脊波导的几种计算方法

论述脊型光波导的分析方法及其模场分布的计算

摘要：本文主要介绍了如何通过有效折射率法计算脊型光波导的模场分布以及如何通过有限元法来数值求解脊波导的模场分布其次我们介绍了脊波导的工作特性和制作方法，最后我们列举了脊波导在激光器，调制器等信息光电子器件中的应用。

关键词：脊波导有效折射率模场分布有限元法

1引言：脊波导与相同尺寸的矩形波导比较主要优点是:主模H10波的截止波长较长,对于相同的工作波长,波导尺寸可以缩小;H10模和其它高次模截止波长相隔较远,因此单模工作频带较宽,可以达到数个倍频程;等效阻抗较低,因此易与低阻抗的同轴线及微带线匹配。但脊波导承受功率比同尺寸的矩形波导低。脊形波导在集成光学中有广泛的应用,它是薄膜激光器、藕合器、调制器、开关等许多光电器件的基础。由于脊形波导边界复杂,精确地分析其光学特性十分困难,若考虑介质的吸收作用,则难度就更大。其次要能够设计出性能优良的光波导，那么必须首先能够在理论上对光波导进行计算。对于脊型光波导而言由于其结构复杂没有严格的解析解,应采用数值方法或近似法进行分析。光波导分析方法常用的有:转移矩阵法、模耦合理论、有效折射率法、有限元法、时域有限差分法和束传播法等。在本文中采用的计算方法是有效折射率法对脊型光波导进行分析计算，还介绍了一种利用有限元差分算法对脊波导的模式进行数值计算。最后介绍了脊型光波导在信息光电子学中的应用。

2脊型光波导的理论模型分析

2.1脊波导的有效折射率法

脊波导的横截面如图一所示，图中,n1,n2,n3分别为芯区，下包层和上包层的折射率，a为脊宽，h为脊高，b为脊下的芯厚度，则b-h为脊两边的芯厚度，此时光功率主要限制在脊下波导的芯中传播。有效折射率法是把这种波导等效为x方向厚度为a的对称三层平板波导，如图二所示。在脊波导中主要存在两种形式的模，y模，前者以E x和H y为主，同时H x为0，后者以E y和H x为主，同时H y为模和E mn

0。我们以E mn x导模为例来说明这一等效平板波导的折射率分布是如何确定的。

图一：横截面图

图二：对称三层等效平板波导

（1） 首先把脊宽a 在±x 方向上延长为无限大，形成一个在y 方向折射率

分布为n 2,n 1,n 3，芯厚度为b 的非对称三层平板波导。E mn x 电场主要

沿着x 方向偏振，这一偏振放想对于该平板波导而言相当于TE 偏振，

因此该平板波导的有效折射率可以通过下述的非对称三层平板波导

的TE 导模特征方程求出，

k 0(n 12−N 12)1/2b =nπ+arctan （N 12−n 22）1/2(n 12−N 12)1/2+arctan （N 12−n 32）1/2(n 12−N 12)1/2(n =0,1,2,3…)2.1

我们把N1作为x 方向等效平板波导芯层的折射率。

（2） 然后把脊高h 缩为0（相当于把脊去掉），形成一个在y 方向折射率

分布为n 2,n 1,n 3，芯厚度为b-h 的非对称三层平板波导。E mn x 导模的

电场主要沿x 方向偏振，这一偏振方向对于该平板波导而言也相当于

TE 偏振，因此该平板波导的有效折射率可以由下述的非对称平板波

导的TE 导模的特征方程求出，

k 0(n 12−N 12)12（b −ℎ）=nπ+arctan

（N 22−n 22）1/2(n 12−N 22)1/2+arctan （N 22−n 32）1/2(n 12−N 22)1/2(n =0,1,2,3…)2.2

注意方程2.1和2.2中的模的阶数n 取值必须相同我们把N 2作为x 方

向等效平板波导芯层两侧包层的折射率，于是得到了三层平板波导x

方向的折射率分布N2，N1，N2.

（3） E mn x 导模的电场主要沿x 方向偏振，这一偏振方向对于x 方向的等效

平板波导而言相当于TM 偏振，因此该等效平板波导的有效折射率可

以有下述的对称三层平板波导的TM 导模的特征方程求出，

k 0(N 12−N 2)1/2a =mπ+2arctan N 12（N 2−N 22）1/2

N 22(N 12−N 2)1/2(m =

0,1,2,3…)2.3

我们把N 作为原脊型波导E mn x 模的有效折射率。

对于E mn y 导模其电场主要沿y 方向偏振方向，考虑到这一偏振方向，

方程2.1-2.2应换成TM 倒模的特征方程，而方程2.3应换成TE 导模

的特征方程，

k 0(n 12−N 12)1/2b =nπ+arctan n 12（N 12−n 22）1/2n 22(n 12−N 12)1/2+arctan n 12（N 12−n 32）1/2n 32(n 12−N 1

2)1/2(n =0,1,2,3…)2.4 k 0(n 12−N 22)1

2(b −ℎ)=nπ+arctan

n 12（N 22−n 22）1/2n 22(n 12−N 22)1/2+arctan n 12（N 22−n 32）1/2n 32(n 12−N 22)1/2(n =0,1,2,3…)2.5

k 0(N 12−N 2)1/2a =mπ+2arctan （N 2−N 22）1/2(N 12−N 2)1/2(m =

0,1,2,3…)2.6

这样就得到不同模式的等效折射率。

2.2脊波导的有限差分法分析

由于脊波导的结构较为复杂很难得到脊波导的解析解，而数值计算的方法往往能够得到脊波导的精确的模场分布，这里我们采用的方法为有限元法，用有限元法直接计算得到满足波动方程的本征值和本征太，从而来分析脊波导。下面我们以E mn x 作为计算的例子，其满足波动方程：

ð2E x ðx 2+ð2E x ðy 2+(k 02n 2−β2)E x =0 2.7 式2.7中，k 0=

2πλ为真空中的数，λ为真空中的波长，n 为区域折射率。 按照有限差分原理，电磁场分量在网格单元的分布情况为图三所示

图三：二维E mn x 波的有限差分网络 应用二维有限差分法将方程2.7变换成二维有限差分格式。用符号E(i,j)=E(i •Δx,j •Δy)代表场分量E(x,y),其中,Δx 和Δy 分别为x 和y 方向的网格步长大小。i,j 分别为x 和y 网格个数,采用五点差分格式,方程2.7可变为: