线性代数—向量与矩阵习题附答案
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向量与矩阵习题
2-1．设T )6,3,1(=α,T )5,1,2(=β，T
)3,3,4(-=γ，求: （1)732αβγ--； （2）23αβγ-+．
解（1） 7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)T
T
T
T
αβγ--=---=-。 解（2） 232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)T
T
T
T
αβγ-+=-+-=. 2—2．设(1,1,1,1)T
α=--，(1,2,2,1)T
β=, （1）将βα,化为单位向量； （2）向量βα,是否正交。
解（1)
T )1,1,1,1(211
--=
αα
，T )1,2,2,1(10
1
1=ββ。 解(2） 由于(,)0αβ=，所以向量βα,正交. 2—3．计算： （1）⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛390201062317423； （2）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101211153212121132。
解（1) 247610200213132093303⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。
解（2) 311111173221252106341231013411---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
+--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。
2—4．计算下列乘积： （1）
解 43173512328570149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。
(2）
解 311111621212211611123101814--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
（3）11112
12
2122
212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭. 解 11112
12
2122
212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
111112112212222212
n n m m m m m mn d a d a d a d a d a d a d a
d a d a ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （4)111211212222
120
00000n n m m mn n a a a d a a a d a a a d ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭。 解 1112112122
22
12
000000
n n m m mn n a a a d a a a d a
a a d ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
111122121122221122n n n n m m mn n a d a d a d a d a d a d a d a d a d ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
。 （5）11
1213112312
222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。
解 111213112312
2223213
23
333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++
2—5．已知
)2,0,1,1(=A ，(4,1,2,1)T B =-,
求AB 和T T B A ．
解 )5(=AB 。
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=24280000121
4121
4T T B A 。
2-6．如果)(2
1
E B A +=
，证明A A =2当且仅当E B =2时成立． 证 必要性。 已知)(2
1E B A +=，且A A =2
,有
2
11()()22B E B E ⎡⎤
+=+⎢⎥⎣⎦
, 即
()211
2()42
B B E B E ++=+， 化简得 2B E =。
充分性。 由)(2
1
E B A +=
得 2B A E =-，
又 E B =2，代入得
2(2)A E E -=，
化简得 2A A =。
证毕。
2—7．设2T
A E αα=-，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维单位列向量．证明对任意一个n 维列向量β，都有ββ=
A ．
证 因2T A E αα=-,故对任意一个n 维列向量β有，2T A ββααβ=-， 从而有
()()2
,2,2T T A A A β
βββααββααβ==--
(
)()22T
T
T
βααβ
βααβ=--
()()
2
224444,
T T T T T T T T T T T
T
T
T
T
T ββααβααββββααββααααββββααββααββββ=--=-+=-+==
故有ββ=A ,证毕.
2—8．对于任意的方阵A ,证明:
（1)T
A A +是对称矩阵,T
A A -是反对称矩阵； (2)A 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和． 证（1） 由(
)()T
T
T T T T T A A A A A A A A +=+=+=+，所以T A A +是对称
矩阵；
()
()()T
T
T T T T T A A A A A A A A -=-=-=--,所以T A A -是反对称矩阵.