简述数学期望的性质及其应用

编号：***********

南阳师范学院2012届毕业生

毕业论文（设计）

题目：简述数学期望的性质及其应用

完成人：xxx

班级：2008-01

学制：4年

专业：数学与应用数学

指导教师：xxx

完成日期：2012-03-31

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

0引言 (1)

1 数学期望的定义 (1)

2 数学期望的性质 (1)

2.1一维随机变量数学期望的性质 (1)

2.2多维随机变量数学期望的性质 (3)

3数学期望的应用 (5)

3.1数学期望在农业中的应用 (5)

3.2数学期望在生活中的应用 (7)

3.3数学期望在经济中的应用 (9)

3.4数学期望在数学中的应用 (11)

参考文献 (12)

Abst ract (12)

简述数学期望的性质及其应用

作者：xxx

指导老师：xxx

摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活.

关键词：随机变量；风险概率；数学期望

0引言

概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人类认识到随即现象的存在是很早的，从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期望在当今乃至未来的重要作用。列举一些生产和生活实际中具有重要指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题.

1数学期望的定义

数学期望是最基本的数学特征之一，它反映随即变量平均取值的

大小，又称期望或均值，随即变量可分为连续型随即变量和离散型随即变量，其定义如下：

广义定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值.

数学定义：设ξ为随机变量，其分布函数为()F x ，若()

x dF x ∞

-∞∞⎰，

则记()()xdF x ξ∞

-∞

E =

⎰

，并称()E ξ为ξ的数学期望.

2数学期望的性质

2.1一维随机变量数学期望的性质

性质[]11：设随机变量ξ有数学期望()E ξ，则η=a ξ+b ，（,a b 均为常数）的数学期望是E (η)=a E （ξ）+b ,特别当a =0时有E （b ）=b ，即常数b 的数学期望就是他自己本身. 例（均匀分布）

设随机变量ξ的密度函数为()1,;

0,a x b b a f x ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩

当其他，试求()E ξ与()D ξ.

解()()221=-2

b x b a E xf x dx dx a b a b a ξ∞-==⋅⎰⎰∞

--

=2

a b +.

()()()2

2D x f x dx E ξξ∞

-∞

=

-⎡⎤⎣⎦⎰

=()

222

b x b a dx a b a +-⎰-

=33222134

b a b a ab b a -++⋅--

=2222234

b ab a b a ab ++++-

=()2222.1212

b a b ab a --+= 故 ()()(),22.12b a E b a D ξξ⎫

+⎪=⎪⎬-⎪

=⎪⎭

性质[]12：设ξ唯一随机变量，()2E ξ<∞，则E （ξ）及D （ξ）存在且()()()2

2.D ξξξ=E -E ⎡⎤⎣⎦

证 由R-S 积分的性质，利用熟知得不等式2

1x x ≤+

有 ()()2

1x dF x x dF x ξ∞

∞

-∞-∞⎡

⎤E =≤+⎣⎦

⎰⎰ ()()()

221.dF x x dF x ξ∞∞

-∞

-∞

=+=+E ∞⎰⎰故E （ξ）存

在.

另一方面：()()()()2

2D x dF x ξξξξ∞

-∞=E -E =-E ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ ()()()()()2

22x dF x xdF x dF x ξξ∞

∞

∞

-∞-∞-∞

=-E +E ⎡⎤⎣⎦

⎰⎰⎰

=()()2

2

.ξξE -E <∞⎡⎤⎣⎦

最后由()0D ξ≥即得.

性质[]13：设随机变量ξ的分布函数为()F x ，方差D （ξ）存在， 则a b ηξ=+的方差()()()2.D D a b a D ηξξ=+=特别当a =0则有D （b ）=0. 证 由性质1得()()()2

D D a b a b a b ηξξξ=+=

E +-E +⎡⎤⎣⎦

()2

a b a b ξξ=E +-E -⎡⎤⎣⎦ (){}

2

a ξξ=E -E ⎡⎤⎣⎦