离散数学期末试卷学习资料

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离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系?A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案:D2. 布尔代数中,下列哪个运算符表示逻辑“与”?A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案:B3. 下列哪个命题的否定是正确的?A. 如果今天是周一,则明天是周二。

B. 如果今天是周一,则明天不是周二。

答案:B4. 在图论中,一个图的顶点数为n,边数为m,下列哪个条件可以保证该图是连通的?A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 在集合论中,一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案:子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的,那么对于任意的a1, a2 ∈ A,如果a1 ≠ a2,则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案:单射性3. 在图论中,一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1,则该图被称为______。

答案:完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中,当A为真,B为假,C为真时,整个表达式的值为______。

答案:真三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的哈密顿回路,并给出一个例子。

答案:哈密顿回路是图中的一个回路,它恰好访问每个顶点一次。

例如,在一个完全图中,任意一个顶点出发,依次访问其他顶点,最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系,并给出一个二元关系的例子。

答案:二元关系是定义在两个集合上的一个关系,它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如,小于关系是实数集合上的一个二元关系,它关联了每一对实数,如果第一个数小于第二个数。

离散数学期末试卷及答案

离散数学期末试卷及答案

一.判断题(共10小题,每题1分,共10分)在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误:1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ⇔ p ( )2.∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。

( )3.初级回路一定是简单回路。

( )4.自然映射是双射。

( )5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。

( )6.群的运算是可交换的。

( )7.自然数集关于数的加法和乘法<N,+, >构成环。

( )8.若无向连通图G中有桥,则G的点连通度和边连通度皆为1。

( )9.设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。

( )10.设A、B、C为任意集合,则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。

( )二、填空题(共10题,每题3分,共30分)11.设p:天气热。

q:他去游泳。

则命题“只有天气热,他才去游泳”可符号化为。

12.设M(x):x是人。

S(x):x到过月球。

则命题“有人到过月球”可符号化为。

13.p↔q的主合取范式是。

14.完全二部图K r,s(r < s)的边连通度等于。

15.设A={a,b},,则A上共有个不同的偏序关系。

16.模6加群<Z6,⊕>中,4是阶元。

17.设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>},则R的传递闭包t(R) = 。

.18.已知有向图D的度数列为(2,3,2,3),出度列为(1,2,1,1),则有向图D的入度列为。

19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。

20.7阶圈的点色数是。

三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分)21.求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。

22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。

离散数学期末考试复习题及参考答案

离散数学期末考试复习题及参考答案
A. B. C. D.
参考答案: B
6、 设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案: A
7、 设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案: B
A. B. C. D.
参考答案: B
3、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案: D
4、 下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案: D
5、 下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。 参考答案: 正确
8、 谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案: C
9、 设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案: A
10、 一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案: C
11、 设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案: A
,则有( )

离散数学期末考试题及答案

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离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B等于多少?A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x^2>0”的逆否命题是?A. 若x^2≤0,则x≤0B. 若x^2>0,则x>0C. 若x≤0,则x^2≤0D. 若x≤0,则x^2>0答案:C3. 在图论中,一个图是连通的当且仅当?A. 存在一个顶点到所有其他顶点的路径B. 存在一个顶点到所有其他顶点的回路C. 图中没有孤立的顶点D. 图中至少有两个顶点答案:A4. 以下哪个选项是二元关系的自反性质?A. 对于所有元素x,(x, x)∉RB. 对于所有元素x,(x, x)∈RC. 对于所有元素x,y,(x, y)∈R且(y, x)∈RD. 对于所有元素x,y,z,(x, y)∈R且(y, z)∈R则(x, z)∈R5. 以下哪个命题是真命题?A. 所有的马都是白色的B. 有些马是白色的C. 没有马是白色的D. 所有的马都不是白色的答案:B6. 以下哪个选项是等价命题?A. p∧q和p∨qB. p∧q和¬p∨¬qC. p∧¬q和¬p∨qD. p∧q和¬p∧¬q答案:D7. 在集合论中,以下哪个操作是幂集?A. 并集B. 交集C. 对称差D. 包含所有子集的集合答案:D8. 以下哪个选项是图的路径?A. 一条边B. 一个顶点C. 一系列顶点和边,使得每对连续的顶点由一条边连接D. 一个环答案:C9. 以下哪个选项是命题逻辑中的合取?B. p∧qC. ¬pD. p→q答案:B10. 以下哪个选项是图的连通分量?A. 一个顶点B. 一条边C. 图的一个极大连通子图D. 图的一个极大不连通子图答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合{1,2,3}的子集个数为__7__。

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离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B为()。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {2,3,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x^2>0”的逆否命题是()。

A. 若x^2≤0,则x≤0B. 若x^2>0,则x>0C. 若x≤0,则x^2≤0D. 若x^2≤0,则x<03. 函数f(x)=x^2+3x+2,其值域为()。

A. {x|x≥-1}B. {x|x≥-2}C. {x|x≥-3/2}D. {x|x≥-2/3}答案:C4. 逻辑运算符“与”的符号是()。

A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:A5. 命题“若x>0且y>0,则x+y>0”的真值表为()。

B. 真真假C. 假真真D. 真假假答案:A6. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∪B为()。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,2,3,4}D. {2,3,4}答案:C7. 函数f(x)=x^2-4x+4,其定义域为()。

A. RB. {x|x≥4}C. {x|x≤4}D. {x|x=4}答案:A8. 逻辑运算符“或”的符号是()。

A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:B9. 命题“若x>0或y>0,则x+y>0”的真值表为()。

A. 真真真B. 真真假C. 假真真D. 真假假答案:B10. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A-B为()。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1}D. {2,3,4}答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B={2,3}。

2. 命题“若x>0,则x^2>0”的逆命题是:若x^2>0,则x>0。

离散数学期末考试题及答案

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离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合{1, 2, 3}的子集个数是()。

A. 4B. 6C. 7D. 8答案:D2. 函数f: A→B是单射的,当且仅当()。

A. f是满射B. f是双射C. f的值域等于BD. 对于任意的x1, x2∈A,若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)答案:D3. 命题“若x>0,则x²>0”的逆否命题是()。

A. 若x²≤0,则x≤0B. 若x²>0,则x>0C. 若x≤0,则x²≤0D. 若x²≤0,则x≤0答案:A4. 逻辑运算符“与”的符号是()。

A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案:A5. 有限自动机的状态转移图是()。

A. 有向图B. 无向图C. 树D. 森林答案:A6. 一个图的度是()。

A. 顶点的个数B. 边的个数C. 顶点的度数之和D. 所有顶点的度数的最大值答案:C7. 一个有n个顶点的完全图的边数是()。

A. n(n-1)/2B. n(n+1)/2C. n²D. 2n答案:A8. 命题逻辑中,合取范式(CNF)是()。

A. 析取的合取B. 合取的析取C. 析取的析取D. 合取的合取答案:A9. 布尔代数中,逻辑或运算符的符号是()。

A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:B10. 一个图是连通的,当且仅当()。

A. 它是无向图B. 它是有向图C. 任意两个顶点间都存在路径D. 它是完全图答案:C二、填空题(每题3分,共30分)1. 集合{1, 2, 3}的幂集是{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}},幂集的元素个数为__8__。

