3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念
§导数的概念【运用课时】：1课时【学习目标】：1.驾驭用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.【学习重点》导数概念的形成，导数内涵的理解【学习方法】：分组探讨学习法、探究式.【学习过程》一、课前打算(预习教材月J月6,找出怀疑之处)复习1：气球的体积V与半径r之间的关系是“V)=括，求当空气容量V从O增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度。
与起跳后的时间，的关系为：∕z⑺=-4.9/+6.5/+10.求在l≤f<2这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为.一般地，若物体的运动规律为S=/(/),则物体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t至M+∆Λ这段时间内，当____________ 时平均速度的极限，即1. ∆5V=Iun—= _________________ - .As。
Δ/Ac问题2：瞬时速度是平均速度空当，趋近于0时的得导数的定义：函数y=/(尢)在4=%处的瞬时改变率是八"。
+AV)-D=Iim包,我们称它z→o∆xA"→o∆r为函数y=/(x)在X=Xo处的导数，记作∕,(⅞)或y,∖x,xn即Γ(Λ0)=Iim.(少〜(.)’" ∆v→o∆Λ,留意：(1)函数应在点与的旁边有定义，否则导数不存在..(2)在定义导数的极限式中，AX趋近于O可正、可负、但不为0,而Ay可以为0・(3)”是函数y=/(x)对自变量X在&范围内的平均改变率，它的几何意义是过曲线∆xy=/(尢)上点(冗OJ(XO))及点(XO+∆xj&o+∆x))的割,线斜率♦(4)导数f7(x0)=Iim/3，+AV Uo)是函数y=f(x)在点X0的处瞬时改变率，它反映—∆x的函数y=/(x)在点/处改变的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，须要对原油进行冷却和加热.假如在第Xh时，原油的温度(单位：0C)⅜∕(X)=X2-7X+15(0≤X≤8).计算第2h和第6h.时，原油温度的瞬时改变率，并说明它们的意义.总结：函数平均改变率的符号刻画的是函数值的增减；它的肯定值反映函数值改变的快慢.例2已知质点材按规律所2y+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),(1)当Q2,Δ户O.O1时，求a.NNs⑵当Q2,4户0.001时，求——.∖t(3)求质点"在片2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量Ay=/(X t)+∆x)-f(%)；其次步：求平均改变率丝=∕α°+Aγ);∆x Ax第三步：取极限得导数/'(Λ0)=R%之.当堂检测1.在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时改变率,并说明它们的意义.2.已知函数y=f(x),下列说法错误的是()A、Ay=/(Xo+∆x)-f(Xo)叫函数增量B、包一/(/,A0一/一°)叫函数在［%,4+Ar］上的平均改变率∆x∆xC、f(x)在点X0处的导数记为y,D、/(X)在点/处的导数记为广(XO)3.求函数y=Vx在X=1处的导数4.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是S(Z)=J(位移单位：m,时间单位：s),求小球在/=5时的瞬时速度. 学习小结①导数即为函数片/U)在下M处的瞬时改变率；与上一节的平均改变率不同/.⑴尸Ii m旦二Ii m/(戈。
苏教版高中数学选修1-1第三章3.1.2导数与导函数的概念教案
3.1.2导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。
教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。
t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(x V ∆∆)都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('=三、几何意义：我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x（3）3)(=x f ，2=x例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时， （1）=-+xf x f 2)1()1( （2）=-+x f x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）xx f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________ （4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________ （5）当△x 无限趋近于0，x x x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的 关系。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
3.1.2导数的概念课件人教新课标1
二、问题探究
问题1.已知高台跳水运动员距水面的高度 （h 单位:m）
与起跳后的时间 t（单位:s）存在函数关系 h(t) 4.9t2 6.5t 10
求运动员在 t=1时的瞬时速度.
分析：我们先考察在 t=1附近的情况.
