离散系统的频域分析与零极点分布——数字信号处理
数字信号处理 实验3 离散系统的频域分析
MATLAB 为求解离散系统的频率响应和连续系统的频率响应，分别提供了 freqz 和 freq（s 求
连续系统的频率响应函数）两个函数，使用方法类似。本实验主要讨论离散系统的频率响应。
例 3-1 已知离散时间系统的系统函数为
H(z)
=
0.1321− 0.3963 z−2 + 0.3963 z−4 − 0.1321z−6 1+ 0.34319 z−2 + 0.60439 z−4 + 0.20407 z−6
求该系统在 0～π频率范围内的绝对幅频响应、相对幅度响应、相位响率响应及群迟延。
解 MATLAB 程序如下：
b＝[0.1321，0，0.3963，0，0.3963，0，0.1321]；
a＝[1，0，－0.34319，0，0.60439，0，－0.20407]；
数字信号处理实验4
实验4 离散时间系统的频域分析一、实验目的（1）了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系； （2）加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解； （3）熟悉MATLAB 中进行离散系统零极点分析的常用子函数； （4）掌握离散系统幅频响应和相频响应的求解方法。
二、知识点提示本章节的主要知识点是频率响应的概念、系统零极点对系统特性的影响；重点是频率响应的求解方法；难点是MATLAB 相关子函数的使用。
三、实验原理1．离散时间系统的零极点及零极点分布图设离散时间系统系统函数为NMzN a z a a z M b z b b z A z B z H ----++++++++==)1()2()1()1()2()1()()()(11 (4-1) MATLAB 提供了专门用于绘制离散时间系统零极点图的zplane 函数： ①zplane 函数 格式一：zplane(z, p)功能：绘制出列向量z 中的零点(以符号"○" 表示)和列向量p 中的极点(以符号"×"表示)，同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。
如果z 和p 为矩阵，则zplane 以不同的颜色分别绘出z 和p 各列中的零点和极点。
格式二：zplane(B, A)功能：绘制出系统函数H(z)的零极点图。
其中B 和A 为系统函数)(z H (4-1)式的分子和分母多项式系数向量。
zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，函数首先调用root 函数以求出它们的零极点。
②roots 函数。
用于求多项式的根，调用格式：roots(C)，其中C 为多项式的系数向量，降幂排列。
2．离散系统的频率特性MATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的freqz 函数，调用格式如下： ①H = freqz(B,A,W)功能：计算由向量W (rad )指定的数字频率点上(通常指[0,π]范围的频率)离散系统)(z H 的频率响应)e (j ωH ，结果存于H 向量中。
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
数字信号处理第二章--离散时间信号与系统的频域分析ppt课件
而
.
2
X(ej)ejmd x(n)2(nm)
n
2x(m)
x(n)1 X(ej)ejnd
2
序列傅 里叶变
换对
X(ej) x(n)ejn n
x(n)21 X(ej)ejnd
.
正变换
反变换
3
例:试求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
解：
N 1
X(ej) RN(n)ejn e j n
1X(ej w )1x*(n)ejn
2
2n
1X(ejw )1
x*(n)ejn
2
2n
1X(ej w )1[
x(n)ejn]
2
2n
1X(ejw)1X*(ejw)
2
2
XR(ejw)
.
14
C)实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω),共轭反对称
部分为零。 即:H(ejω)=He(ejω)=H*(e-jω)
n
M为整数
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
由于FT的周期性，一般只分析-π~+π或0~2π之间的FT
2. 线性
设 X 1(ej)F T[x1(n)],X2(ej)F T[x2(n)], 那么 F T[ax1(n)bx2(n)]aX 1(ej)bX2(ej)
.
