逆矩阵的定义及可逆条件

A
1
2
11, A1 ,
B
Fra Baidu bibliotek
1 1
21, B1 ,
C
2
0
2 1
,
C
1
.
练习1答案
A-1
1 1
10，B-1
1 7
1 3
2 1
，C-1
=11141
32.
练习2答案
A1
1 1 3 2
11,
B1
2 1
11,C1
1 2
1 0
22.
？？ ？A
1 3
1 2
1 1 的逆怎样求？
2
0
1
还用公式吗？
逆矩阵 a 0, a1, 使aa1 a1a 1.
矩阵A O, ?矩阵B,使
AB BA E.
例如 1 A 0
0 0
,
假如有B
a c
b d
,
使得
AB BA E.
1
0
0 a 0 c
b d
a 0
b 0
1 0
0 1
0 1
这是不可能的。
并非所有的非零方阵都有矩阵B，使得
A( 1 A) ( 1 A)A E
A
A
A1 1 A A
A可逆 A非奇异 A满秩
例1.
求
A
a
b 的逆。(ad bc 0)
c d
解： A1 1 A
1
d
A
ad bc c
b a
练习1
A
1 1
0 1
，A1
,
B
1
3
2
1
，1 B ,
C=
2 1
43, C 1 .
练习2
AB BA E.
因此有两种情形， 问题 你会研究哪种情形？
定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使 AB=BA=E，
则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。
1 逆阵惟一。A的逆记为： A1
设B,C都是A的逆，则 B=EB =(CA)B =C(AB) =CE=C
2 并非每个方阵都可逆。
要解决的问题：
1.方阵满足什么条件时可逆 ?
2.可逆时，逆阵怎样求？
复习：伴随矩阵 A
A11 A21
A
A12
A22
aij nn
An1 An2
A1n
A2n
Ann
Aij为aij的代 数余子式
伴随矩阵
关于A的公式？
AA A A AE
AA A A AE
要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆? 2.可逆时，逆阵怎样求？
你能推测一个结果出来吗？
AA A A AE
定理:n阶方阵A可逆的充要条件是 A 0.
A1 1 A A
1.方阵满足什么条件时可逆? 条件是？ 2.可逆时，逆阵怎样求？ 公式是？
牢记这个定理
证:
“”由A可逆知AA1 E, 两边取行列式
AA1 A A1 = E 1
A0
A1 A 1
“”由 A 0, AA A A AE
1 a
0 1
0 0 0
0
0
0
A
a2
a
1 0 0
a
n1
an2
an3
a
1
的逆怎样求？