向量的加法运算
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图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度大小与方向.
解:(1)如图所示. AB 表示水速,AD 表示船速,
A
以AD、AB为邻边作 ABCD,则 AC 表示船实际航行的速度.
2. 向量加法的三角形 法则: 已知非零向量 a、b,在平面内任取一点A,作
AB a,BCb,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,
记作a b ,即 abAB BC AC .
a
a b C b 首尾相接,首尾连
b
A
a 两个向量的和仍是一个向量
B
(向量的三角形法则可以扩展到求多
个向量的和向量(封闭三角形))。
A. 0
B. 3 C. 2 2 D. 2
4.下列说法:
①在△ABC中,必有 A B B C C A 0;
②若 A B B C C A 0,则A、B、C为一个三角形的
三个顶点;
③若 a 、b 均为非零向量,则 a b 与 a b 一定
相等.
其中正确的个数为( B )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
在平面内任取一点O,作 OA a ,ABb.则 OBab .
作法2:
在平面内任取一点O,作 OA a ,OBb.以OA、OB为邻边
作 OACB,连接OC,则 O C OA OB ab.
练习1.如作图出,a已b知.
(1)
b
a、b,用向量加法的三角形法则
(2)
a
(3) a
b
b
a
C
ab
A
BHale Waihona Puke Baidu
ab C
向量的加法运算
复习回顾
1. 向量的定义:既有大小又有方向的量. 向量的表示:向量可用有向线段来表示.
2.零向量:长度为零的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量.
3.共线(平行)向量:方向相同或相反的非零向量. 4.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
新 知
1.向量加法的定义:
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
a
b
a+b
a
b
a+b
|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时取等号;
|a+b|≥||a|-|b||,当且仅当a与b反向时取等号.
实数的加法满足交换律与结合律.那么,向量
探 究
的加法是否也有类似的运算律呢? 类比猜想:
1.向量加法的交换律: 2.向量加法的结合律:
ab b a
D
a C
b
A
a
3.向量加法的平行四边形法则:
以同一点O为起点的两个已知向量
a、b
为邻边作
OACB,则以O为起点的对角线 OC 就是 a与 b的
和.
a
b
A
C
ab
O
bB
起点相同连对角
两种加法法则在本质上是一致的
应 例1.如图,已知向量 a 、b ,求作向量 a b .
用
bO
AO
A ab
a
ab
B
B
C
作法1:
2:若向量a与b为相反向量,则a+b等于 什么?反之成立吗?
a与b 为相反向量
a+b=0
3:若向量a与b同向,则向量a+b的方向
如何?若向量a与b反向,则向量a+b的
方向如何?
4:考察下列各图,|a+b|与|a|+|b|的
大小关系如何?|a+b|与|a|-|b|的大小
关系如何?
C
a+b b
A aB
(2)在Rt△ABC中,AB2, BC5,
D
C
2
2
所以 AC AB BC 225229
tan∠CAB=2.5 由计算器得:∠CAB≈68°
A
B
答:船实际航行的速度大小为 29 km/h,方向与水的流速 间的夹角约为68°.
练习3.设向量 a表示“向东走6km”, b表示“向北
走6km”,则 a b =_6___2_k_m__; a b 的方向
B A
ab C B
A
练习2.如图,已知 a、b,用向量加法的平行四边形
法则作出 ab.
b a
B
C
ab
O
A
用三角形法则和平行四边形法则求作两个向 量的和向量,其作图特点:
三角形法则:首尾相接连端点; 平行四边形法则:起点相同连对角.
探究二:向量加法的代数运算性质
1:零向量0与任一向量a可以相加吗? 规定:a+0=0+a=a,
b
B
(ab)c a (bc)
bDc c c
A
a aa bB
C bb
应
C
用 例2.化简:
A
(1)BC AB ABBC AC B
(2)DBCDBCDBBCCD 0
(3)A BD F C D B CFA
A B B C C D D F FA 0
实际应用
例3.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如
是__东__偏__北___4_5_°__
B
C
b
O
a
A
巩固练习
1.向量 (AB M)B (BO BC )OM __A_ C __. ____
2.在矩形ABCD中,AC 等于( D )
A. BC BA
B. AB DA
3.已C.知A正D方C形DABCD的边D长. 为AD1,A DC B a , B C b , A C c , 则 abc的模为( C )
自主小结
1.向量加法的定义及运算法则; 2.向量模的不等式; 3.向量加法的交换律、结合律.
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正