6
3. 时移与频移 设X(e jω)=FT［x(n)］， 那么
则 Y(ej) 1 X(ej)H(ej)
2
1 X(ej)H[ej()]d
2
证明:
Y(ej)F[Ty(n)] x(n)h(n)ejn
n
x(n)[1H (ej)ejnd]ejn
离散系统的零极点分析
3.分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
根据Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
六个图都没有零点，图1，2，4的极点都在单位圆内，所以系统1，2，4是稳定的，图3，5，6的极点
都在单位圆外，所以系统3,5,6是不稳定的。
My1.m
a=[1 -1];
b=[1];
impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（2）
My2.m
a=[1 -0.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（3）
My3.m
a=[1 -1.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-5,50,0,800000]);
时域条件：离散系统稳定的充要条件为 ，即系统单位响应绝对求和。
Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
2、零极点分布与系统单位响应时域特性的关系
离散系统单位响应h(n)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定。H（z）的每一个极点将决定h(k)的一项时间序列。显然，H（z）的极点位置不同，则h(n)的时域特性也完全不同。
a=[1 –1];
b=[1];impz(b,来自)axis([-5,10,0,1.2])
3分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
五，实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
1.写出上面6图对应系统的系统函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.编辑各系统函数的相应的.m文件，输出冲激响应波形；
数字信号处理实验2
数字信号处理实验2 ——离散系统频率响应和零极点分布姓名：李倩学号：班级：通信四班指导教师：周争一．实验原理离散时间系统的常系数线性差分方程：求一个系统的频率响应:H(e^jw)是以2pi为周期的连续周期复函数，将其表示成模和相位的形式：H(e^jw)=|H(e^jw)|*e^(jarg[H(e^jw)])其中|H(e^jw)|叫做振幅响应（幅度响应），频率响应的相位arg[H(e^jw)]叫做系统的相位响应。
将常系数线性差分方程的等式两边求FT,可以得到系统的频率响应与输入输出的频域关系式：H(e^jw)=Y(e^jw)/X(e^jw)将上式中的e^jw用z代替，即可得系统的系统函数：H(z)=Y(z)/X(z)H(z)=∑h(n)*z^(-n)（n的取值从负无穷到正无穷）将上式的分子、分母分别作因式分解，可得到LTI系统的零极点增益表达式为：H(z)=g∏(1-zr*z^(-1))/∏(1-pk*z^(-1))其中g为系统的增益因子，pk(k=1,2,3,…,N)为系统的极点，zr(r=1,2,3,…,M)为系统的零点。
通过系统的零极点增益表达式，可以判断一个系统的稳定性，对于一个因果的离散时间系统，若所有的极点都在单位圆内，则系统是稳定的。
二．实验内容一个LTI离散时间系统的输入输出差分方程为y(n)-1.6y(n-1)+1.28y(n-2)=0.5x(n)+0.1x(n-1)(1)编程求此系统的单位冲激响应序列，并画出其波形。
(2)若输入序列x(n)=＆(n)+2＆(n-1)+3＆(n-2)+4＆(n-3)+5＆(n-4),编程求此系统输出序列y(n)，并画出其波形。
(3)编程得到系统频响的幅度响应和相位响应并画图。
(4)编程得到系统的零极点分布图，分析系统的因果性和稳定性。
三．程序与运行结果(1)编程求此系统的单位冲激响应序列，并画出其波形。
程序：clear;N=100;b=[0.5 0.1];a=[1 -1.6 1.28];h1=impz(b,a,N); %计算系统的冲激响应序列的前N个取样点x1=[1 zeros(1,N-1)]; %生成单位冲激序列h2=filter(b,a,x1); %计算系统在输入单位冲激序列时的输出subplot(2,1,1);stem(h1);xlabel('时间序号n');ylabel('单位冲激响应序列值');title('单位冲激响应序列h1(n)');subplot(2,1,2);stem(h2);xlabel('时间序号n');ylabel('单位冲激响应序列值');title('单位冲激响应序列h2(n)');运行结果：0102030405060708090100-10125时间序号n单位冲激响应序列值单位冲激响应序列h1(n)0102030405060708090100-10125时间序号n单位冲激响应序列值单位冲激响应序列h2(n)结果说明：可以用impz 函数直接求出系统的单位冲激响应序列，也可输入单位冲激序列，用filter 函数求出系统的单位冲激响应序列，两者求得的结果相同。
西安交通大学数字信号处理实验报告
