向量的加法运算

图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度大小与方向.
解：（1）如图所示. AB 表示水速，AD 表示船速，
A
以AD、AB为邻边作 ABCD，则 AC 表示船实际航行的速度.
2. 向量加法的三角形 法则： 已知非零向量 a、b，在平面内任取一点A，作
AB a，BCb，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，
记作a b ，即 abAB BC AC .
a
a b C b 首尾相接，首尾连
b
A
a 两个向量的和仍是一个向量
B
（向量的三角形法则可以扩展到求多
个向量的和向量（封闭三角形））。
A. 0
B. 3 C. 2 2 D. 2
4.下列说法：
①在△ABC中，必有 A B B C C A 0；
②若 A B B C C A 0，则A、B、C为一个三角形的
三个顶点；
③若 a 、b 均为非零向量，则 a b 与 a b 一定
相等.
其中正确的个数为（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
在平面内任取一点O，作 OA a ，ABb.则 OBab .
作法2：
在平面内任取一点O，作 OA a ，OBb.以OA、OB为邻边
作 OACB，连接OC，则 O C OA OB ab.
练习1.如作图出，a已b知.
(1)
b
a、b，用向量加法的三角形法则
(2)
a
(3) a
b
b
a
C
ab
A
BHale Waihona Puke Baidu
ab C
向量的加法运算
复习回顾
1. 向量的定义：既有大小又有方向的量. 向量的表示：向量可用有向线段来表示.
2.零向量：长度为零的向量. 单位向量：长度等于1个单位的向量.
3.共线(平行）向量：方向相同或相反的非零向量. 4.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
新 知
1.向量加法的定义:
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
a
ｂ
a＋b
a
ｂ
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号.
实数的加法满足交换律与结合律.那么，向量
探 究
的加法是否也有类似的运算律呢？ 类比猜想：
1.向量加法的交换律： 2.向量加法的结合律：
ab b a
D
a C
b
A
a
3.向量加法的平行四边形法则：
以同一点O为起点的两个已知向量
a、b
为邻边作
OACB，则以O为起点的对角线 OC 就是 a与 b的
和.
a
b
A
C
ab
O
bB
起点相同连对角
两种加法法则在本质上是一致的
应 例1.如图，已知向量 a 、b ，求作向量 a b .
用
bO
AO
A ab
a
ab
B
B
C
作法1：
2：若向量a与b为相反向量，则a＋b等于 什么？反之成立吗？
a与b 为相反向量
a＋b=0
3：若向量a与b同向，则向量a＋b的方向
如何？若向量a与b反向，则向量a＋b的
方向如何？
4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋|b|的
大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的大小
关系如何？
C
a＋b ｂ
A aB
(2)在Rt△ABC中，AB2, BC5,
D
C
2
2
所以 AC AB BC 225229
tan∠CAB=2.5 由计算器得：∠CAB≈68°
A
B
答：船实际航行的速度大小为 29 km/h，方向与水的流速 间的夹角约为68°.
练习3.设向量 a表示“向东走6km”， b表示“向北
走6km”，则 a b =_6___2_k_m__; a b 的方向
B A
ab C B
A
练习2.如图，已知 a、b，用向量加法的平行四边形
法则作出 ab.
b a
B
C
ab
O
A
用三角形法则和平行四边形法则求作两个向 量的和向量，其作图特点：
三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
探究二：向量加法的代数运算性质
1：零向量0与任一向量a可以相加吗？ 规定：a＋0=0＋a=a，
b
B
(ab)c a (bc)
bDc c c
A
a aa bB
C bb
应
C
用 例2.化简：
A
（1）BC AB ABBC AC B
（2）DBCDBCDBBCCD 0
（3）A BD F C D B CFA
A B B C C D D F FA 0
实际应用
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如
是__东__偏__北___4_5_°__
B
C
b
O
a
A
巩固练习
1.向量 (AB M)B (BO BC )OM __A_ C __. ____
2.在矩形ABCD中，AC 等于（ D ）
A. BC BA
B. AB DA
3.已C.知A正D方C形DABCD的边D长. 为AD1，A DC B a ， B C b ， A C c ， 则 abc的模为（ C ）
自主小结
1.向量加法的定义及运算法则； 2.向量模的不等式； 3.向量加法的交换律、结合律.
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正