-a13．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，那么21a a +≤2．证明：构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对一切实数x ，恒有)(x f ≥0，所以△≤0，从而得8)(4221-+a a ≤0，所以21a a +≤2．根据上述证明方法，若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时，你能得到的结论为 ▲ .（不必证明）关键是构造函数∑∑==+-=-=ni ni i ix a nx a x x f 112212)()(对一切实数x ，恒有)(x f ≥0，所以△≤0，从而得n a a a +++ 21≤n14．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标 分别对应数列}{n a （n ∈Z *）的前12项， 如下表所示：按如此规律下去，则201120102009a a a ++= ▲ .提示：数列为：1,1,-1,2,2,3,-2,4,3,5,-3,6 ，0201120097531=+==+=+a a a a a a ，k a k =2，故201120102009a a a ++=1005二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二(下)第二次质检数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．3．执行如图的流程图，得到的结果是．4．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．5．函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈）的最大值为．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=．8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c=．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f（x）的取值范围是．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为b＜c＜a．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质进行判断范围即可．解答：解：50.5＞1，0＜0.75＜1，log0.32＜0，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴b＜c＜a，故答案为：b＜c＜a点评：本题主要考查指数幂和对数值的大小比较，比较基础．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为4．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= 4．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：，利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．解答：解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2﹣8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是，则f（x）的取值范围是．考点：余弦函数的对称性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据这两个函数的周期相同，求出ω值，即得函数f（x）的解析式，根据x∈，求出3sin （ωx﹣）的范围．解答：解：由题意得，这两个函数的周期相同，∴，∴ω=2．函数f（x）=3sin（ωx﹣）=3sin（2x﹣）．∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，﹣≤3sin（ωx﹣）≤3，故f（x）的取值范围是，故答案为．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的对称性，求正弦函数的值域，判断这两个函数的周期相同是解题的突破口．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=338．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得f（1）=1，f（2）=2，f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2），代入可得答案．解答：解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338点评：本题考查的知识点是函数的周期性，数列求和，按周期分组求和是解答的关键．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）是古典概型，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．（2）是几何概型，求出方程有实根的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．解答：解：（1）设若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，则有3×2=6种结果，事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．若方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4a2﹣4b2≥0，即a2﹣b2≥0，∵a≥0且b≥0．∴等价为a≥b．包含基本事件共5个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．∴事件A发生的概率为P=．（2）若a=1，则方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4﹣4b2≥0，即b2≤1，解得﹣1≤b≤1，∵0≤b≤3，∴0≤b≤1，则对应的概率P=．点评：本题主要考查概率的计算，要求熟练古典概型和几何概型的概率的计算，考查学生的运算和推理能力．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用二倍角公式及正弦定理可得b=2acosA，又，从而解得cosA=，可解得B，C的值，即可得解cosC的值．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，即可解得cosA=，利用余弦定理可求b2+c2=a2，由勾股定理可求A，从而得解．解答：解：（1）∵B=2A．∴sinB=sin2A=2sinAcosA，∵，sinA＞0，∴可得b=2acosA，又，∴=2cosA，解得cosA=，A=，B=，C=∴cosC=0．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，∴解得：cosA==．整理可得：b2+c2=a2，故由勾股定理可得：A=，cosA=0．点评：本题主要考查了二倍角公式、三角形内角和定理及正弦定理、勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间﹣=﹣=．由题设可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴＞0，即t（x1）＞t（x2），故函数t（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数．根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=log2在定义域（﹣1，1）上是减函数．（2）∵函数f（x）=2﹣3log2x，g（x）=log2x．∴函数==1﹣log2x+|1﹣2log2x|=，故M（x）在（0，]上为减函数，在（，+∞）上为增函数，故当x=时，M（x）取最小值．点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．19．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．20．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，若A∩B=∅，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数f（x）．考点：抽象函数及其应用；交集及其运算；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）在恒等式中，令m=1，n=0，代入即可得到f（0）的值；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，利用恒等式将f（x2）﹣f（x1）变形，再利用当x＞0时，0＜f（x）＜1，确定f（x2）﹣f（x1）的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）利用恒等式，将f（x2）•f（y2）＞f（1）等价转化为x2+y2＜1，将转化为ax﹣y+=0，从而将A∩B=∅问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得a的取值范围；（4）根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．解答：解：（1）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=1，n=0，则有f（1）=f（1）f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m+n=x2，m=x1，则有f（x2）=f（x1）f（x2﹣x1），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴1＞f（x2﹣x1）＞0，为确定f（x2）﹣f（x1）的正负，只需考虑f（x1）的正负即可，∵f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=x，n=﹣x，则f（x）•f（﹣x）=1，∵x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，，又f（0）=1，综上可知，对于任意x1∈R，均有f（x1）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上单调递减；（3）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴f（x2）•f（y2）=f（x2+y2），∴不等式f（x2）•f（y2）＞f（1），即f（x2+y2）＞f（1），∵函数f（x）在R上单调递减，∴x2+y2＜1，∴A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}表示圆面x2+y2＜1内的点，∵f（ax﹣y+）=1，且f（0）=1，∴，即，∴表示直线ax﹣y+=0上的点，∵A∩B=∅，∴直线与圆面x2+y2＜1无公共点，∴圆心（0，0）到直线ax﹣y+=0的距离为d=，解得﹣1≤a≤1，∴a的取值范围为﹣1≤a≤1；（4）．点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于函数知识的综合应用．属于中档题．。