2. 如果函数f: A→B是满射,则对于B中的任意元素b∈B,都存在A中的元素a∈A,使得f(a)=__b__。

3. 命题“若x>0,则x²>0”的逆命题是“若x²>0,则__x>0__”。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 以下哪个命题是正确的?A. 如果p,则qB. 如果不p,则不qC. 如果q,则pD. 如果不q,则不p2. 设集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∪B等于?A. {1,2,3,4,6,8}B. {1,2,3,4}C. {2,4,6,8}D. {1,3}3. 一个图的欧拉回路是指?A. 从一个顶点出发,经过每条边一次且仅一次,回到该顶点的回路B. 从一个顶点出发,经过每个顶点一次且仅一次,回到该顶点的回路C. 从一个顶点出发,经过每条边两次,回到该顶点的回路D. 从一个顶点出发,经过每个顶点两次,回到该顶点的回路4. 以下哪个图是二分图?A. K3,3B. C5C. K4D. Q35. 以下哪个命题是正确的?A. 如果p∧q为假,则p为假B. 如果p∨q为假,则q为假C. 如果p→q为真,则q→p为真D. 如果p→q为假,则q→p为假二、填空题(每题5分,共30分)6. 设p是“今天下雨”,q是“我去图书馆”,则命题“如果今天下雨,那么我不去图书馆”可以用逻辑符号表示为______。

7. 设集合A={a,b,c},B={a,b,d},则A-B的元素是______。

8. 设图G有6个顶点,每两个顶点之间都有边相连,则该图的边数是______。

9. 一个具有5个顶点的连通图至少需要______条边。

10. 设p是“我生病了”,q是“我去医院”,则命题“如果我生病了,那么我可能去医院”可以用逻辑符号表示为______。

三、解答题(每题15分,共45分)11. 设集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},求A∩B。