在 t=1之后（或之前），任选一个时刻 1+t ，
计算 1，1+t（ 或1+t，1）上的平均速度，在表格
人教A版实验教科书 选修1-1 第三章 第一节 第二课时《导数的概念》
导数的概念
一、复习回顾
探究：某高台跳水运动员距水面的高度与起跳 后的时间存在函数关系：h(t) 4.9t2 6.5t 10 计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度；
49
思考并回答下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗？如何解决这个问题？
x
分享课前作业：
收集你身边的“变化率”
三、抽象概念 数学表达
从数学的角度思考上述5个实例，在“过程与 方法”、“结果的情势”上有哪些共性？
过程与方法
结果的情势
1、用运动变化的观点 研究问题；
2、应用了极限的思 想；
3、用平均变化率 逼近瞬时变化率.
1、结果都是一个确 定的值；
2、具有一样的表现 情势.
0.000001
-3.3000049
-0.000001 -3.2999951
我们发现，当t 趋近于0 时，即无论1 t 从小于
1的一边，还是从大于1 的一边趋近于1 时，平均速
度都趋近于一个确定的值 3.3.
v h(1 t) h(1) 4.9t 3.3
t
从物理角度看，时间间隔 t 无限变小时，平均速 度 v 就无限趋近于 t=1 时的瞬时速度.
高中数学选修1课件：3.1.2导数的几何意义
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
内解的：平设均在速[3，度3（.1位]内移的的平单均位速为度m为）v。1，则 △t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
所以
v1
s1 t1
0.305 g 0.1
3.05 g(m /
s)
同理v2
s2 t2
0.03005 0.01
t 0
t
例２、 y
y f (x)
相交
oP
x
再来一次
y f (x)
y
Q
Q
Q
P
o
x3 x2x1
T
再来一次
x
上面我们研究了切线的斜率问题, 可以将以上的过程概括如下：
设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
h t
v0
gt0
1 2
gt
当t
0时，h
t
v0
gt0
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0
3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念【知识点总结】1.瞬时变化率的概念：物体在运动中，在不同的时刻其速度是不同的。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
2.在上一节课中， 我们学习了求函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率： 00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆ 当0x ∆→时，区间00[,]x x x +∆→点0x ，此时函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率→函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率。
可以表示如下：0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率 或表示如下：函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆ 注意：由以上说法，我们可以求函数在任一时刻0x 的瞬时变化率.（‘→’表示无限趋近于）3.定义导数的概念：一般地，函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆， 我们称它为函数函数()y f x =在点0=x x 处的导数，记作：0()f x '或0=x x y '.即：00000()()()lim=lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆ 或记作： 000=00()()=lim =lim x x x x f x x f x y y x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆ 注意1：导数的概念，初听起来有些玄乎，其实就是函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率，或者说就是0x ∆→时00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值。
这样我们可以利用求极限的方法去求函数()y f x =在点0=x x 处的导数，也即函数()y f x =在点0=x x 处的瞬时变化率. 注意2：一般情况下0()f x '反映的是函数()y f x =在点0=x x 附近的变化情况.4.利用导数定义，求函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）的步骤： 第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）:00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：当0x ∆→时，计算00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值 （即计算：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆∆∆）； 第四步：写出函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）.5.区分0()f x 与0()f x '：0()f x 是函数()f x 当0=x x 时的函数值；而0()f x '是函数()f x 在0=x x 处的导数，同时也是函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率.【典型例题】例题一：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.9 6.510h t t t =-++，求运动员1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解：=(1)(1)h h t h ∆+∆-22[ 4.9(1) 6.5(1)10][ 4.91 6.5110]t t =-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9 3.3t t =-∆-∆ 24.9 3.3= 4.9 3.3h t t t t t∆-∆-∆=-∆-∆∆ 00(1)lim lim( 4.9 3.3) 3.3t t h h t t ∆→∆→∆'==-∆-=-∆ 所以，运动员1t s =时的瞬时速度为 3.3-，这说明运动员在1t s =附近以3.3m s 的速度下降。
第3章 3.1 3.1.2 瞬时变化率——导数 (共37张PPT) 2017-2018学年高中数学(苏教)选修1-1 名师ppt课件
(x0，f(x0)) 导数 f ′ ( x ) 的几何意义就是曲线 y ＝ f ( x ) 在点 0 几何 意义 处的 切线的斜率
2．导函数的概念 (1)导函数的定义： 若 f(x)对于区间(a，b)内 任一点 都可导，则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化， 因而也是 自变量 x 的函数， 该函数 称为 f(x)的导函数，记作 f′(x) ． 在不引起混淆时，导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义： f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0 处 的 函数值 ．
问题 2：下表是 Δt 选取不同数值时相应的平均速度.
