变分原理在弹塑性力学中的应用

3 里茨法
前面介绍的变分问题的解决归结为微分方程的边值问题的求解，这 是变分问题的古典解法，通过泛函极值条件—Euler方程，获得与泛函极 值问题等价的微分方程的边值问题，求解微分方程的边值问题就得到了 泛函的极值函数[4]，这种方法是一种间接解法。然而，求解偏微分方程 的边值问题通常是非常困难的，一般无法求出解析解，特别是边界复杂 的问题。 下面建立一种求变分问题近似解的方法—Ritz法（里茨法）[5]，其 基本思想就是利用多项式或三角多项式（称作试函数）近似代替所求的 极值函数，便把变分问题化为普通函数的极值问题。 这个试函数带有若干个待定系数，对所选择的试函数，使泛函取得 极值，方法就是将其带入泛函中，然后使泛函对每个系数进行求导，并
1 泛函和变分原理
求解弹塑性力学问题，即在给定的全部边界或内部的外界作用下， 求解物体内产生的应力场和位移场，最终归结为求解偏微分方程的在某 种边界条件下的问题，但是在求解这些偏微分方程的解是极其困难的。 故引入变分原理[1]及其近似解法去求解弹塑性力学问题。 把一个力学问题用变分法[1]化为求泛函极值（或驻值）的问题，就 称为该物理问题的变分原理。其中，泛函就是定义域是一个函数集，而 值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来， 泛函就是从任意的 向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。泛 函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是 通常函数本身。所以简单来说，泛函是函数的函数。其中，在平面直角 坐标系中，两点间的曲线长度就是典型的变分问题，即在连接两点间的 所有曲线中，存在这样的曲线，使得两点间的连线长度最短。例如用数 学公式去描述变分原理： 假设有如下形式的泛函： (1-1) 其中，是自变函数，是自变量。 由于泛函取变分的取极值的必要条件是其一阶变分等于零，因此对 上式(1-1)进行变分，并令，可得： (1-2)
变分原理在弹塑性力学中的应用
摘要：本文简单介绍了泛函的变分原理，并利用变分原理推导弹塑性力学中的虚位移原理和
最小总势能原理，并举例说明最小总势能原理的应用。最后引入了对上述变分方程的直接解法 —里茨法，并举例说明里茨法的应用。 关键字：泛函，变分原理，虚位移原理，最小总势能原理，里茨法
Abstract：This paper briefly introduces the functional variational principle, with the help of which, the virtual displacement principle and the minimum total potential energy principle are deduced. And the application of the principle of minimum total potential energy is illustrated. Finally the paper introduces the direct solution to the variational equation—the Ritz method and illustrates the application of the Ritz method. Keyword：Functional，The variational principle，The virtual displacement principle, the minimum total potential energy principle, The Ritz method
与外力势能均为零。上式（2-19）还说明，在给定外力的情况下，实际 的位移应使总势能的一阶变分为零，即使总势能取得极小值。故在所有 满足给定的几何边界条件的位移场中，真实的位移场使物体的总势能取 得最小值。 下面用一个例题去说明最小总势能原理的应用[3]。 设有受均布荷载集度为q作用的悬臂梁（图2-1），试用最小总势能原 理（2-19）导出梁的挠曲线方程： 解： 于是有 其中 所以 根据 于是得到： (a) 对上式(a)等号左边第一项积分利用两次分部积分得到： (b) 对于悬臂梁，边界条件有： 由边界条件，可得 (c) 将此式(c)带入上式(b)，再代入(a)可得： (d) 由的任意性，得，此即悬臂梁在分布荷载下的挠度曲线方程。
