2.2.2反证法

2 2 2 2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N ）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
课堂练习：
1、求证： 2 , 3 , 5 不可能成等差数列
证明：假设
2 , 3 , 5 成等差数列,则有
2 3 2 5 , 这显然不成立
①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定面成立；
即分三个步骤：假设—归谬—存真
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论，
（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）
反证法是制造矛盾的专家。
例题选讲
例1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60°
证明：假设三角开有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60° 则有∠A+∠B+∠C ＜180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， 所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个 内角不小于60°
由①②两式得-4<a<-2, 由②③两式得-6<a<-4, 显然这两式互相矛盾, 所以假设不成立, 所以原命题正确.
六.课堂小结
1、基本概念： ①间接证明； ②反证法 2、反证法的证明步骤： ①与已知条件矛盾； ⑴否定结论 ⑵推出矛盾—— ②与假设矛盾。 ③与已有公理、定理、定义矛盾。 ⑶肯定结论， 3、常见适用反证法的命题： （1）直接证明有困难 （2）唯一性命题 （3）否定性命题 （4）至多，至少型命题
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
例题选讲
例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a， ```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根. 则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax 2 = 0 ∴a（x1 - x2） 0 = ∵a ≠ 0 ∴x1 - x 2 0,即x1 = x 2
章节小节： 合情推理 （归纳、类比）
推理 演绎推理 （三段论） 证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想
ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B<

2
用反证法证明“至多”“至少” 存在性问题
【例 3】 ( 12分) 已知 a, c是互不相等的实数, b, 求证: 由 y=ax +2bx+c, y=bx +2cx+a和 y=cx +2ax+b确定的三条抛物 线至少有一条与 x轴有两个不同的交点. 名师导引: 至少有一个的对立面是什么?( (1) 一个都没有) (2) 抛物线与 x轴没有两个不同交点等价于什么?( Δ≤0)
利用反证法如何正确反设呢?( 在遇到含有“至 多”“至少”存在性问题反设时, 可通过罗列的方式把结论的各种情 况进行罗列, 从而能够易于正确反设, 常见的反设有如下表: 原结 论词 反设词 至少有一个 一个也没有 (不存在) 至多有一个 至少有两个 至少有 n个 至多有 n-1个 至多有 n个 至少有 n+1个
与x1 x 2矛盾
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是
不等于
不大于
不小于
不都是
（小于或 （大于或 不是 等于)（≤） 等于）（≥）
正面 词语
否定
至多有 一个
原结论 词 反设词
只有一个 没有或至少有 两个 都是 不都是
对所有 x成立 存在某个 x不 成立 一定是 不一定是 p或 q
对任意 x不 成立 存在某个 x 成立 p且 q ������ 或������ p q
原结论词 反设词 )
������ 且������ p q
变式训练 3 1: 已知方程 x -4ax-4a+3=0, +( x a-1) =0, +2ax-2a=0中至少有一个 x+a x 方程有实根, 求实数 a的取值范围.
2 2 2 2
解: 设三个方程都没有实根, 则有
4a 2 4 4a 3 0, a 12 4a 2 0, ⇒ 2a 2 4 2a 0,
1 3 2 2 a 2, 4a 4a 3 0, 3 1 2 3a 2a 1 0, ⇒ a 1或a , ∴ 2 3 a 2 2a 0, 2 a 0,
2.2直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
一般地，假设原命题不成立（即假设 在原命题的条件下，结论不成立）， 经 过正确的推理，最后得出矛盾。因此说 明假设错误，从而证明了原命题成立， 这种证明方法叫做反证法。
反证法的证明步骤：
②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛 盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛 盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛 盾等等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的 结论成立。
1 1 2 1 a b 2 , 1 1 则有 4 2a b , 2 2 1 9 3a b 1 , 2 2
1 3 2 a b 2, 9 7 于是有 2a b , 2 2 19 3a b 17 , 2 2
2 2 2
证明: 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不 与 x轴有两个不同的交点. 2分 2 由 y=ax +2bx+c, y=bx +2cx+a, 2 y=cx +2ax+b, 得Δ1=( -4ac≤0, 2b) 2 且Δ2=( -4ab≤0, 2c) 且Δ3=( -4bc≤0. 2a) 5分
2 2 2
3 {a| a≤- 或 a≥-1}. 2
<a<-1.
∴当三个方程中至少有一个方程有实根时, a的取值范围是
【例 2】 设 f x) +ax+b, ( =x 求证:f1)、|( | f 3)中至少有一个 |( | f2)、|( |
2
1 不小于 . 2
证明: 假设|( | f 1)<
1 1 1 ,f 2)< |( | ,f 3)< |( | , 2 2 2
同向不等式求和得 4b +4c +4a -4ac-4ab-4bc≤07分 2 2 2 ∴2a +2b +2c -2ab-2bc-2ac≤08分 ∴( a-b)+( b-c)+( a-c)≤09分 ∴a=b=c10分 这与题设 a, c互不相等矛盾, b, 因此假设不成立, 从而命题得证. 12分
2 2 2 2 2 2
至少有பைடு நூலகம்两个
至少有 一个
一个也 没有
任意的
所有的
至多有n 个
任意 两个
某个
某些
至少有n 某两个 ＋1个
例题选讲
例3. 已知直线a，b和平面， 如果a ，b ，且a // b， 求证：a //

a

b
p
例题选讲
例4 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
所以假设不成立，
2 , 3, 5
不可能成等差数列
课堂练习：
2、证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是
锐角。 证明：假设∠B不是锐角，则∠B≧90°， 又因为∠A＞0°，∠C=90°
所以∠A+∠B+∠C ＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立， ∠B一定是锐角。
课堂练习(备选)：