12. 给定图G如下,请判断G是否为二分图,并说明理由。

```1 --2 -- 3| | |4 --5 -- 6```13. 设p是“我睡觉”,q是“我醒着”,r是“现在是晚上”。

请用逻辑符号表示以下命题:- 如果我睡觉,那么不是晚上。

离散数学期末复习题(6套)

离散数学期末复习题(6套)

《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设}}{},,{{c b a A =,}}{},,{},{{c c b a B =,则)(=⋃B A ,)(=⋂B A ,)()(=A P .2.集合},,{c b a A =,其上可定义( )个封闭的1元运算,( )个封闭的2元运算,( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分,共15分)1.设A , B 是集合,若A B A =-,则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设n 是正整数,则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n 2 (D)2n5.对于下列序列,可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. 设N N N :⨯→f ,)1,()(+=x x x f ,则f 是满射. () 2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. () 3. 设),(≤L 是格,对于L z y x ∈,,,若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+,则z y =. () 4. 任何树都至少2片树叶. ()5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( )四、(10分)设C B A ,,和D 是集合,证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-,并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合,定义N 上的关系R 如下:y x R y x +⇔∈),(是偶数,1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ,使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数,而所有自然数是整数,所以R 中存在整数.七、(10分)设R 是实数集合,令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G ,定义G 上的运算如下: 对于任意G d c b a ∈),(),,(,),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅,证明),(⋅G 是非Abel 群.八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ,则G 是连通图,试证明之.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅},则-A ∅ = ( ),-A {∅} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元.5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当n 为( )时,n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分,共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系,1-R 是R 的逆关系,则1-⋃R R 是A 上的(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设p 是素数且n 是正整数,则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)pn4.设R 是实数集合,≤是其上的小于等于关系,则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ,又存在右逆元r a ,则r l a a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}中,2关于“⋅8”的逆元为4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:,若g f 是单射,证明f 是单射,并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ,必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字,其中三个1,两个2,一个3,求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 若n B m A ==||,||,则=⨯||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射.3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(;(2))(q p p ∨→;(3))(q p p ∧→;(4)q q p p →∨∧⌝)(;(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分,共15分)1. 设A , B , C 是集合,则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B , B ∈ C ,则A ∈ C . (B)若A ⊆ B , B ∈ C ,则A ⊆ C .(C)若A ∈ B , B ⊆ C ,则A ∈ C . (D)若A ∈ B , B ⊆ C ,则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ,S ⊆ A ⨯ A ,则下述结论正确的是( ).(A)若R 和S 是自反的,则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的,则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的,则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的,则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中,下列各式中不正确的是( ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图,且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1,则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.设f : Z → Z ,x x x f 2||)(-=,则f 是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射,若G 1是Abel 群,则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格,对于L z y x ∈,,,若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+,则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图,则G 或G 是非平面图. ( )四、(15分)设A 和B 是集合,使下列各式(1)A B A =⋂; (2)A B B A -=-;(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么,并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系,其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}, 证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人,每个人恰有3个朋友,则n 必为偶数,试证明之.八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(D)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个,其中有( )单射,( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子,F (x ): x 是闪光的,则命题“金子都是闪光的,但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合,则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( ),零元是( ),P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 不同构的5阶无向树有( )棵.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图,当n ≥ ( )时是Hamilton 图,当n ( )时是平面图.二、单选题(每小题3分,共15分)1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.2. 设R 是集合A 上的偏序关系,则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧.(C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝.4.下列代数结构(G , *)中,( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )2. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )3. 实数集R 关于数的乘法运算“⋅”阿贝尔群. ( )4. 任意有限域的元素个数为2n . ( )5. 设G 是n (n 为奇数)简单图,则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(10分)设A 和B 是集合,使B B A =-成立的充要条件是什么,并给出理由.五、(10分) 设R 和S 是集合A 上的对称关系,证明S R 对称的充要条件是R S S R =.六、(15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 设G 是(n , m )无向图,若n m ≥,证明G 中必存在圈.八、(10分) 在初始条件f (1) = c 下,求解递归关系bn n f n f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=22)(,其中b ,c 为常数且kn 2=,k 为正整数.《离散数学》期末考试题(E)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ,{a }( )B ,{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. gcd(36, 48) = ( ),lcm(36, 48) = ( ).4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构,其元素个数为( ).5. 