Δt v
2 4g
1
0.5
0.25
0.1
0.05g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g
上表的平均速度中最接近 t＝3 时这一时刻的速度的是哪一个？
提示：Δt→0 时的平均速度即这一时刻的速度，v＝3.005 g.
3.1
3.1. 2
瞬时 变化 率 导数
理解教材 新知
知识点一
知识点二 知识点三 考点一 考点二 考点三
第 3 章
导 数 的 概 念
把握热点 考向
应用创新 演练
考点四
3.1
导数的概念
3．1.2 瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇， 感受到“会当凌绝顶， 一览众山小”的豪迈， 当爬到“十八盘” 时，你感觉怎样？ 问题 1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？
vt0＋Δt－vt0 如果 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于一个常数， 那么这 Δt 个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时加速度 ，瞬时加速度就是 速度 对 于时间的瞬时变化率．
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
3.1.2导数的概念
h(2) h(2 t ) 4.9t 13.1t v 2 (2 t ) t 4.9t 13.1
2
h(2 t ) h(2) 4.9t 2 13.1t v (2 t ) 2 t
4.9t 13.1
当△t = -0.01时, v 13.051 当△t =-0.001时, v 13.0951
△t =0.000001, v
……
13.1000049
△t
t(s)
-13. 1
▼
v(m/s)
2
2.001 2.0001 2.00001 2.000001
2.01
-13. 149
-13. 1049
-13. 10049 -13. 100049
-13. 1000049
ks5u精品课件
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
▼
v(m/s)
-13. 09951 -13. 0951 -13. 051
1.99 1.999 1.9999
ks5u精品课件
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
h(2) h(2 t ) 4.9t 13.1t v 2 (2 t ) t 4.9t 13.1
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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12
又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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9
栏目索引
栏目索引
方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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10
栏目索引
例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数概念
1, 1,
lim f (0 h) f (0) 不存在 ,
h0
h
h0 h0
例2 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
例 求函数
解:
lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
xa
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
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3.1.5 求导举例
例 求函数
(C 为常数) 的导数.
解: y lim f (x x) f (x)
x0
x
即
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
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3.1.5 求导举例
即 f (x0 ) 例如, f (x) x 在 x = 0 处有
y
y x
o
x
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
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例 证明函数
在 x = 0 不可导.
证:
f (0 h) f (0) h
h h
Y20A1N9G年Z6H月O2U4日U星N期IV一ERSITY高等数学(经济类)
高二数学(人教A版)《3.1.2导数的概念》导学案
§3.1.2导数的概念[自学目标]:1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.[重点]: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. [难点]: 导数的概念 [教材助读]:1. 一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作即： 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-[预习自测]1、一铅球沿斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =（s 的单位：m ，t 的单位：s ）则小球在t=5时的瞬时速度为2、一物体的运动方程是2()1s t t t =-+求物体在3s 末的瞬时速度.上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：导数的定义例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim探究二：导数的应用例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[当堂检测]1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[拓展提升]1、一物体的运动方程是23s t =则在2t =时刻的瞬时速度是（ ）A 、3B 、4C 、7D 、5 2、根据导数的定义求下列函数的导数 （1） 求函数23y x =+在1x =处的导数.(2)求函数1y x=在(0)x a a =≠处的导数.[课后作业]1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim0x △△△△--+→。
高数——导数的概念
解
设点
P0
(
x0
,
1 x0
)
是双曲线上的点，由于
y
'
=
(
1 x
)
'
=
−
1 x2
故双曲线在点P0 的切线
P0T
的斜率为k0
=
−
1 x02
由于P0T / / L，而 L 的斜率为
− 1，故 4
k0
=
−
1 4
即
− 1 =−1
x02
4
从而
x02 = 4
x0 = ±2
由此可知双曲线在点
⎛ ⎜⎝
2,
对
x
的导数，并记作
y
'
或
dy dx
d f (x) dx
，或
df dx
，也可记作
d dx
y
或
例 3 求函数 f (x) = C（常数）的导数
解 在任意一点x ，由于Δy = f (x + Δx) − f (x) = C −C = 0 ，
故 f '(x) = 0 .所以常数的导数恒等于零.即(C) ' = 0
ϕ
′(
x)
=
⎧x2 ⎨
+
1,
⎩3x,
x<0 x≥0
在点x = 0是否可导
解 因为ϕ(0+ )=ϕ(0)=0,ϕ(0− )=1故ϕ(x)=在点x = 0不连续,
从而在点x = 0必不可导.