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江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷 2018.1.8注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(－)2]，其中为x 1，x 2，…，的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上． 1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ．2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为▲．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为xx ≥0y ←2▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据 的方差是 ▲ ．5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ . 7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．.8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是▲ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．在平面直角坐标系中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆截得的所有弦中弦长的最小值为▲ ．xoy 22(2)(1)4x y -++=12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动，则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆(()22:54C x y -+-=和两点(),0A，),0B （0m >），若圆C 上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是▲．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．(第14题) 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区．．．．．．域内．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分） 已知椭圆C的方程为22191x y k k +=--．（1）求k 的取值范围； [来源] （2）若椭圆C 的离心率67e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ． （1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a，使得1，2，4为其中的三项，并指出分别是{}a的第几项；n为无理数；（2（3）证明：120．（本小题满分16分） 已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B满足⊥x 轴，且点B在x 轴下方，连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结、交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：＝λ1，＝λ2[来源:学科网]（1）求λ1·λ2的值； （2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B ）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量．M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦R a ∈(1,2)P -M (4,0)P '-M21．（C ）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆M 上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为O ，四边形为矩形，平面OBEF ⊥平面，点G为的中点，2AB BE ==． （1）求二面角的正弦值；（2）设H 为线段上的点，且23AH HF =，求直线和平面CEF 所成角的正弦值．.( 第22题)23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l：x＝－1，点T(3，0)．动点P满足⊥l，垂足为S，且·＝0．设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线过点(1，0)，线段的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8 一、填空题： 1. 【答案】1-22．【答案】x R ∀∈，220x +> 3. 【答案】1- 4.【答案】0.1 5．【答案】2 6．【答案】187. 【答案】22(2)4(1)()n n n n N *+-=+∈8.【答案】42x －122y =19.【答案】51810.【答案】21a a ≤-=或 11.【答案】12.【答案】5 13．【答案】2m ≤≤14．【答案】[来源]二.解答题)1(,1215.【解析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，则20, 2.b b +==- L L 2分2244i 04,2i 555z a a a a +--=+⇒=⇒=-L L 4分所以42i z =-，z =L L8分（2）()21243043i {440m z m m m +>+-=-+⇒⇒<243m -<<L L 14分16. 【解析】（1）∵x R ∀∈，20tx x t +≤+，∴0t <且2140t ∆=-≤，解得12t ≤- ∴p 为真命题时，21t ≤-. L L 6分（2）[]2,16x ∃∈，[]2log 102,16t x x +≥⇒∃∈，21log t x≥-有解.[来源:学|科|网]又[]2,16x ∈时，2111,l 4og x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴1t ≥-. L L 8分∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真，有121,{ ,t t ≥->-解得21t >-；当p 真q 假，有121,{ ,t t <-≤-解得1t <-；∴p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1t <-或21t >-. L L 14分17. 【解析】 （1）∵方程表示椭圆，则，解得 k ∈（1，5）∪（5，9） ……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k ＞k ﹣1时，依题意可知，∴∵= ∴∴2； L L 10分②当9﹣k ＜k ﹣1时，依题意可知，∴∵=∴∴8；∴k 的值为2或8．（一种情况4分共8分） L L 14分18. 【解析】（1）设点(),P x y ，224x y +=，PA =PB =，因为PAPBλ=，所以()()()()2222221x a y x m y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，化简得()222248225ax y a mx y m λ+--=+--，因为P 为圆O 上任意一点，所以()22222224285a m a m λλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=+⎪⎩，又0,0m λ>>，解得21a m λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以常数λ=L L 8分（2）设()00,M x y ，M 是线段NE 的中点，()0022,2N x y t --， 又,M N 在圆C上，即关于,x y 的方程组()()2200220012221x y x y t ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩有解， 化简得220020018470x y x ty t ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩有解， 即直线2:8470n x ty t +--=与圆22:1C x y +=有交点，则1d =≤，化简得：422150t t--≤，解得t ⎡∈⎣．L L16分 19. 【解析】（1）取一个等比数列{}：首项为1则，…2分 则令=4，解得5，所以a1=1，2a a 5=4． …4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h 、k ，使得， (5)分则h 2=2k 2，所以h 为偶数，…7分设2t ，t 为整数，则k 2=2t 2，所以k 也为偶数， 则h 、k 有公约数2，这与h 、k 互质相矛盾，…9分 所以假设不成立，所以是有理数． …10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分[来源:学。
科。
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X 。
X 。
K] 设公差为d ，显然d ≠0，则，消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F(-2,0)，由⊥x轴，由对称性不妨设B(-23)，则直线：y＝-(4)又左准线＝-8，所以P(-8,6)又＝λ1，所以＝，同理由＝λ2，得＝又＝，所以＝又，比较系数得＝，所以λ1·λ2＝L L 8分（2）证明：设点C(x12)，D(x22)，Q(x00)由＝λ1，得x1＝，y1＝代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48整理得：(3+4-48)-(12x0+24y0+96)λ1＝0显然λ1≠0，所以λ1＝同理由＝λ2，得x2＝，y2＝代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48同理可得：λ2＝又由（1）λ1·λ2＝，所以，·＝整理得：x00+2＝0 即点Q在定直线2＝0上L L。