第三章微积分基本定理3精品PPT课件

lim
x
x 1 x 1
x2
lim
x
2(1
x2 x
)2
1. 2
L
lim
x
1
1
1 x
(
1 x2
)
2 x3
(1
1 x)2
2
3.3.5 1, 0, 00型
1
例5. 求极限 lim (cot x)ln x .
x0
(0型)
1
1
解:
lim (cot x)ln x
x0
lim eln(cot x)ln x
x0
x
x
得出：lim sin n也不存在. n
9
3.4 泰勒公式
3.4.1 泰勒(taylor)公式
对一般的函数f(x), 希望用较简单的函数来近似。
如果f(x)在点x0处连续, 则在点x0的附近有: f(x)f(x0),
如果f(x)在点x0处可导, 则有:
f(x)f(x0)=f (x0)(xx0)+o(xx0), 即, f(x)f(x0)+f (x0)(xx0),
esin a
ecot a .
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3.3.6 洛必达法则在求数列极限中的应用
定理2 给定数列{an}, 若存在定义在[1, +)上的函数
f
(
x
),
使得f
(n)
an
,且
lim
x
f ( x) L,
则 lim
n
an
L.
证明： lim f ( x) L, x
0,X 0,使得x X时,
恒有 :| f ( x) L | ,
B. 型
例3.求极限
1
lim(
x0
sin
2
x
1 x2
).
解:
1
lim(
x0
sin2
x
1 x2
)
lim
x0
x2 sin2 x x2 sin2 x
lim
x0
x
2
sin2 x4
x
L
百度文库
lim
x0
2
x
2sin x 4x3
cos
x
lim
x0
2
2cos 12 x2
2
x
lim
x0
(2 x )2 12 x2
1. 3
an,
又 lim
x
f
(x)
lim
x
ex x2
lim
x
ex 2x
lim e x x 2
,
故,
lim
n
en n2
.
注意 : 定理2中的L为(,)时,结论仍然成立.
8
解: lim sin n lim 0 0.
n
n
注意：若令f ( x) sin x ,
不能由 lim f ( x) lim sin x不存在,
, n!an f (n)( x0 ),
即,
ak
1 k!
f
(k )( x0 ),
(k 0,1,2,n),
代入Pn( x)中得：
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
.
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称为f(x)在点x0处的n阶泰勒多项式。 f(x)与Pn(x)的误差如何？会是(xx0)n的高阶无穷吗？
则 lim u( x)v( x) elim v( x)[u( x)1].
例7. 求极限
lim
(
sin
x
)
1 xa
.
xa sin a
(1 型)
解:
lim(sin
x
)
1 xa
lim(sin x1) 1
e xa sin a xa
xa sin a
1 limsin xsin a
esin a xa xa
1 cos a
特点: 右端是一次多项式(简单), 误差仅是(xx0)的高阶无穷小.
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寻找一个关于(xx0)的n次多项式: Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+… +an(xx0)n, 近似f(x), 希望误差rn(x)=f(x)-Pn(x)较易估计.
11
Pn( x)和rn( x)的确定
分析:
14
称
f (x)
f ( x0 )
f
( x0 1!
)
(
x
x0
)
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f (n)( x0 ) ( x n!
1
例4. 求极限 lim[ x x2 ln(1 1 )].
x
x
解: lim[ x x2 ln(1 1 )] lim x[1 x ln(1 1 )]
x
x
x
x
1 x ln(1 1 )
lim
x
x 1
x
L
lim
x
ln(1
1) x
x[ 1
1 x2
1
1 x
(
1 x2
)]
ln(1 1 ) 1
近似程度越来越好
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 ) o
x0
y f (x)
x
12
Pn(k)( x0 ) f (k)( x0 ), k 0,1,2,, n,
得 : a0 f ( x0 ), 1 a1 f ( x0 ), 2!a2 f ( x0 ),
x0
x0
x0 csc x
1
L
lim
x
x0 csc x cot x
( 型)
又 lim ln y ln lim y, 故有 : ln lim y 0,
x0
x0
x0
即 : lim y e0 1,
x0
即 lim xsin x 1.
x0
4
设 lim u( x) 1, 且u( x) 1, lim v( x) ,
取N [ X ],则当n N时,
有 :| f (n) L | 成立, 即, | an L | 成立.
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例2. 讨论下列数列的敛散性, 并求收敛数列的极限.
(1){n n};
(2){
en n2
};
(3){sin n }.
解: (1) 令，f ( x) x x，则 f (n) n n an,
定理8 (泰勒公式) 设函数f(x)在点x0处有n阶导数,
则在N(x0)内有:
f (x)
f ( x0 )
f
( x0 1!
)
(
x
x0
)
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
o[( x
x0 )n ].
即, f ( x) Pn( x) o[( x x0 )n ].
又 lim
f (x)
lim
xx
lim
1
lim 1 ln x
x x e x x
x
x
x
e0 1,
故, lim n n 1.
n
注意, lim n a 1 也是成立的. n
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例2. 讨论下列数列的敛散性, 并求收敛数列的极限.
(2){
en n2
}.
解:
(2)
令f
(
x)
ex x2
,
则f
(n)
en n2
lim 1 ln(cot x )
e x0 ln x
( 型)
e . lim ( 1 x ) e x0 cos x sin x
1
3
例6.求极限
lim xsin x .
x0
(00型)
解: 设 y xsin x , 则 ln y sin x ln x,
ln x
lim ln y lim sin x ln x lim