不同构的5阶无向树有( )棵,不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分,共15分)1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下:对于任意x , y ∈ Q ,y x * = x + y – xy ,则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ,则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车,B (x ): x 是汽车,F (x , y ): x 比y 快,则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃.(B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃.(C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). 1 1 22 3 3G S G R(A)域(B)域和整环(C)整环(D) 有零因子环G≅,则称G为自补图. 5阶不同构的自补图5.设G是简单图,G是G的补图,若G个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. { ∅, {∅}} ∉P(P({∅})). ( )2. 非空1元及2元联结词集合的个数为29-1. ( )3. 群可分为Abel群和非Abel群. ( )4. 元素个数相同的有限域都是同构的. ( )5. 设G是简单图,则G或G是连通图. ( )四、(15分)设C,:, 若gf 是单射,证明f是单射,并举例说明g→:f→gBBA不一定是单射.五、(10分)设A = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, b), (b, d), (c, c), (a, c)}, 画出R的关系图,并求出R的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R).六、(10分)用CP规则证明下列推理.⌝∨→∨(.⇒),(⌝),→pqssrqrqp→七、(10分)求谓词公式))xyByAxA∀→∨∀∧⌝∃的前束范式.zC((x()))(z(()八、(10分)任意6个人中,一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.《离散数学》期末考试题(F)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A–B = { }, B–A = { }, A⊕B = { }.2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z(x): x是整数,O(x): x是奇数,则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定 ( )连通图,其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分,共15分)1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.2. 设集合A 中有4个元素,则A 上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)163.下列代数结构(G , *)中,( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 下列偏序集,( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单无向图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. 设A ,B ,C 是集合,若C A B A ⊕=⊕, 则B = C . ( )2. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )3. 设 (L , ≤)是偏序集,若L 的任意非空子集均存在上确界和下确界,则(L , ≤)是格.( )4. 在同构意义下,有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃X P ∅, X ). ( )5. 设G 是简单图,则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(15分) 设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射,证明g 是满射,并举例说明f 不一定是满射.五、(10分) 在整数集合Z 上定义关系R 如下:对于任意∈y x , Z ,y y x x R y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.六、(10分)利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分)证明:在至少两个人的人群中,必有两个人有相同个数的朋友.八、(10分)将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色,证明:无论如何涂法,总存在红色的K 3或蓝色的K 3.(ps :答案见离散数学期末复习题(6套)答案文档)。

大学离散数学期末考试题库和答案

大学离散数学期末考试题库和答案

大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 在集合论中,以下哪个符号表示“属于”?A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案:A2. 如果A和B是两个集合,那么A∪B表示什么?A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案:B3. 以下哪个命题是真命题?A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案:C4. 在图论中,一个无向图的边数为E,顶点数为V,那么这个图的生成树的边数是多少?A. EB. V-1C. VD. E-1答案:B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题(TSP)的?A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案:D6. 在逻辑中,以下哪个符号表示“蕴含”?A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案:C7. 以下哪个是二进制数?A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案:A8. 在关系数据库中,以下哪个操作用于删除表中的行?A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案:D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算?A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案:D10. 在离散数学中,以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系?A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案:D二、多项选择题(每题3分,共15分)11. 以下哪些是集合的基本运算?A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案:ABCD12. 在图论中,以下哪些是图的基本类型?A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案:ABCD13. 在逻辑中,以下哪些是命题逻辑的基本连接词?A. 与(∧)B. 或(∨)C. 非(¬)D. 蕴含(→)答案:ABCD14. 在关系数据库中,以下哪些是SQL的基本操作?A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案:ABCD15. 在离散数学中,以下哪些是组合数学的基本概念?A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案:ABC三、填空题(每题3分,共30分)16. 如果集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},那么A∩B=______。

最新国家开放大学电大《离散数学(本)》期末题库及答案

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《离散数学》题库及答案一一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.若集合A={a,b},B={ a,b,{ a,b }},则().A.A⊂B,且A∈B B.A∈B,但A⊄BC.A⊂B,但A∉B D.A⊄B,且A∉B2.集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x,y>|x+y=10且x, y∈A},则R的性质为().A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的3.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有()个.A.0 B.2 C.1 D.34.如图一所示,以下说法正确的是( ) .A.{(a, e)}是割边B.{(a, e)}是边割集C.{(a, e) ,(b, c)}是边割集D.{(d, e)}是边割集图一5.设A(x):x是人,B(x):x是学生,则命题“不是所有人都是学生”可符号化为().A.(∀x)(A(x)∧B(x)) B.┐(∃x)(A(x)∧B(x))C.┐(∀x)(A(x) →B(x)) D.┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为.7.设A={a,b,c},B={1,2},作f:A→B,则不同的函数个数为.8.若A={1,2},R={<x, y>|x∈A, y∈A, x+y=10},则R的自反闭包为.9.结点数v与边数e满足关系的无向连通图就是树.10.设个体域D={a, b, c},则谓词公式(∀x)A(x)消去量词后的等值式为.三、逻辑公式翻译(每小题6分,本题共12分)11.将语句“尽管他接受了这个任务,但他没有完成好.”翻译成命题公式.12.将语句“今天没有下雨.”翻译成命题公式.四、判断说明题(每小题7分,本题共14分)判断下列各题正误,并说明理由.13.下面的推理是否正确,试予以说明.(1) (∀x)F(x)→G(x)前提引入(2) F(y)→G(y)US(1).14.若偏序集<A,R>的哈斯图如图二所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在.图二五.计算题(每小题12分,本题共36分)15.求(P∨Q)→(R∨Q)的合取范式.16.设A={0,1,2,3,4},R={<x,y>|x∈A,y∈A且x+y<0},S={<x,y>|x∈A,y∈A且x+y≤3},试求R,S,R•S,R-1,S-1,r(R).17.画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权.六、证明题(本题共8分)18.设G是一个n阶无向简单图,n是大于等于2的奇数.证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G 是G的补图).试题解答一、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 二、填空题(每小题3分,本题共15分) 6.1024 7.88.{<1,1>,<2,2>} 9.e=v -110.A (a ) ∧A (b )∧A (c )三、逻辑公式翻译(每小题6分,本题共12分)11.