圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

11
22
1
2
12
1
12
2
y1 y2 x1 1 x2 1
y1 y2
y12 8
y
2 2
8
8( y1 y )2 y y1 (2y 2y ) 1 0 8 y y 1 20 直 线 PQ
方程为: y y1
y2 x 2 x
y1
1
(x
x1 )
y
y 1
1 y2 y
(8x y12 )
1
3 4k 2
3 4k 2 3 4k 2
整理得：
7m2
16mk
4k
2
0
，解得：
m
1
2k,百度文库
m
2
2k ，且满足3 7
4k
2
m2
0
当 m 2k 时， l : y k(x 2) ，直线过定点(2,0), 与已知矛盾；
当 m 2k 时， l : y k(x 2) ，直线过定点( , 02)
7
7
7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为( ,20). 7
◆ 方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的
直线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点( x0 (a2 b2 ) ,y (0a2 b2 ) ) 。（参考百度文库文章：“圆锥曲线
a2 b2
a2 b2
【解】（1）设
M(4 3 3
, t)(t
R),
A(x1, y1 ), B(x 2 ,
y2 ),则MA的方程为
x1x 4
y 1y
1
∵点 M 在 MA 上∴ 3 x1 ty1 1 ① 3
同理可得
3 3
x2
ty2
1②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1,即x 3(1 ty) 3
易知右焦点 F（ 3,0 ）满足③式，故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F（ 3,0 ）
l 交抛物线 C 于 M、P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q，如图. I. 证明: OM OP 为定值;
II. 若△POM 的面积为 5，求向量OM 与 OP 的夹角； 2
（Ⅲ）证明直线 PQ 恒过一个定点.
解：（I）设点 M k AM k DM ,即
(yy14212y1, y11),
P(y1y24,2yy
的弦对定点张直角的一组性质”）
◆ 模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如
kAP • kBP 定值， kAP kBP 定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒
模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第 13 节）
此模型解题步骤：
平分线, 证明直线l 过定点. 【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心 C
(x, y), MN线段的中点为E，由几何图像知ME MN ,CA2 CM 2 ME 2 EC 2 2
（x4)2y242x2 y28x
(Ⅱ) 点 B(-1,0),
设P(x , y ),Q(x , y ),由题知y y 0，y y 0, y 2 8x , y 2 8x .
2
y( y2 y1 ) y1 ( y2 y1 ) 8x y1 y( y2 y1 ) 8 8x y 0, x 1
所以,直线 PQ 过定点(1,0)
练习 6：已知点 B 1,0, C 1,0, P 是平面上一动点，且满足| PC | | BC | PB CB
（1）求点 P 的轨迹C 对应的方程； （2）已知点 A(m, 2) 在曲线C 上，过点 A 作曲线C 的两条弦 AD 和 AE ，且 AD AE ，判断：直
◆ 迁移训练
练习 1：过抛物线 M: y2 2 px 上一点 P（1,2）作倾斜角互补的直线 PA 与 PB，交 M 于 A、B 两点，
求证：直线 AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
练习 2：过抛物线 M: y2 4x 的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA、OB，求证：直线 AB 过定点。
角分别为 和 ，当 , 变化且
答案2p, 2 p）
时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考 4
【答案】设 Ax1, y1 , B x2, y2 ，由题意得 x1, x2 0 ，又直线 OA,OB 的倾斜角 , 满足
，故 0 ,
，所以直线 AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为
y1
4 y
,
4 y
y3
y
4y3
4
0,
2
2
2
即 4(y2 y3 ) y2 y3 4 0.(*)
k y2 y3 4 ,
PQ
y
2 2
y32
y2 y 3
44
直线PQ的方程是y y 2
4 y2 y
(x 2y)2
3
4
即 ( y y2 )( y2 y 3) 4x y 22,即y( y 2 y )3 y y2 3 4x.
从而设 新疆
王
新敞
4
4
奎 屯
y2
y2
AB 方程为 y
kx b ，显然 x1
12,px2
2，
2p
将 y kx b 与 y2 2 px(P 0) 联立消去 x ，得 ky2 2 py 2 pb 0
由韦达定理知
y1
y2
2p k , y1
y2
2pb ① k
由 ，得 1＝ tan tan( )= tan tan = 2 p( y1 y2 )
)2, 2,
1y
2
2y 2
P
、M、A
三点共
4
44
即
y1 y12 4
1 y1 y
2
, y1y2
4
y2 y2
OM
OP
1 4
2
y 4
y
51 .2
线，
第 22 题
(II)设∠POM=α，则| OM | | OP | cos 5.
SROM
5,| OM 2
||
OP
|
sin
5.由此可得 tanα=1.
又 (0, ), 45,故向量OM与OP的夹角为45.
