IIR数字滤波器的原理及设计

的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平
面的N个极点s k （k=0,1,…,N-1)分给H a (s)，这样，右半 平面的N 个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：
N c H a (s) ( s s 0 )( s s1 ) ( s s N 1 )
(6.8)

这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计
算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算
机，因而优化设计又叫做IIR滤波器的计算机辅助设计
(CAD)。

第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；
第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为
基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用
幅角间隔为π /N ；它们关于实轴对称，却没有一个在实 轴上。显然，将 的模乘上，再将其按逆时针方向旋转， 就得到sp。因此，sp均匀地分布在半径为的圆周上，其位 置关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上，这就是说，2N个 极点sp在s平面的左、右两半平面各有N个。

这2N个极点是Ha(s)Ha(-s)的极点，考虑到系统函数Ha(s)

这个式子中的常数 N是为了使(6.5)式满足而加入的。
c
这N个极点s0、s1、…、sN-1在s 平面的左半平面而且以共
轭形式成对出现，当N为奇数时, 有一个在实轴上
(为 - )。
c
6.2.1.3
一般情况下的B型低通滤波器
图 6.3
一般情况下低通滤波器的设计指标

此时，应该将角频率 标称化，通常以Ω 1为基准频率，

1 2
3db
因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。
图6.1
Butterworth低通滤波器的平方幅度特性
3. N的影响

在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大， | H a ( j)| 2 随增大
而下降越慢；

在阻带内，(Ω/Ωc)>1，故N越大，| H a ( j)| 随增大而下
根据幅频特性指标来设计系统函数。

图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波
器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ )|2来给出的。

Ω c 是截止频率，当0≤Ω <Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =1，是通带； 当Ω >Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =0，是阻带。图6.1中的实的曲线 表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的 设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼 近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。
H z
n
hn z
N k 1 N
Байду номын сангаас
n

n
Ts Ak e sk nTs u nTs z n
k 1

N
Ts Ak e
n 0

s k Ts
z
1 n

Ts
Ak s k Ts 1 z k 1 1 e
(6.66)

上式中的幂级数收敛应该满足条件： e sk Ts z 1 |
令s=jΩ , 则有：H * ( j) H a ( j) ， 而 a
| H a ( j)| 2 H a ( j)H * ( j) H a ( j)H a ( j) a
(6.5)

H 由(6.4)式和(6.5)式有： a ( j)H a ( j)
1 1 2N [1 ( c ) ] [1 ( jjc ) 2 N ]

模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，
产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有 简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起 来方便准确。

而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的, 因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设
计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用

用s代替上式中的j: H a ( s) H a (s) 1
[1 (
s jc
)
2N
]
(6.6)
图 6.2
阶次N对B型特性的影响

(6.6)式的极点为： p j c (1)1 /( 2 N ) j c p p=0,1,…,2N-1 s
作为 –1的2N次方根，α
p

均匀地分布在单位圆上，
得最多的第二种方法。
6.1.3

借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理
利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性 能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后 由Ha(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数 H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。
6.2

ha t L [ H a ( s )] Ak e sk t u (t )
1 k 1 N
(6.64)

令数字滤波器的单位抽样响应：
h(n) Ts ha (nTs ) Ts Ak e s k nTs u (nTs )
k 1 N
(6.65)

对上式进行z变换，便得到数字滤波器的系统函数：
则标称化角频率为：Ω ’=Ω /Ω 1 。于是通带边界的标称 化角频率为 Ω 1’=1，并且在通带有0≤Ω ’≤1，在过渡 带和阻带则有 ’>1。

以下为了方便起见，仍用不带撇的表示标称化的角频率。 频率标称化后，B型滤波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所 示，只是式中的参数和N都需要由图6.3给出的指标来确定。
第6章 IIR数字滤波器的原理及设计
6.1 概述 IIR 数字滤波器的差分方程和系统函数
6.1.1

我们已经知道IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变 因果系统，其差分方程可以写为：
y (n) ai x(n i) bi y (n i )
i 0 i 1
M
N
（6.1）

进行z变换，可得： Y ( z ) a i z i X ( z ) bi z i Y ( z )

jnTs
(6.69)

由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有：
n
T x ( n) e
s

jnTs

n
X

a
( n s )
1. 最平坦函数

B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在 =0附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在 这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。