设P :他接受了这个任务,Q :他完成好了这个任务, (2分)P ∧⌝ Q . (6分)12.设P :今天下雨, (2分)⌝ P . (6分)四、判断说明题(每小题7分,本题共14分)13.错误. (3分) (2)应为F (y )→G (x ),换名时,约束变元与自由变元不能混淆. (7分) 14.错误. (3分) 集合A 的最大元不存在,a 是极大元. (7分) 五.计算题(每小题12分,本题共36分)15.(P ∨Q )→(R ∨Q )⇔⌝(P ∨Q )∨(R ∨Q ) (4分) ⇔(⌝P ∧⌝Q )∨(R ∨Q )⇔(⌝P ∨R ∨Q )∧(⌝Q ∨R ∨Q )⇔(⌝P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式 (12分) 16.R =∅, (2分) S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} (4分) R •S =∅, (6分)R -1=∅, (8分) S -1= S , (10分) r (R )=I A . (12分) 17.(10分)权为1⨯3+2⨯3+2⨯2+3⨯2+4⨯2=27 (12分)六、证明题(本题共8分)18.证明:因为n 是奇数,所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数, (3分) 因此,若G 中顶点v 的度数为奇数,则在G 中v 的度数一定也是奇数, (6分)ο οο ο ο ο ο ο ο 1 2 23 34 75 12所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等. (8分)《离散数学》题库及答案二一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.若集合A ={1,{2},{1,2}},则下列表述正确的是( ). A .2⊂A B .{1}⊂AC .1∉AD .2 ∈ A2.已知一棵无向树T 中有8个顶点,4度、3度、2度的分支点各一个,T 的树叶数为( ). A .6 B .4 C .3 D .53.设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101110011000011100111110 则G 的边数为( ). A .1 B .7 C .6 D .144.设集合A ={a },则A 的幂集为( ).A .{{a }}B .{a ,{a }}C .{∅,{a }}D .{∅,a }5.下列公式中 ( )为永真式.A .⌝A ∧⌝B ↔ ⌝A ∨⌝B B .⌝A ∧⌝B ↔ ⌝(A ∨B )C .⌝A ∧⌝B ↔ A ∨BD .⌝A ∧⌝B ↔ ⌝(A ∧B )二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.命题公式P P ⌝∧的真值是 . 7.若无向树T 有5个结点,则T 的边数为 .8.设正则m 叉树的树叶数为t ,分支数为i ,则(m -1)i = .9.设集合A ={1,2}上的关系R ={<1, 1>,<1, 2>},则在R 中仅需加一个元素 ,就可使新得到的关系为对称的.10.(∀x )(A (x )→B (x ,z )∨C (y ))中的自由变元有 .三、逻辑公式翻译(每小题6分,本题共12分)11.将语句“今天上课.”翻译成命题公式.12.将语句“他去操场锻炼,仅当他有时间.”翻译成命题公式.四、判断说明题(每小题7分,本题共14分)判断下列各题正误,并说明理由.13.设集合A={1,2},B={3,4},从A到B的关系为f={<1, 3>},则f是A到B的函数.14.设G是一个有4个结点10条边的连通图,则G为平面图.五.计算题(每小题12分,本题共36分)15.试求出(P∨Q)→(R∨Q)的析取范式.16.设A={{1}, 1, 2},B={1, {2}},试计算(1)(A∩B)(2)(A∪B)(3)A (A∩B).17.图G=<V, E>,其中V={ a, b, c, d },E={ (a, b), (a, c) , (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)},对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5,试(1)画出G的图形;(2)写出G的邻接矩阵;(3)求出G权最小的生成树及其权值.六、证明题(本题共8分)18.试证明:若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.试题解答一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.B 2.D 3.B 4.C 5.B二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.假(或F,或0)7.48.t-19.<2, 1>10.z,y三、逻辑公式翻译(每小题6分,本题共12分)11.设P :今天上课, (2分) 则命题公式为:P . (6分) 12.设 P :他去操场锻炼,Q :他有时间, (2分) 则命题公式为:P →Q . (6分) 四、判断说明题(每小题7分,本题共14分)13.错误. (3分) 因为A 中元素2没有B 中元素与之对应,故f 不是A 到B 的函数. (7分) 14.错误. (3分) 不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图,若v ≥3,则e ≤3v -6.” (7分)五.计算题(每小题12分,本题共36分)15.(P ∨Q )→(R ∨Q )⇔ ┐(P ∨Q )∨(R ∨Q ) (4分)⇔ (┐P ∧┐Q )∨(R ∨Q ) (8分)⇔ (┐P ∧┐Q )∨R ∨Q (析取范式) (12分)16.(1)(A ∩B )={1} (4分)(2)(A ∪B )={1, 2, {1}, {2}} (8分) (3) A -(A ∩B )={{1}, 1, 2} (12分)17.(1)G 的图形表示如图一所示:(3分)(2)邻接矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111101111011110 (6分) (3)最小的生成树如图二中的粗线所示:图一 ο ο ο ο a b c d1 124 53 图二ο ο ο ο a b cd1 1 2453(10分)权为:1+1+3=5 (12分)六、证明题(本题共8分)18.证明:设∀x∈A,因为R自反,所以x R x,即< x, x>∈R;又因为S自反,所以x R x,即< x, x >∈S.(4分)即< x, x>∈R∩S (6分)故R∩S自反.(8分)《离散数学》题库及答案三一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.若集合A={ a,{a}},则下列表述正确的是( ).A.{a}⊆A B.{{{a}}}⊆AC.{a,{a}}∈A D.∅∈A2.命题公式(P∨Q)的合取范式是( )A.(P∧Q)B.(P∧Q)∨(P∨Q)C.(P∨Q)D.⌝(⌝P∧⌝Q)3.无向树T有8个结点,则T的边数为( ).A.6 B.7 C.8 D.9 4.图G如图一所示,以下说法正确的是( ).A.a是割点B.{b,c}是点割集C.{b, d}是点割集D.{c}是点割集图一5.下列公式成立的为( ).A.⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B.P→⌝Q⇔⌝P→QC.Q→P⇒ P D.⌝P∧(P∨Q)⇒Q二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.设集合A ={2, 3, 4},B ={1, 2, 3, 4},R 是A 到B 的二元关系,},{y x B y A x y x R ≤∈∈><=且且则R 的有序对集合为 .7.如果R 是非空集合A 上的等价关系,a ∈A ,b ∈A ,则可推知R 中至少包含 等元素. 8.设G =<V , E >是有4个结点,8条边的无向连通图,则从G 中删去 条边,可以确定图G 的一棵生成树.9.设G 是具有n 个结点m 条边k 个面的连通平面图,则m 等于 10.设个体域D ={1, 2},A (x )为“x 大于1”,则谓词公式()()x A x ∃的真值为 三、逻辑公式翻译(每小题6分,本题共12分) 11.将语句“今天考试,明天放假.”翻译成命题公式. 12.将语句“我去旅游,仅当我有时间.”翻译成命题公式. 四、判断说明题(每小题7分,本题共14分)判断下列各题正误,并说明理由.13.如果图G 是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G 是欧拉图.14.若偏序集<A ,R >的哈斯图如图二所示,则集合A 的最大元为a ,最小元是f .图二五.计算题(每小题12分,本题共36分)15.设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃,试(1)写出量词的辖域; (2)指出该公式的自由变元和约束变元. 16.设集合A ={{1},1,2},B ={1,{1,2}},试计算(1)(A -B ); (2)(A ∩B ); (3)A ×B .17.设G =<V ,E >,V ={ v 1,v 2,v 3,v 4 },E ={ (v 1,v 3),(v 2,v 3),(v 2,v 4),(v 3,v 4) },试 (1)给出G 的图形表示; (2)写出其邻接矩阵;(3)求出每个结点的度数; (4)画出其补图的图形. 六、证明题(本题共8分)18.设A ,B 是任意集合,试证明:若A ⨯A=B ⨯B ,则A=B .试题解答(供参考)一、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 1.A 2.C 3.B 4.B 5.D 二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.{<2, 2>,<2, 3>,<2, 4>,<3, 3>},<3, 4>,<4, 4>} 7.<a , a >,< b , b > 8.5 9.n +k -210.真(或T ,或1)三、逻辑公式翻译(每小题4分,本题共12分)11.设P :今天考试,Q :明天放假. (2分) 则命题公式为:P ∧Q . (6分)12.设P :我去旅游,Q :我有时间, (2分)则命题公式为:P →Q . (6分) 四、判断说明题(每小题7分,本题共14分)13.错误. (3分)当图G 不连通时图G 不为欧拉图. (7分) 14.错误. (3分) 集合A 的最大元与最小元不存在,a 是极大元,f 是极小元,. (7分) 五.计算题(每小题12分,本题共36分)15.(1)∃x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→, (3分)∀z 量词的辖域为),,(z x y B , (6分) (2)自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y , (9分)约束变元为x 与z . (12分)16.(1)A -B ={{1},2} (4分)(2)A ∩B ={1} (8分) (3)A ×B={<{1},1>,<{1},{1,2}>,<1,1>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2, {1,2}>} (12分) 17.(1)G 的图形表示为(如图三):(3分)图三 (2)邻接矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100(6分) (3)v 1,v 2,v 3,v 4结点的度数依次为1,2,3,2 (9分) (4)补图如图四所示:(12分)图四六、证明题(本题共8分)18.证明:设x ∈A ,则<x ,x >∈A ⨯A , (1分) 因为A ⨯A=B ⨯B ,故<x ,x >∈B ⨯B ,则有x ∈B , (3分) 所以A ⊆B . (5分) 设x ∈B ,则<x ,x >∈B ⨯B , (6分) 因为A ⨯A=B ⨯B ,故<x ,x >∈A ⨯A ,则有x ∈A ,所以B ⊆A . (7分) 故得A=B . (8分)《离散数学》题库及答案四一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)二、填空题(每小题3分,本题共15分)三、逻辑公式翻译(每小题6分,本题共12分)11.将语句“如果他掌握了计算机的用法,那么他就能完成这项工作.”翻译成命题公式.12.将语句“前天下雨,昨天还是下雨.”翻译成命题公式.四、判断说明题(判断各题正误,并说明理由.每小题7分,本题共14分)五、计算题(每小题12分,本题共36分)六、证明题(本题共8分)试题答案《离散数学》题库及答案五一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)试题及答案《离散数学》题库及答案六一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)二、填空题(每小题3分,本题共15分)三、逻辑公式翻译(每小题6分,本题共12分)11.将语句“昨天下雨”翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电影或者去打球”翻译成命题公式.四、判断说明题(判断各题正误,并说明理由.每小题7分,本题共14分)五、计算题(每小题12分,本题共36分)六、证明题(本题共8分)试题答案及评分标准(供参考)。