令所得方程等于零。如果有n个未知系数，就有n个联立方程求解这些系 数。 在上面虚位移变分原理中，可以应用里茨法求解。事先选取位移函 数选取的位移函数无须满足应力边界条件，而只须满足位移边界条件， 例如选取位移函数： (3-1) 对位移式(3-1)取一阶变分时，只需对系数，，取一阶变分，即 (3-2) 将上面给定的试位移函数带入虚位移原理的变分方程式或带入最小总势 能原理的变分方程式，由,,的任意性，都可得到用以确定全部系数的线 性方程组。 例如将给定的试位移函数(3-1)带入最小总势能原理的变分方程式（218），整理后可得： (3-3) 上述方程的个数为3n个，与未知数个数相等。这样就把求最小总势能驻 值的问题转化为求普通函数的极值问题，求出全部系数，，就可以求出 位移分量的近似解。 例题：里茨法的应用问题[3] 设图示(3-1)悬臂梁右端受P作用，如取挠曲线为 试求a, b的值。 解：由题目给出的位移曲线，满足边界条件 由最小总势能原理 由上一个例题我们可知： (a) 其中： (b) 将式(a)代入上式(b)可得： (c) 对式(c)分别关于a, b求偏导，并令其导数为零，可得 解得： 参考文献： [1] 钱伟长.变分法及有限元.北京：科学出版社，1980 [2] 杨桂通.弹塑性力学引论（第2版）.北京：清华大学出版社，2013 [3] 黄文斌，曾国平.弹塑性力学难题分析.北京：高等教育出版社， 1992
(2-8) 当物体处于平衡状态时，因为，所以上式(2-8)第一项积分等于零。 故上式(2-8)可化为 (2-9) 而由 ， (2-10) (2-11) 所以有 (2-12) 由此可证 由上述的推导和讨论证明：虚位移原理的变分方程等价于平衡方程 和应力边界条件。针对上述应用中的变分原理，可看出可看作变量函数 的变分，即与临域内任意容许函数之间的微小差别。可见，是指值得微 小变化，而则是指其自变量的微小变化所引起的的微小变化。应用位移 变分方程时，所取的解不必预先满足平衡方程和应力边界条件，只要求 所给的虚位移，，只要满足变形协调条件和和位移边界条件即可。 根据以上得出的虚位移原理可以推出最小总势能原理[2]。推导过程如 下： (2-13) 在中引入广义胡克定律： (2-14) 并用G,E,的表达式: (2-15) 消去E,，可得： (2-16) 将上式带入应变位移关系，当存在应变能函数时，虚位移原理方程可 写为： (2-17) 假定当物体从平衡位置有虚小位移时，物体的几何尺寸的变化忽略 不计，原来作用在物体上的体力和面力，其大小和方向都保持不变，于 是上式（2-17）的变分号可以移至积分号以外，令记作这个变分量， 有： （2-18） 于是有 （2-19） 上式（2-19）中，称为总势能，U成为弹性体的应变势能，W为外力 做的功，即外力势能。当物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能
由于为独立变量,因此上式(1-2)为零的充要条件为： (1-3) (1-4) 这样便将泛函的驻值问题转化成了微分方程的边值问题了。方程叫 作泛函的欧拉方程。
2 虚位移原理和最小总势能原理
在变分原理的基础上，就可以利用能量原理（即热力学第一定律） 去建立虚位移原理[2]的位移变分方程了。 现考虑一个受一组体力的（分量为，，）和面力（分量为，，）作 用下而处于平衡状态的物体，其体积为，表面积为。则在体积内有： （用张量表示） (2-1) 设S为物体的全部表面，其中给定面力的部分表面为，给定位移的 部分表面为，则全部表面S应为和之和。则边界条件为：（用张量表 示） (2-2) 现在设想一个处于平衡状态的物体，由于某种原因，由其平衡状态 位置得到一个约束许可的、任意的、微小虚位移，其分量为，，。虚位 移不是其他随便一种位移函数，在边界处需满足边界位移条件，即=0， 也满足几何条件。 实际的力系在虚位移上做的功叫做虚源自文库。 根据以上假设，可得出在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当 给予物体的微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。虚位 移原理的推导表达式如下： 外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即 (2-3) 物体产生微小变形的过程中，该物体内的总虚应变能为： (2-4) 于是虚位移原理可表示为： (2-5) 即 (2-6) 其证明如下： 根据在给定面力部分表面上，边界条件成立，因而有 (2-7) 故有
[4] 夏敏学. 泛函分析与现代分析教程. 华中科技大学出版社，2009 [5] 丁学成. 弹力学中的变分方法.高等教育出版社.1986