数字信号处理实验报告班级：硕姓名：学号：实验1 常见离散信号的MATLAB 产生和图形显示实验目的：加深对常用离散信号的理解；实验内容：（1）单位抽样序列clc;x=zeros(1,11); x(1)=1; n=0:1:10;stem(n,x, 'fill'); title('单位抽样序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]')延迟5个单位：clc;x=zeros(1,11); x(6)=1; n=0:1:10;stem(n,x, 'fill'); title('单位抽样序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]')nx [n ]（2）单位阶跃序列clc;x=[zeros(1,5),ones(1,6)]; n=-5:1:5;stem(n,x,'fill'); title('单位阶跃序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]');nx [n ]（3）正弦序列clc; N=50; n=0:1:N-1; A=1; f=1; Fs=50; fai=pi;x=A*sin(2*pi*f*n/Fs+fai); stem(n,x,'fill'); title('正弦序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); axis([0 50 -1 1]);nx [n ]（4）复正弦序列clc; N=50; n=0:1:N-1; w=2*pi/50; x=exp(j*w*n); subplot(2,1,1); stem(n,real(x)); title('复正弦序列实部'); xlabel('n');ylabel('real(x[n])'); axis([0 50 -1 1]); subplot(2,1,2); stem(n,imag(x)); title('复正弦序列虚部'); xlabel('n');ylabel('imag(x[n])'); axis([0 50 -1 1]);nx [n ]（5）指数序列clc; N=10; n=0:1:N-1; a=0.5; x=a.^n;stem(n,x,'fill'); title('指数序列'); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); axis([0 10 0 1]);nr e a l (x [n ])ni m a g (x [n ])（6）复指数序列性质讨论：0(j )()enx n σω+=将复指数表示成实部与虚部为00()e cos j sin n n x n n e n σσωω=+1.当σ=0时，它的实部和虚部都是正弦序列。
数字信号处理实验报告——离散系统的频率响应分析和零极点分布
实验3 离散系统的频率响应分析和零、极点分布实验目的：加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
实验原理：离散系统的时域方程为离散系统的时域方程为åå==-=-M k k N k k k n x p k n y d00)()(其变换域分析方法如下：其变换域分析方法如下：频域频域 )()()(][][][][][w w w j j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y =Û-=*=å¥-¥= 系统的频率响应为系统的频率响应为 w w ww w w w jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H ----++++++==......)()()(1010 Z 域 )()()(][][][][][z H z X z Y m n h m x n h n x n y m =Û-=*=å¥-¥=系统的转移函数为系统的转移函数为N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H ----++++++==......)()()(110110 分解因式分解因式Õ-Õ-=åå==-=-=-=-N i i M i i N i i k M i i k z z K z d zp z H 111100)1()1()(l x ，其中i x 和i l 称为零、极点。
点。
在MATLAB 中，可以用函数中，可以用函数[z [z [z，，p ，K]=tf2zp K]=tf2zp（（num num，，den den）求得有理分式形式的）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane zplane（（z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane zplane（（num num，，den den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。
离散系统的频域分析与零极点分布Ⅱ
课程设计报告课程名称数字信号处理课程设计系别：工程技术系专业班级：电子信息工程1001学号： ***********名：***课程题目：离散系统的频域分析与零极点分布Ⅱ完成日期： 2013年5月23日指导老师：***2013 年 5 月 23日离散系统的频域分析与零极点分布Ⅱ摘要本课题主要是根据系统函数求出系统的零极点分布图并且求解系统的单位脉冲响应,利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图,根据零极点在单位圆的分布,判断因果系统的稳定性.再比较不同零极点对系统频率响应特性的影响。
从课题研究和设计过程当中对系统稳定性的判断有了清楚的认识,既极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。
同时也对系统函数零极点分布对系统频率响应特性的影响有了深入的了解。
既极点位置主要影响频率响应的峰值及尖锐程度,零点位置主要影响频率响应的谷点位置及形状。
本次课题也对系统的幅频特性曲线和相频特性曲线进行了绘制,并求出了系统的单位脉冲响应以及绘制出了波形图。
关键字：离散系统，频域分析，零极点分布目录一、绪论 (1)二、方案 (1)实验原理 (1)三、过程论述及结果分析 (2)1.分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性 (2)2.分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线 (4)3.分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形 (5)四、结论 (7)致谢 (8)参考文献 (8)一、绪论编制Matlab 程序，完成以下功能，根据系统函数求出系统的零极点分布图，并求解系统的单位脉冲响应；根据零极点分布图判断系统的稳定性；比较不同零极点发布对系统频率响应特性的影响；绘制相关信号的波形。