00
0
0
x2 结论：“椭圆 a 2
y2 b2
1(a b 0)上一点P(x 0, y 0) 处的切线方程为
x0 x a2
0
yb12”y，过椭圆
C：
x2 y 2 1 的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线，切点为 A、B. 4
1 求证：直线 AB 恒过一定点； 2 当点 M 在的纵坐标为 1 时，求△ABM 的面积。
1 4
2
( 4
1
2) 4
y14
y2
2(
y1
y2
)
5
(
y1 y2 )2 16
( y1
y 2)2 4
2 y 1 y
2
y1 y2 2(
y1 y2 )
5
(4t)2 (4m)2 2(4t) (4t) 2(4m) 5 0化简得t 2 6t 5 4m2 8m
16
4
即t 2 6t 9 4m2 8m 4即（t 3）2 4(m 1)2 t 3 2(m 1)
t 2m 5或t 2m 1, 代入（*）式检验均满足 0
直线DE的方程为x m( y 2) 5或x m( y 2) 1
直线DE过定点(5,2). （定点（1，2）不满足题意）
练习 7：已知点 A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C : y 2 4x ，O 为坐标原点，过点 A 的动直线
（2）把 AB 的方程 x 3(1 y)代入 x2 y 2 1,化简得7 y 6 y 1 0 4
∴| AB | 1 3
36 28 16
7
7
| 4 3| 又 M 到 AB 的距离 d 3 2 3
13 3
∴△ABM 的面积 S 1 | AB | d 16 3
2
21
◆ 方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以
（经典例题，多种解法）
练习 3：过 2x2 y2 1 上的点作动弦 AB、AC 且 k • k 3 ，证明 BC 恒过定点。（本题参考答 AB AC
案： (1, 1) ） 55
练习:4：设 A、B 是轨迹C ： y2 2 px(P 0) 上异于原点O 的两个不同点，直线OA和 OB 的倾斜
设D(x , y ), E(x , y )则y y 4m, y y 4t， （4m)2 16t （0*）
11
22
1
2
12
AD AE (x1 1)(x2 1) ( y1 2)( y2 2) x1x2 (x1 x2 ) 1 y1 y2 2( y1 y2 ) 4
y2 y2 y2 y2
4
4
1 tan tan
y1y2 4 p2
将①式代入上式整理化简可得： 2p 1 ，所以b 2 p 2 pk ， b 2 pk
此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx 2 p 2 pk 即 k(x 2 p) y 2 p 0
所以直线 AB 恒过定点2 p, 2 p.
练习 5：（2013 年高考陕西卷（理））已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN的长为 8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C的方程; (Ⅱ)已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线l 与轨迹 C交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是PBQ 的角
2)
m2
3(m2 4k2 ) 3 4k 2
以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), 且 kAD kBD 1 ，
y1 y2 x1 2 x 2 2
1， y1 y2 x1x 2 2(x 1 x )2 4 0 ，
3(m2 4k 2 ) 4(m2 3) 16mk 4 0 ，
由（*）式， y2 y3 4( y2 y3 ) 4, 代入上式，得 ( y 4)( y2 y3 ) 4(x 1).
由此可知直线 PQ 过定点 E（1，－4）.
模型二：切点弦恒过定点
例题：有如下结论：“圆 x 2 y 2 r 2 上一点 P(x , y ) 处的切线方程为 x y y y r 2 ”，类比也有
2
m 12
得 (3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0 ，
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0 ， 3 4k 2 m2 0
x1
x2
3
8mk 4k 2
,
x1
x2
4(m2 3) 3 4k 2
y1 y 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x2x12mk (x 1x
用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。
◆ 方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？
参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3 下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料
模型一：“手电筒”模型
例题、（07 ft东）已知椭圆 C： x
2
y
2
1若直线l：y kx m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点
43
（A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的
坐标。
解：设
A(x1
,
y1
),
B(x2
,
y2
)
，由
y kx 3x2 4 y
(Ⅲ)设点Q(
y32 4
,
y3), M
、B、Q 三点共线， k BQ
k, QM
即即y3 y32
1
y1 y12
y3 y3
2
,
y3 1 1 , y32 4 y1 y3
4
44
( y 1)(y y ) y2 4,即分y y y y 4 0.11
3
1
3
3
13 1 3
y1 y2 4, 即
线 DE 是否过定点？试证明你的结论.
【解】（1）设 P(x, y)代入 | PC | | BC | PB CB得 (x 1)2 y2 1 x,化简得y2 4x. （5 分）
(2)将A(m,2)代入y2 4x得m 1,点A的坐标为(1,2).
设直线DE的方程为x my t代入y2 4x, 得y2 4mt 4t 0,
Step1：设 AB 直线 y kx m ，联立曲线方程得根与系数关系， 求出参数范围；
Step2：由 AP 与 BP 关系（如 kAP • kBP 1 ），得一次函数 k f (m)或者m f (k ) ； Step3：将 k f (m)或者m f (k ) 代入 y kx m ，得 y k(x x定 ) y定 。
2017 届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例 关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方 程，通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条 直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题 老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种 常见的几种定点模型：