离散数学期末复习试题及答案

离散数学期末复习试题及答案

离散数学习题参考答案第一章集合1.分别用穷举法,描述法写出以下集合(1)偶数集合〔2〕36的正因子集合〔3〕自然数中3的倍数〔4〕大于1的正奇数(1)E={⋯,-6,-4,-2,0,2,4,6,⋯}={2 i | i∈I }(2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 }(3) N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N }(4) A d= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N }2.确定以下结论正确与否〔1〕φ∈φ×〔2〕φ∈{φ}√〔3〕φ⊆φ√〔4〕φ⊆{φ}√〔5〕φ∈{a}×〔6〕φ⊆{a}√〔7〕{a,b}∈{a,b,c,{a,b,c}}×〔8〕{a,b}⊆{a,b,c,{a,b,c}}√〔9〕{a,b}∈{a,b,{{a,b}}}×〔10〕{a,b}⊆{a,b,{{a,b}}}√3.写出以下集合的幂集〔1〕{{a}}{φ, {{ a }}}( 2 ) φ{φ}〔3〕{φ,{φ}}{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }〔4〕{φ,a,{a,b}}{φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }},{a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} }〔5〕P〔P〔φ〕〕{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }4.对任意集合A,B,C,确定以下结论的正确与否〔1〕假设A∈B,且B⊆C,那么A∈C√ 〔2〕假设A∈B,且B⊆C,那么A⊆C× 〔3〕假设A⊆B,且B∈C,那么A∈C× 〔4〕假设A⊆B,且B∈C,那么A⊆C ×5.对任意集合A,B,C,证明右分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M.D )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C B (A )1(右差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A ()C B (A M.D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1)C A ()B A ()C B (A )2(右交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A ()C B (A M.D )C B (A )C A ()B A ()C B (A )3())B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B)B A (BA B )B A )(4( --⊕=⊕+结合分配对称差差左右零一互补==φ-φ-)B A ()B A ()A ()U )B A (()C B (A )C B (A M .D )C B (A C )B A ()C B (A C )B A )(5( --=--差结合差左右差结合交换结合差左=----=--B )C A (B)C A ()B C (A )C B (A C )B A (B )C A (C )B A )(6(左交换零一互补分配差右=------------=--C )B A ()5()C B (A )B C (A )U )B C ((A ))C C ()B C ((A ))C B (C (A ))C B (C (A )5()C B ()C A (C )B A )(7(6.问在什么条件下,集合A,B,C满足以下等式时等式成立须左若要右右左A C ),C B (A C ,)C A ()B A (C )B A ()C B (A )1(⊆∴⊆⊆⊆==时等式成立是显然的右左φ=∴⊆=-⊆⊆=-B A ,B A ,B A B A A ,A B A )2(时等式成立代入原式得φ==∴φ=φ-φ=⊆==-B A ,A ,B ,B B ,B B A BB A )3(时等式成立只能B A ,A B ,A B ,B A ,B A ,A B B A A B B A )4(=∴⊆φ=-⊆φ=-φ==-=-矛盾当矛盾当若A B A b ,A b ;A B A b ,A b ,B b ,B ,B A B A )5(=⊕∈∉=⊕∉∈∈∃φ≠φ==⊕} 时等式成立是显然的左右B A BA AB ,B A B BA ,B A A ,B A B A ,B A B A )6(=∴=⎩⎨⎧⊆⊆⊆⊆⊆⊆=时等式成立左φ=∴=-=====--C B A A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A (A)C A ()B A )(7(时等式成立左C A ,B A ),C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(8(⊆⊆∴⊆φ=-====φ=--时等式成立左)C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(9(⊆∴φ=-====φ=--时等式成立知由C A B A ,C A B A ),C A ()B A (,)6()C A ()B A ()C A ()B A ())C A ()B A (())C A ()B A (()C A ()B A )(10(=∴-=--=---=--φ=-----φ=-⊕-时等式成立B A B )B A (U )B A ()A A ()B A ()A B (A B)A B (A )11(⊆∴=====-7.设A={a,b,{a,b},},求以下各式〔1〕φ∩{φ}=φ 〔2〕{φ}∩{φ}={φ} 〔3〕{φ,{φ}}-φ={φ,{φ}} 〔4〕{φ,{φ}}-{φ}= {{φ}} 〔5〕{φ,{φ}}-{{φ}}={φ} 〔6〕A-{a,b}={{a,b}, φ} 〔7〕A-φ = A〔8〕A-{φ}={a,b,{a,b}} 〔9〕φ-A=φ 〔10〕{φ}-A=φ8.在以下条件下,一定有B=C吗?(1) C A B A =否,例:A={1,2,3},B={4},C={3,4},C B ,}4,3,2,1{C A B A ≠==而 。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B等于()。

A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {4,5}答案:B2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是()。

A. 若x≤1,则x≤0B. 若x≤1,则x<0C. 若x≤0,则x≤1D. 若x<1,则x≤0答案:D3. 在图论中,一个连通图的最小生成树包含的边数是()。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案:A4. 布尔代数中,A+0的结果是()。

A. 0B. AC. 1D. A+1答案:B5. 函数f: X→Y是双射的,当且仅当()。

A. f是单射且满射B. f是单射或满射C. f是单射且非满射D. f是非单射且满射答案:A二、填空题(每题3分,共15分)6. 若A={1,2,3},B={4,5,6},则A∪B的元素个数为 6 。

7. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是“若 x>1 ,则x>0”。

8. 在一个有n个顶点的完全图中,边的总数为 n(n-1)/2 。

9. 布尔代数中,A·1的结果是 A 。

10. 函数f: X→Y是单射的,当且仅当对于任意的x1, x2∈X,若f(x1)=f(x2),则 x1=x2 。

三、解答题(每题10分,共20分)11. 证明:若A和B是等价关系,则A∩B=A=B。

证明:由于A和B是等价关系,根据等价关系的性质,A和B都是自反的、对称的和传递的。

因此,A∩B也是自反的、对称的和传递的,所以A∩B是等价关系。

又因为A和B是等价关系,它们包含相同的元素,所以A∩B=A=B。

12. 给定一个有向图G,其中包含5个顶点和7条边,请构造一个包含所有顶点的最小路径覆盖。

解答:由于题目没有给出具体的图G,我们无法给出一个具体的最小路径覆盖。

但是,根据最小路径覆盖的定义,我们需要找到一组边,使得图中的每个顶点至少与这组边中的一条边相关联,且这组边的数量尽可能少。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合{1, 2, 3}的子集个数是:A. 3B. 4C. 8D. 2^3答案:C2. 命题逻辑中,命题p∧(q∨¬p)的真值表中,真值个数为:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B3. 函数f: A→B中,若A={1, 2},B={a, b},则f是单射的必要条件是:A. |A| ≤ |B|B. |A| < |B|C. |A| = |B|D. |A| > |B|答案:B4. 以下哪个图是无向图?A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案:B5. 在图论中,一个图的生成树是:A. 包含图中所有顶点的最小连通子图B. 包含图中所有边的最小连通子图C. 包含图中所有顶点和边的连通子图D. 包含图中所有顶点和边的无环子图答案:A6. 以下哪个命题是真命题?A. 所有偶数都是整数B. 所有整数都是偶数C. 所有奇数都是整数D. 所有整数都是奇数答案:A7. 在布尔代数中,以下哪个运算符表示逻辑与?A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案:B8. 有限状态机中,状态的转移是由以下哪个决定的?A. 当前状态B. 输入符号C. 当前状态和输入符号D. 输出符号答案:C9. 以下哪个是图的遍历算法?A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 动态规划D. 分治算法答案:A10. 在集合论中,以下哪个符号表示集合的交集?A. ∪B. ∩C. ×D. ÷答案:B二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合{1, 2, 3}的幂集是{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}},其中包含元素个数最多的子集是_。