具体要求如下：下面四种二阶网络的系统函数具有相同的极点发布：21432550()2 2.980.17 2.3418 1.5147z z H z z z z z +-=-++-2432(9)(3)()3 3.98 1.17 2.3418 1.5147z z H z z z z z +-=-++-（1）分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性； （2）分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线； （3）分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形。
数字信号处理实验之离散系统的频率响应分析和零、极点分布
《数字信号处理A 》实验报告实验三 实验名称：离散系统的频率响应分析和零、极点分布专业及班级：电子131 姓名：XXX 学号：XXXXXX一、实验目的加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
二、实验步骤（附源代码及仿真结果图）求如下系统的零、极点和幅度频率响应和相位响应。
54321543212336.09537.08801.14947.28107.110528.0797.01295.01295.00797.00528.0)(-----------+-+-+++++=z z z z z z z z z z z H 零点与极点：num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528]; den=[1 -1.8107 2.4047 -1.8801 0.9537 -0.2336];[z,p,k]=tf2zp(num,den);% 求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点 disp('零点');disp(z); %显示矩阵 disp('极点');disp(p); disp('增益系数');disp(k);sos=zp2sos(z,p,k);% 将高阶系统分解为2阶系统的串联 disp('二阶节');disp(real(sos));zplane(num,den)% 直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图零点：-1.5870 + 1.4470i -1.5870 - 1.4470i0.8657 + 1.5779i 0.8657 - 1.5779i -0.0669 极点：0.1984 + 0.9076i 0.1984 - 0.9076i 0.4431 + 0.5626i 0.4431 - 0.5626i 0.5277 增益系数： 0.0528 二阶节：0.0528 0.0035 0 1.0000 -0.5277 0 1.0000 3.1740 4.6125 1.0000 -0.8862 0.51291.0000 -1.7315 3.2392 1.0000 -0.3968 0.8631 极点图如下图所示：-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.50.511.5Real PartI m a g i n a r y P a r t幅度频率响应和相位响应：k=255;num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528];den=[1 -1.8107 2.4047 -1.8801 0.9537 -0.2336];w=0:pi/k:pi;h=freqz(num,den,w);% 系统的频率响应，w是频率的计算点subplot(2,2,1);plot(w/pi,real(h));gridtitle('实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度')subplot(2,2,2);plot(w/pi,imag(h));gridtitle('虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude')subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(h));gridtitle('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值')subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));gridtitle('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')0.51-50510实部ω/π幅度0.51-10-505虚部ω/πA m p l i t u d e0.5102468幅度谱ω/π幅值0.51-4-2024相位谱ω/π弧度三、总结与体会通过这次实验，加深了使我对MATLAB 软件的熟练程度，并且加深了对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解，对课本上知识的回顾让我更加的理解并且掌握，对于幅度频率谱和相位谱的有了更深的理解，只要把实验的例题弄懂那么实验其实也不是很难，就跟公式一样，万变不离其宗，变化的是参数，这次实验真的体会到了很多东西。
数字信号处理_课件__第2章_时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n) ，即
x(n) = xe(n) + xo(n)
(2.2.25)
将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：
xe (n)
1 [x(n) 2
x(n)]
xo (n)
1 [x(n) 2
在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立
X (e j )
x(n)e j(2 M )n , M为整数 (2.2.6)
n
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期
是2π。 这样X(ejω)可以展成傅里叶级数， 其实(2.2.1)式
已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。
式中a, b为常数
