高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.1平面向量的概念及线性运算练习(含解析)

高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.1平面向量的概念及线性

运算练习（含解析）

【考试要求】

1.了解向量的实际背景；

2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；

3.理解向量的几何表示和基本要素；

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法减去一个向量相当于

加上这个向量的相反

向量

a－b＝a＋(－b)

数乘求实数λ与向量a(1)|λa|＝|λ||a|；λ(μa)＝λμa；

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【微点提醒】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→

＋

A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →

，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.

2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →

).

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(3)向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 【解析】

(2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 【教材衍化】

2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①②

【答案】 A

【解析】 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →

互为相反向量，故③错误.

3.(必修4P92A12改编)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →

等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM →

D.4OM →

【答案】 D

【解析】 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →

. 【真题体验】

4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，则下列等式中成立的是( )

A.c ＝32b －12a

B.c ＝2b －a

C.c ＝2a －b

D.c ＝32a －12b

【答案】 A

【解析】 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －

1

2

a .

5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →

|，则四边形ABCD 的形状是( )

A.等腰梯形

B.矩形

C.正方形

D.菱形

【答案】 A

【解析】 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →

|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯

形.又|AB →|＝|DC →

|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形.

6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.

【答案】 －1

2

【解析】 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b ＝0，所

以⎩

⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0， 解得k ＝12，λ＝－12.

【考点聚焦】

考点一 平面向量的概念

【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b

|b |＝0成立的是( )

A.a ＝2b

B.a ∥b

C.a ＝－1

3

b

D.a ⊥b

(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →

”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；

④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③

B.①②

C.③④

D.②④

【答案】 (1)C (2)A

【解析】 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b

|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此

当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b

|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向

相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直. (2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →

，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →

|， AB →

∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →

.

③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度