答案:{1, 2, 3}2. 在命题逻辑中,如果p和q都为真,则p∨q的真值为_。

答案:真3. 函数f: A→B中,若A={1, 2},B={a, b, c},则f是满射的必要条件是_。

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)一、单项选择题(每小题3分,本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树,结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x):x是人,B(x):x是学生,则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路,则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图,结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分,本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误,并说明理由.每小题7分,本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分,本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集,其中B = 试(1)写出R的关系表达式;(2)画出关系R的关系图;(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示;(2)写出其邻接矩阵;(3)求出每个结点的度数;(4)画出图G的补图的图形,17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合,试证明:若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分,本题共]5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、 逻辑公式翻译(每小题6分,本题共】2分)H,设P :昨天下雨. 则命题公式为:P ,12. 设P :小王今天上午去看电影 Q :小王今天上午去打球 则命题公式为:r (PiQ ). 或者(rPAQ )V 〈PA rQ )四、 判断说明题(每小题7分,本题共14分)13. 正确.例:设 A = {a} t H — {a,{a}) 则有且ACI3.说明:举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图, 如K,可以如下图示嵌入平面.(7分)五、计算题(每小题12分,本题共36分)15. (l )R = {Va ,a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>,V&,d>,VQ,d >}. (4 分)(2)关系图(8分)(3)集合B 无最大元,极大元为6与c.无上界. 16, 解: (1)关系图(2分) (6分)(2分)(6分)(3分) (517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式 六、证明题(本意共8分)18. 证明:V2(2)邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0(6分)(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图(9分)(】2分)(2分) (5分)(7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,(1 分)因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, (3 分)因此AGB. (5分)设xQB,则Vx,x>€BXB,(6 分)因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. (7 分)故得A=B. (8分)。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B=()。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是()。

A. 若x≤0,则x≤1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤1,则x≤0答案:B3. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A5. 命题p:“x>0”,则¬p为()。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A6. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。

A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C7. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A9. 命题p:“x>0”,则¬p为()。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A10. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。

A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=______。

答案:{1,2,3,4}2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是:若x≤1,则x≤0。

(完整word版)离散数学期末考试试题及答案

(完整word版)离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明:∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D, (C∨D)→⌝E,⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明:(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2),I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试复习资料

离散数学期末考试复习资料

《离散数学》课程综合复习资料一、判断题1.R1,R2是集合A上的二元关系,若R1和R2都是反自反的,则R1R2也是反自反的。

答案:√2.对任意集合A,A。

答案:×3.设<G,*>是一个群,B是G的非空子集,如果B是一个有限集,则<B,*>必定是<G,*>的子群。

答案:×4.A、B、C为任意集合,已知A⋂B=A⋂C,必须有B=C。

答案:×5.对于任意一个集合A,空集。

答案:√6.设E为全集,对任意集合A,A。

答案:×7.设A、B为任意两个集合,A答案:×8.R是集合A上的二元关系,若R是自反的,则R c也是自反的。

答案:√9.对于任意一个集合A,空集。

答案:×图是平面图。

10.K3,3答案:×11.“你去图书馆吗?”是一个命题。

答案:×12.如果有限集合A有n个元素,则其幂集p(A)有2n个元素。

答案:×13.群中可以有零元。

14.集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系。

答案:√15.含有幺元的半群为独异点。

答案:√二、基本题1.将下列命题符号化:(1)只要不下雨,他就骑自行车上班。

(2)他或者骑自行车上班,或者乘公共汽车上班。

(3)有些大学生运动员是国家选手。

答案:(1)(⌝P→ Q)(2)(Q ∇ R 或 (Q∧⌝R)∨(⌝Q∧R))(3)((∃x)(P(x)∧Q(x)))2.求命题公式P∧(P→Q)的主析取范式。

答案:原式⇔P∧(⌝P∨Q)⇔(P∧⌝P) ∨ (P∧Q)⇔T∨ (P∧Q)⇔P∧Q3.求⌝(P→Q)的主合取范式。

答案:原式⇔⌝(⌝P∨Q)⇔⌝(⌝P∨Q)⇔P∧⌝Q⇔(P∨(⌝Q ∧Q))∧(⌝Q∨(⌝P∧P))⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)∧(P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)4.设A={3,4},试构成集合P(A)⨯A。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1.下列哪一个不是集合操作? A. 并 B. 交 C. 补 D. 叉积正确答案:D2.下列哪一个不是真命题? A. 1 + 1 = 2 B. 所有的猫都会飞 C. 所有的数都是整数 D. 狗是哺乳动物正确答案:B3.设A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A ∩ B的结果是:A. {1, 2}B. {3}C. {1, 3}D. {4, 5}正确答案:B4.设A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A × B的结果是:A. {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}B. {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}C. {(3, 3), (3,4), (3, 5)} D. {(3, 1), (3, 2), (3, 3)}正确答案:A5.若n为正整数,则n是偶数的充要条件是: A. n可以被2整除 B. n除以2的余数为1 C. n大于2 D. n的绝对值是偶数正确答案:A6.若A = {1, 2, 3, 4},B = {3, 4, 5},则A - B的结果是:A. {1, 2}B. {3}C. {1, 3, 4}D. {4, 5}正确答案:A7.已知命题P和命题Q,下列哪个是它们的逻辑等价式?A. P ∧ (P ∨ Q) = P B. P ∧ (P ∨ Q) = Q C. P ∨ (P ∨ Q) = P D. P ∨ (P ∨ Q) = Q正确答案:A8.设n为奇数,则n + n的结果是: A. 2n B. n^2 C.n(n+1) D. n(n-1)正确答案:C9.已知集合A = {1, 2, 3, 4},B = {4, 5, 6},C = {6, 7, 8},则(A ∩ B)∩ C的结果是: A. {1, 2, 3} B. {4} C. {6} D. 空集正确答案:D10.若命题P为真,则下列哪个推理是正确的? A. 如果P为真,则Q为真(反证法) B. P与Q都为真(析取引理)C. P蕴含Q(推理法则) D. P等价于Q(假设法)正确答案:A二、解答题(每题10分,共60分)1.证明:任取集合A和B,有(A ∪ B) - B = A - B解答:运用集合的基本运算性质:对任意元素x,x∈ (A ∪ B) - B,即x ∈ (A ∪ B)且x ∉ B。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 设A={1,2,3,4,5},B={2,3,5,7,11},则A∩B等于()A. {1,2,3,4,5}B. {2,3,5}C. {1,4}D. {2,3,5,7,11}2. 下面哪一个图是连通图?()A. 无向图B. 有向图C. 平面图D. 连通图3. 若一个图G有n个顶点,e条边,则以下哪个条件是图G 为连通图的必要条件?()A. n ≥ eB. n ≤ eC. n = eD. n + e = 24. 在一个简单图中,若每个顶点的度数都等于n-1,则该图是()A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 平面图5. 以下哪一个命题是正确的?()A. 每个图都有欧拉回路B. 每个连通图都有哈密顿回路C. 每个图都有哈密顿路径D. 每个连通图都有欧拉路径二、填空题(每题5分,共25分)6. 设A={a,b,c},B={1,2,3},则A×B的结果是______。