3. 时移与频移 设X(e jω)=FT［x(n)］， 那么
FT[x(n n0 )] e jn0 X (e j ) FT [e j0n x(n)] X (e j(0 )
(2.2.8) (2.2.9)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
4. FT的对称性
在学习FT的对称性以前， 先介绍什么是共轭对称 与共轭反对称以及它们的性质。 设序列xe(n)满足下式：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
傅立叶变换的四种形式
a.连续时间，连续频率 —— 模拟傅立叶变换 一般连续非周期信号的傅立叶变换
b.连续时间，离散频率 —— 傅立叶级数 周期性连续时间函数
c.离散时间，连续频率 —— 序列的傅立叶变换 离散时间信号的傅立叶变换
d.离散时间，离散频率 —— 离散傅立叶变换（DFT） 有限长序列和周期序列
离散系统的频率响应分析和零极点分布
离散系统的频率响应分析和零极点分布离散系统的幅频响应描述了系统对不同频率信号的放大或压缩能力。
幅频响应一般用幅度响应曲线表示，即以输入信号频率为横轴，以输出信号幅度为纵轴绘制的曲线。
幅频响应曲线可以展示离散系统的增益特性，即在不同频率下系统对信号的放大或压缩程度。
幅频响应曲线上的波动和变化可以反映系统对不同频率信号的响应情况。
离散系统的相频响应描述了系统对不同频率信号的相位差。
相频响应也是以输入信号频率为横轴，以输出信号相位为纵轴绘制的曲线。
相频响应可以展示离散系统对不同频率信号的相位延迟或提前情况，即输入信号和输出信号之间的相位差。
相频响应的变化可以反映系统对不同频率信号相位的变化情况。
在频率响应分析中，零极点分布也是非常重要的。
零点是指离散系统传递函数的分子多项式为零的根，极点是指传递函数的分母多项式为零的根。
零极点的分布对离散系统的频率响应和系统特性有着重要的影响。
具体来说，零点会在幅频响应曲线上产生波动或峰值，影响系统的放大或压缩程度。
零点的频率越高，波动或峰值的位置越靠近高频，反之亦然。
而极点会导致幅频响应曲线的趋势变化，影响系统的稳定性和阻尼特性。
极点越接近单位圆，系统越不稳定；极点越远离单位圆，系统越稳定。
相频响应同样受到零点和极点的影响。
零点的频率越高，在相频响应曲线上引起的相位变化越明显。
而极点的频率越接近单位圆，相频响应曲线呈现明显的相位延迟。
极点越远离单位圆，相频响应曲线呈现相位提前的情况。
因此，频率响应分析和零极点分布是研究离散系统特性的重要方法。
通过频率响应分析和零极点分布，我们可以了解离散系统对不同频率输入信号的响应情况、系统的稳定性特点以及系统的放大和压缩能力。
这对于离散系统的设计、控制和优化都有着重要的指导意义。
实验Z变换离散系统零极点分布和频率分析
实验三 Z 变换、离散系统零极点分布和频率分析一、 实验目的● 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ● 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ● 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。
三、 实验原理及实例分析（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例3-1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。
解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例3-2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z azz F -=的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n（二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H =（3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
数字信号处理2-离散时间信号与系统的Z域分析和频域分析
n
x(n ) z n M
1 有限长序列
x (n ) n1 n n2 x(n) 其它n 0
湛江师范学院
其Z变换：X ( z ) x( n ) z n
n n1
n2
Roc至少为： 0 z
j Im[ z ] Re[ z ]
0
湛江师范学院
n1 0 n2
X ( z ) x ( n1 ) z n1 x ( n1 1) z ( n1 1) x ( 1) z1 x (0) z 0 x (1) z 1 x ( n2 1) z ( n2 1) x ( n2 ) z n2
x ( n ) n n1 x(n ) n n1 0
其Z变换：X ( z )
前式Roc: 0 z
n n1
x ( n ) z n x (n ) z n
n 0
1
后式Roc: Rx z
当n1 0时，Roc : Rx z 当n1 0时，Roc : Rx z
1 ai z Y ( z ) y (l ) z l 0 i l i N i
1 m 0b j z X ( z) m jx(m) z j M j
j 1 m j 0b j z X ( z) 0 b j z m jx(m) z j j Y ( z) N N i ai z a i z i
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j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
n1 0
0
包括z 处
湛江师范学院
因果序列
离散系统的频域分析与零极点分布Ⅱ
离散系统的频域分析与零极点分布Ⅱ离散系统的频域分析是对离散系统在频域上的特性进行分析和研究。
频域分析的基本思想是将离散系统的输入输出关系表示为频率响应函数的形式，通过频率响应函数来描述离散系统的特性。
而离散系统的零极点分布则是分析离散系统的传递函数的零点和极点在复平面上的分布情况，对于离散系统的稳定性和频率响应特性有着重要的影响。
首先，我们来讨论离散系统的频域分析。
离散系统的频率响应函数是指在复频率域上，将输入信号的频谱与输出信号的频谱之比来描述系统的特性。
