高数 矩阵的概念及运算

零矩阵
矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。 即
0 5 2 k 1
k 1 0 0 2 0 O 2 0 5 k 1
转置矩阵AT
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具，矩阵理论的应用，最常见 也最重要的就是解线性方程组。
温州大学教育学院 王靖庶
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念
– 矩阵的乘法
– 逆矩阵
-矩阵的加减和倍数 -初等变换和矩阵的秩 -求解可逆矩阵方程
教学要求 – 熟练掌握矩阵运算的基本法则 – 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩 – 熟练运用初等变换求矩阵的逆 – 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台) 简记为 51吋 47吋 42吋
一分店 二分店 7 1 51吋 10 2 3 2 47吋 6 3 5 0 42吋 5 1
某商店下半年电视销售情况(单位:百台) 一分店
二分店
7 3 5 1 2 0
10 6 5 2 3 1
a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn
说明
只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法 运算. 例如 (即引例)
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 3 2 1 6 8
Hale Waihona Puke Baidu
• 矩阵的简记法:
B1 – (aij)mn B 2 An –用行向量表示 A 1, A 2, –用列向量表示 B m 这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才 相等. 行数和列数不相等的矩阵绝不能相等! 行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2
a11 a21 a22 a a2 n T 12 A ann a1n a2 n
a1n
an1
an 2 ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1
三元线性方程组
3x 8 1x1 2 x2 3 8, 5 x 2 x 4, 0 5 2 4 2 3 22 x1 0 3 3x 2 3 2
的 系数矩阵和增广矩阵分别是
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右
方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：
用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减
去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”，
即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致. 最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。” 法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。 前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
n元线性方程组的情况见教材127页。
中国古代算书《九章算术》 中的“方程”
刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。
“程，课程也。群物总杂, 各列有数，总言其实。 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如 物数程之，并列为行，故谓之方程.” 这段话的意思可以从《方程》 章的第一道题看 出, 题目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾 一秉，实三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾 一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾 三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各 几何?” ( 秉——捆)
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义 设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
求全年电视销售情况？
7 10 3 6 5 5 1 2 2 3 0 1
a11 a21 A 矩阵——矩形数表 用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示 am1
定义
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数. 向量:1 × n阶矩阵——行向量, n × 1阶矩阵——列向量.
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 6 3 3 6 2 8 9 81