7. 一个连通图的生成树包含______条边。

8. 在一个n阶完全图中,任意两个不同顶点之间的距离是______。

9. 一个图G的顶点集为V,边集为E,则图G的邻接矩阵表示为______。

10. 在一个简单图中,若每个顶点的度数都等于n-1,则该图的边数是______。

三、判断题(每题5分,共25分)11. 一个图的子图包含原图的所有顶点和边。

()12. 一个连通图的所有顶点都连通。

()13. 在一个简单图中,每个顶点的度数都小于等于n-1。

()14. 每个图都有哈密顿路径。

()15. 一个图G的生成树是原图G的子图。

()四、解答题(共50分)16. (10分)设A={1,2,3,4,5},B={2,3,5,7,11},求A∪B 和A-B。

17. (10分)证明:一个连通图的每个顶点的度数都大于等于2。

18. (10分)给定一个图G,顶点集V={a,b,c,d,e},边集E={ab,bc,cd,de,ac,ad},求图G的所有连通分支。

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北京工业大学经管学院期末试卷《离散数学》(A)学号姓名:成绩一、单项选择题(每题2分,共18分)1.令P:今天下雪了,Q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不.滑”可符号化为(D)A.P→Q B.P∨QC.P∧Q D.P∧Qp→q,蕴涵式,表示假设、条件、“如果,就”。

“→”与此题无关2. 关于命题变元P和Q的极大项M1表示( C )。

书P15-P20,此题换作p、q更容易理解A.┐P∧QB.┐P∨Q p∨┐q ---- 01---- 1 ----- M1C.P∨┐QD.P∧┐Q3.设R(x):x是实数;S(x,y):x小于y。

用谓词表达下述命题:不存在最小的实数。

其中错误的表达式是:(D)4.在论域D={a,b}中与公式(x∃)A(x)等价的不含存在量词的公式是(B)A.)b()a(A∨AA)a(A∧ B. )b(C. )b()b(A→AA)a(A→ D. )a(5.下列命题公式为重言式的是(C)A.Q→(P∧Q)B.P→(P∧Q)C.(P∧Q)→P D.(P∨Q)→Q牢记→真假条件,作为选择题可直接代入0、1,使选项出现1→0,排除。

熟练的可直接看出C不存在1→0的情况6. 设A={1,2,3},B={a,b},下列二元关系R为A到B的函数的是( A )A. R={<1,a>,<2,a>,<3,a>}B. R={<1,a>,<2,b>}C. R={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a>}D. R={<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a>}7.偏序关系具有性质(D)背A.自反、对称、传递B.自反、反对称C.反自反、对称、传递D.自反、反对称、传递8.设R 为实数集合,映射:,R R σ→2()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ).(A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f :A→B(1)若ranf=B ,则f 是满射的【即值域为B 的全集,在本题中为R ,该二次函数有最高点,不满足】(2)若对于任何的x 1,x 2∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2),则称f 是单射的【即x,y 真正一一对应,甚至不存在一个y 对应多个x 。

显然,本题为二次函数,不满足】(3)若f 既是满射的,又是单射的,则称f 是双射的【本题中两个都不满足,既不是单射也不是满射】二、填空题(每空2分,共22分)1.设Q 为有理数集,笛卡尔集S=Q×Q ,*是S 上的二元运算,∀<a, b>,<x, y>∈S, <a, b>*<x, y>=<ax, y+b>, 则*运算的幺元是_____<1,0>_____。

∀<a, b>∈S, 若a≠0, 则<a, b>的逆元是______<1/a,-b>______。

书P123定义2.在个体域D 中,公式)x (xG ∀的真值为假当且仅当__某个G(x)的真值为假__,公式)x (xG ∃的真值为假,当且仅当__所有G(x)的真值都为假__。

3.给定个体域为整数域,若F (x ):表示x 是偶数,G (x ):表示x 是奇数;那么,)x (G )x ()x (F )x (∃∧∃是一个 永真式 ;而))x (G )x (F )(x (∧∃是一个 永假式 。

4.设{}{}===)R (r ,c ,b ,b ,a R A ,c ,b ,a A 则上的二元关系 {<a,b>,<b,c>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} ;s(R)= {<a,b>,<b,c>,<b,a>,<c,b>} 。

书P89、P85.自反闭包:r(R) = R U R 0={<a,b>,<b,c>} U {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} ={<a,b>,<b,c>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>} 对称闭包:s(R) = R U R -1 = {<a,b>,<b,c>} U {<b,a>,<c,b>} = {<a,b>,<b,c>,<b,a>,<c,b>} 传递闭包:t(R) = RUR 2 UR 3U……5. 设X={1,2,3},Y={a,b},则从X 到Y 的不同的函数共有___8___个.书P96,B上A的概念:设A、B为集合,所有从A到B的函数构成集合BA,读作“B上A”如果|A| = m,|B| = n,m、n不全是0,则|B A| = n m即,若题中给出集合A有m个元素,B有n个元素,可直接用n m计算出A到B的函数个数。

本题中为23 = 86.设,*a,b∈G,则(a-1)-1= a ,(a*b)-1= b-1 * a-1。

,G是群书P139公式7. 设X={1,2,3},f:X→X,g:X→X,f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>},则fοg=__{<1,3>,<2,1>,<3,1>}___,gοf=__{<1,3>,<2,3>,<3,2>}__。

书P82-83合成:FοG = {<x,y>|xGz∧zFy}需要说明的是,这里的合成FοG是左复合,即G先作用,然后将F复合到G上。

之前的答案“有误”,因为采用了右复合。

这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的,但两个定义都是合理的,只要在体系内部采用同样的定义就可以了。

总之,在咱们的离散里牢记左复合。

三、计算题(每题9分,共36分)1.设集合A={1, 2, 3,4,5},A上的关系R={<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}(1)画出R的关系图;(2)问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性书P87表格,根据关系图可直接判断性质……(3)给出R的传递闭包。

R={<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R2 = RοR = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R3 = R2οR = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}……所以,t(R) = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}2. 集合S={a,b,c,d,e}上的二元运算*的运算表如下,求出它的幺元,零元,及逆元。

* a b c d ea b a c c cb a bcd ec c c c c cd e d c b ae d e c d b幺元:b零元:c逆元:a-1 =a,b-1 =b, d-1 =d,e-1 =e书P123定义3.求合式公式A=P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。

A = P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P ∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))= P→(Q∧P)= ┐P∨(Q∧P)= (┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)= (cP∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)= (┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)= m0∨m1∨m3成真赋值为00,01,114.求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数,也不是完全平方数?完全平方数的个数:10002 =1000000,所以有1000个(即1到1000)完全立方数的个数:1003 =1000000,所以有100个(即1到100)既是完全平方数又是完全立方数的重复部分:106 =1000000,所以有10个(即16到106)所以既不是完全立方数,也不是完全平方数的整数有:1000000-(1000+100-10) = 998910四、证明题(每题8分,共24分)1.若公司拒绝增加工资,则罢工不会停止,除非罢工超过三个月且公司经理辞职。

公司拒绝增加工资,罢工又刚刚开始。

罢工是否能停止?(给出相应推理的证明过程)2.给出关系不满足对称性的条件并证明。

∃<a,b>∈R∧<b,a>∉R⇔∃<x,y>∈R∧<y,x>∉R⇔┐∀(<x,y>∈R∧<y,x>∈R)3.如果关系R和S为X上的等价关系,证明:R∩S也是X上的等价关系。

(1)自反设∀x∈X【推<x,x>∈R∩S】∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的自反关系∵x∈X∴<x,x>∈R, <x,x>∈S∴<x,x>∈R∩S∴R∩S在X上是自反的(2)对称设∀<a,b>∈R∩S【推<b,a>∈R∩S】∵<a,b>∈R∩S∴<a,b>∈R,<a,b>∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的对称关系∴<b,a>∈R,<b,a>∈S∴<b,a>∈R∩S∵此时<a,b>∈R∩S∴R∩S在X上是对称的【<a,b>∈R∩S时,必有<b,a>∈R∩S】(3)传递设∀<a,b>∈R∩S,∀<b,c>∈R∩S【推<a,c>∈R∩S】∵<a,b>∈R∩S∴<a,b>∈R,<a,b>∈S∵<b,c>∈R∩S∴<b,c>∈R,<b,c>∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的传递关系∴<a,c>∈R,<a,c>∈S∴<a,c>∈R∩S∵此时<a,b>∈R∩S,<b,c>∈R∩S∴R∩S在X上是传递的【<a,b>∈R∩S,<b,c>∈R∩S时,必有<a,c>∈R∩S】综上所述,R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系书P90等价关系:自反、对称、传递偏序关系:自反、反对称、传递因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系,一般需分为三个性质分别证明,同时,题目条件中若给出等价关系或偏序关系,也可分为三部分选择使用。

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