离散系统的频率响应函数可以通过系统的传输函数来求得。
传输函数是指系统输出信号与输入信号的拉普拉斯变换之比。
对于离散系统，传输函数可以通过系统的差分方程求解。
然后，使用z变换将差分方程转化为传输函数的形式。
通过传输函数，我们可以得到离散系统的频率响应函数，从而分析系统在不同频率下的特性。
离散系统的频率响应函数通常使用幅频响应和相频响应来描述。
幅频响应表示系统在不同频率下的输出信号的幅度与输入信号的幅度之比，相频响应表示系统在不同频率下的输出信号与输入信号的相位差。
通过幅频响应和相频响应，可以分析系统在不同频率下的输出信号的放大倍数和相位延迟情况。
接下来，我们来介绍离散系统的零极点分布。
离散系统的零点是指系统传递函数的分子多项式所对应的根，零点表示系统在一些频率下对输入信号的抑制或增强。
离散系统的极点是指系统传递函数的分母多项式所对应的根，极点表示系统在一些频率下的共振或抑制。
离散系统的零点和极点在复平面上的分布情况对于系统的稳定性和频率响应特性有着直接的影响。
离散系统的零极点分布的分析方法通常可以使用极坐标图或者单位圆图来表示。
极坐标图将离散系统的零点和极点用复数的模和幅角表示，通过观察零点和极点的分布情况，可以初步判断系统的稳定性和频率响应特性。
更进一步地，可以使用单位圆图来表示离散系统的零点和极点在单位圆上的分布情况。
单位圆图可以直观地显示系统的极点与零点对于频率响应的影响，通过观察单位圆图可以得到离散系统的稳定性和频率响应特性的更详细的信息。
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第2章 时域离散信号和系统的频域分析 学习要点及习题答案
·22· 第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 引 言数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换、Z 变换和离散傅里叶变换，利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系，但又不同。
表征一个信号和系统的频域特性用傅里叶变换；Z 变换是傅里叶变换的一种扩展，在Z 域对系统进行分析与设计更加既灵活方便。
单位圆上的Z 变换就是傅里叶变换，因此用Z 变换分析频域特性也很方便。
离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。
离散傅里叶变换具有快速算法FFT ，使离散傅里叶变换在应用中更加重要。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z 变换，其优点是将信号的时域和频域都进行了离散化，便于计算机处理。
但实际使用中，一定要注意它的特点，例如对模拟信号进行频域分析，只能是近似的，如果使用不当，会引起较大的误差。
因此掌握好这三种变换是学习好数字信号处理的关键。
本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT 在下一章中讲述。
2.2 本章学习要点(1) 求序列的傅里叶变换—序列频率特性。
(2) 求周期序列的傅里叶级数和傅里叶变换—周期序列频率特性。
(3) 0()，()，()，1，cos()n N n a u n R n n δω，0sin()n ω和0j e n ω的傅里叶变换，02/ωπ为有理数。
(4) 傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
(5) 求序列的Z 变换及其收敛域。
(6) 序列Z 变换收敛域与序列特性之间的关系。
(7) 求逆Z 变换：部分分式法和围线积分法。
(8) Z 变换的定理和性质：移位、反转、Z 域微分、共轭序列的Z 变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。
精品课件-数字信号处理(第四版)-第2章 时域离散信号和系统的频域分析-3
【例2.6.3】 设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)
解
由系统差分方程得到系统函H数(为z)
1 1 bz1
z
z b
| z || b |
式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针 旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在 ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布 及幅度特性如图所示。
如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波 器。
20
【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。
H(z) 1 zN z N 1 zN
H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响 应。零点有N个，由分子多项式的根决定
z N 1 0 即 z N e j2πk
小结 单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明
显的影响，零点可在单位圆外。 在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的
位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。 利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就
能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是 一种非常有用的分析系统的方法。
根据其形状，称之为梳状滤波器。
例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性
22
2.6.4 几种特殊系统的系统函数及其特点 全通滤波器 梳状滤波器 最小相位系统
23
1 全通系统（全通网络，全通滤波器）
定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.
