最大流问题

v3 5(5)
6(1) vt
fn cn
10(8)
v4
ij
cij
fij
fij
(vi , v j ) (vi , v j )
min{ij} 0
f
'
fij fij
fij
v( f ') v( f )
(vi , v j ) (vi , v j )
非增广链上的弧
v cij=5
1 fij=3
v2
（v1，v2）是不饱和的 间隙为12=c12-f12=5-3=2
弧关于流的分类
设f { fij} 是网络D=（V，A，C）的一个可行流
3、如果fij=0，该弧是0流弧；
v cij=5
1 fij=0
v2
（v1，v2）是0流弧
4、如果fij>0，该弧是非0弧；
v cij=5
流网络比较适合用来模拟液体流经管道、电流在电路网络中的运动、信息 网络中信息的传递等等类似的过程。
50年代福特（Ford）、富克逊（Fulkerson）建立 的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。
问题的提出
在一个输油管网中，有生产石油的油井、储存石油的油库、转运石油的中间 泵站，同时，还有各种口径不同的输油管。当一个输油管网给定后，单位时间内 最多可把多少石油从油井输送到油库？具体方案如何？
常称为如最果大我流们问把题v3,边v4上的数表示该管道的最
大输油能力，问应该如何安排各管道输油量，才能
使从 v到s 的vt总输油量最大？
9
8
v1
2
vs 5
7
v2
9
v3 5
6 vt
10
v4
网络上流的基本概念
8
网络有向图D=（V，A，C） vs
2(0)
vs 5(4)
6(1) vt
割集的容量为9+9=18
7(5)
v2 K
10(8)
v4
9(9)
考虑KK的不同画法
9(4)
8(8) v1
v3 5(5)
2(0)
vs 5(4)
6(1) vt
由于有限网络的割集只有有7限(5)多个，则截集容量的10集(8)
合 C(V1,V1) 是有限的实数集合，令vC2 0 m9(i9n){C(Vv14,V1)}
•可增广链
非饱和弧
f 是可行流，
f1 c1 f2 c2
非0流弧
8(8) v1 vfs3 05(4)
9(4) 2(0)
7(5)
v2 fn1 0
9(9)
若
0 0
fij fij
cij cij
每一个(vi , v j ) 每一个(vi , v j )
则称为关于可行流f 的从vs到vt的可增广链。
分析：就输油管网络问题，可用顶点表示油井、油 库和中间泵站，用有向边表示输油管，用有向边上 的权表示单位时间沿相应的输油管可以输送石油的 最大数量（容量）。
管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流
量也不一问定等题于的容提量，出上述问题就是要讨论如何充分利用
装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通
8(8) v1
v3 5(5)
2(0)
vs 5(4)
6(1) vt
7(5)
10(8)
v2
v4
9(9)
网络最大流问题
在容量网络中，寻求一个流 fij 使其流量v( f )最大
且满足 0 fij cij
(vt , vj ) A
v( f )
fi j
f ji
0
v( f )
(i s) (i s,t) (i t)
1 fij>0
v2
（v1，v2）是非0弧
链及可增广链
9(4)
8(8) v1
v3 5(5)
•链
2(0)
vs 5(4)
6(1) vt
在最大流问题中，研究的是有向网络图。7但(5是) 在求最大流的方法中，则要使10(8)
用无向网络中的链。
v2
v4
9(9)
D中，若为从vs到vt的一条链，给定向为从vs到vt , 前向弧集：与同向 后向弧集：与反向，
称割V集容量为C0V的割集为D的最割小集 割集。（瓶颈）割集容量
满足下面条件的流：
运输问题中，每个运输方案 就是一个流
(1)容量限制条件
0 fij cij
(2)中间点平衡条件 fki fij
k
j
用v( f )表示网络中从s 中t间的流 点量的输v(入f ) 量 输fsj 出 量f jt
j
j
任何网络必存在可行流，如流量为0的可行流：f {0}
9(4)
V1 中的点为终点
的A中弧的集合记为
(V1 ,V1 )
则称这个弧的集合是分离点vs与点vt的割集（又称截集）。
割集的容量是割集中各弧的容量之和，用
表示。 c(V1,V1)
K 9(4)
V1 {s, v1, v2},V1 {v3, v4, vt} V18(8) v1
v3 5(5)V1
割集 {(v1, v3 ), (v2 , v4 )}
9
v1
5
2
v3 5
6 vt
容量 发点（源） 收点（汇）
7
10
v2
v4
c D的每条弧(vi , v j )上有9 非负数 ij
一个入次为0的点 vs
一个出次为0的点 vt
中间点
其余点
容量网络 D (V , A,C)
流 可行流
对D中任一弧(vi , v j )都给定一个实际流量fij
集合f { fij }
割集的意义：若把某一割集的弧从网络中丢去，则
从vs到v割t便集不和存割路集，的即容割量集是从vs到vt的必经之道！
这里(v ,v ) 不属于此割集 设有3网络D2={V，A，C}，点vs与点vt的是集合V中的任意两点，若点集V被剖
分成两个非空集合
，使
V1和V1( V \ V1 )
vs V1 ,vt V1，记以 V中1的点为始点，
第八章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
第八章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用最大流问题
网络最大流问题
如同我们可以把一个实际的道路地图抽象成一个有向图来计算两点之间 的最短路径，我们也可以将一个有向图看作一个流网络来解决另一类型的问题。
此为一个特殊的线性规划问题，将会看到利用图的特点，解决这个问题的方法 要比单纯形法较为直观方便。
弧关于流的分类
设f { fij} 是网络D=（V，A，C）的一个可行流
1、如果fij=cij，该弧是饱和弧；
v cij=5
1 fij=5
v2
（v1，v2）是饱和的
2、如果0≤fij<cij，该弧是非饱和弧；