f
'(x0 ) =
lim
Δx→0
Δy Δx
=
lim
Δx→0
f
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令△x = x2 – x1 ，△ y = f (x2) – f (x1) ,则
yf(x 2)f(x 1 )f(x 1 x )f(x 1 )
x x 2 x 1
x
--刻画函数值在某区间上变化的快慢
问题3 如何从数学角度来刻画温度的“骤降”？
温度 oC
时间 日最高气温
11月7日
瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称。
问题9 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x 0 )与
x 0的值
lim
x 0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
lim y x0 x
有无关系？
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作f (x0 )
并说明它们的意义.
解: 根据导数的定义,
f(2x)f(2) 4x(x)27xx3
x
x
所以, f(2 )li m yli(m x 3 ) 3 . 同理可得 f(6)5.
x x 0 x 0
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3C / h的速率下降; 在第6h附近,原 油温度大约以5 C / h的速率上升.
或 y |xx0
,
即f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
Δx) x
f
(x0 )
.
f (x0)与x的取值 有无关系？
问题10 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: )为C f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算 f(2)和f(6)
26oC
11月17日
18oC
11月19日
9oC
时间
问题4 你能举例说明用平均变化率来表示的其它生 活现象吗？
h(t)4.9t26.5t10
在0 t 65 这段时间里,
49
v0
问题5 这说明用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题?
问题7 如何求 t 2 时的瞬时速度？
当t 0时， vh(2t)h(2) 13.1
21
这两个平均速度的物理意义是什么？
问题2 在 t1 tt2 这段时间里 v 又怎么写？
v h(t2)h(t1) t2 t1
位移的增加量 时间的增加量
函数值的增加量 自变量的增加量
函数 f (x)在区间[x1, x2] 上的平均变化率为
f (x2) f (x1) x2 x1
变化率与导数的概念
树德中学 彭月
微积分的创立是牛顿最卓越 的数学成就，实际上牛顿是 为了解决运动问题才创立了 这种和物理概念直接联系的 数学理论.
导数是微积分的核心概念之一, 是研究函数增减、变化快慢、 最值问题的有效工具；在实际 生活中也有着极其广泛的作用.
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面 的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )
sh(t0t)h(t0)
t
t
[4.9(t0t)26.5(t0t)1]0 (4.9t026.5t01)0 t
4.9(t)2 (9 t.8t06.5)t 4.9 t9.8t06.5
lt 0 i( 4 m .9 t 9 .8 t0 6 .5 ) 9 .8 t0 6 .5
存在函数关系 h(t)4.9t26.5t10
h(t)4.9t26.5t10
问题1 如果用运动员在某段时间内的平均速度v 5这段时间里,
v h(0.5)h(0)4.0(5m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, v h(2)h(1)8.2(m)/;s
t
为了表述方便，我们用
limh(2t)h(2)lim (13.14.9t)13.1
t0
t
t0
表示“ t2,当 t趋近 0时 于，平v均 趋速 近度 于确 -13.1定 ”
无限逼近思想 《庄子·天下篇》：“一尺之捶，日取其半，万事不竭”
问题8 运动员在某个时刻t t0 时的瞬时速度如何表示？
问题11 (1)导数形成的过程是什么？你从中体会到了
哪些思想方法？ (2)导数的概念是什么？用导数的定义求导数，
一般可分为几个步骤？ (3)学完本课，你有什么感想和收获？
无限逼近
瞬时速度
平均速度
瞬时变化率
平均变化率
无限逼近
导数
莱
牛
布
顿
尼
茨
英国的物理学家牛顿与德国的几何学家莱布尼茨在不 同的国度和领域创立了微积分。牛顿从运动学，即瞬 时速度的方向研究，莱布尼茨则是在几何学角度去研 究。导数在几何的角度是如何表示的呢？