2. 3db带宽 由(6.4)式可知，当Ω =Ω c 时，| H a ( j)| 2 = 1 ，而 2

10 log10 | H a ( j c ) | 2 10 log10
模拟低通滤波特性的逼近
模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近
部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在 已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统 函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。

模拟系统的频率响应Ha(jΩ )是冲激响应ha(t)的傅里叶变
换，H a (jΩ )的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何

1 则由(6.11)式可得： B 1 2 A1

2 当 2 时有： H a ( j 2 ) | 2 1 | A2 (6.13) [1 B 2 2 N ] 2

故

2N 2
1 ( 2 1) / B 2 A2
(6.14)

由(6.14)式可求出N，再将其代入(6 .12)式，即可求
6.4.2

模拟滤波器与数字滤波器的频率响应之间的关系
ˆ 已经知道，抽样信号的频谱X a ( ) 是原模拟信号的频
谱X a () 的周期延拓，即
1 X a () X a ( n s ) T n

(6.67)
(6.68)

而
X a () X (e j ) X (e jTs )

（6.4）式可以写成：
| H a ( j) | 2 1 1 [1 ( c ) 2 N 2 N ]

2
(6.10)
1 2N H 当Ω =Ω 1=1时，上式为： a ( j1 ) 1 /[1 ( ) ] A12 (6.11) c

令
( )
1 c
2N
B
2
2
(6.12)
了这种方法。
3. 用优化技术设计

系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采
用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选
择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。

第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参 数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次 计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当 此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数， 设计过程也就到此完成。
H a (s)
a s b s
k 0 k i 0 N i
M
i
A
k
(s s )
i
M
(s s
k 1
i 1 N
(6.62)
k
)

而且一般都满足M<N，因此，可以将上式化为部分分式之
和的形式，即：
Ak H a ( s) k 1 s s k

N
(6.63)
对(6.63)式两边进行拉氏反变换，可得：
a z
i 0 i N i 1
M
i
1 bi z
i
a0
(1 c z
i
M
1
)
(1 d z
i i 1
i 1 N
1
(6.3)
)

其中ci 为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、 或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有 三种方法。
1. 零极点位置累试法
2
降越快。

因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形 形状；而不同的N所对应的特性曲线都经过Ω c 处的半功 率点。离Ω c越近，幅频特性与理想特性相差越大。
6.2.1.2

由得到Ha(s),
B型滤波器的极点
由于Ha (s)是s的实系数有理函数，故有： * (s) H a (s * )， Ha


其中
Ts
，和 分别为数字角频率和模拟角频
率。也就是说，离散信号的频谱既可表示为数字频率的函
数也可表示为模拟频率的函数。又知道，对于离散信号的
傅里叶变换，有：

X (e )
j
n
x ( n) e

jn
X 或： (e
jTs
)
n
x ( n) e
i 0 i 1
M
N

于是得到IIR数字滤波器的系统函数：
Y ( z) H ( z) X ( z)
a i z i
i 0
M
1 bi z i
i 1
N
(6.2)
6.1.2

IIR 数字滤波器的设计方法
对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，
可以得到：
H ( z)
得 。
c
6.4

冲激响应不变法 本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的
系统函数Ha(s)的情况下，如何求相应的数字滤波器的系 统函数H(z)。s是模拟复频率，Ha(s)也是模拟滤波器的冲 激响应ha(t)的拉氏变换。
6.4.1

冲激响应不变法的变换方法 模拟滤波器的系统函数通常可以表示为：
6.2.1

Butterworth低通滤波特性的逼近
对于Butterworth滤波器有：
| H a ( j)| 2 1 [1 ( c ) 2 N ]

（6.4）
满足此平方幅度特性的滤波器又叫做B型滤波器。这里N 为正整数，为B 型滤波器的阶次，为截止频率。
6.2.1.1
B型滤波特性
| 1 即
| z || e

s k Ts
|
实际上，只要将模拟滤波器的系统函数 Ha(s)分解为 (6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以写出相 应的数字滤波器的系统函数H(z)。

这一变换方法的关键是：h(n)=Ts ha(nTs)，此关系称为冲 激响应不变准则，由此准则出发所得到的变换方法就叫做 冲激响应不变法。冲激响应不变法所得到的数字滤波器保 持了模拟滤波器的时域瞬态特性，这是这种变换方法的一 大优点。

IIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点 处出现谷值, 因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以
达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要
求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种
方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。
2. 借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器