| H (ej ) | 1 0 2π
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离散系统的频域分析与零极点分布——数字信号处理课程设计报告课程名称数字信号课程设计系别：XXXXXXXX专业班级：XXXXXXXXXXXXXXX学号：XXXXXXXXXX姓名：XXXXX课程题目：离散系统的频域分析与零极点分布完成日期：2012年6月29日指导老师：XXXXX 2012 年6 月29 日离散系统的频域分析与零极点分布摘要本课题主要是根据系统函数求出系统的零极点分布图并且求解系统的单位脉冲响应,利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图,根据零极点在单位圆的分布,判断因果系统的稳定性.再比较不同零极点对系统频率响应特性的影响。
从课题研究和设计过程当中对系统稳定性的判断有了清楚的认识,既极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。
同时也对系统函数零极点分布对系统频率响应特性的影响有了深入的了解。
既极点位置主要影响频率响应的峰值及尖锐程度,零点位置主要影响频率响应的谷点位置及形状。
本次课题也对系统的幅频特性曲线和相频特性曲线进行了绘制,并求出了系统的单位脉冲响应以及绘制出了波形图。
关键字：离散系统，频域分析，零极点分布目录一、绪论 (1)二、方案 (1)实验原理 (1)三、过程论述及结果分析 (2)1.分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性 (2)2.分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线 (5)3.分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形 (9)四、结论 (12)致谢 (13)参考文献 (13)一、绪论编制Matlab 程序，完成以下功能，根据系统函数求出系统的零极点分布图，并求解系统的单位脉冲响应；根据零极点分布图判断系统的稳定性；比较不同零极点发布对系统频率响应特性的影响；绘制相关信号的波形。
具体要求如下：下面四种二阶网络的系统函数具有相同的极点发布：1121()1 1.60.9425H z z z --=-+ 121210.3()1 1.60.9425z H z z z ----=-+ 131210.8()1 1.60.9425z H z z z ----=-+ 124121 1.60.8()1 1.60.9425z z H z z z -----+=-+（1）分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性； （2）分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线； （3）分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形。
二、方案实验原理离散系统的时域方程为∑∑==-=-Mk kNk kk n x pk n y d)()(其变换域分析方法如下：频域)()()(][][][][][ΩΩ=Ω⇔-=*=∑∞-∞=H X Y m n h m x n h n x n y m系统的频率响应为Ω-Ω-Ω-Ω-++++++=ΩΩ=ΩjN N j jM M j e d e d d e p e p p D p H ......)()()(1010Z 域)()()(][][][][][z H z X z Y m n h m x n h n x n y m =⇔-=*=∑∞-∞=系统的转移函数为 NN MM z d z d d z p z p p z D z p z H ----++++++==......)()()(110110分解因式∏-∏-=∑∑==-=-=-=-Ni i Mi i Ni ik Mi ik z z Kzd z p z H 1111)1()1()(λξ ，其中i ξ和i λ称为零、极点。
在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。
使h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应，w 是频率的计算点，如w=0:pi/255:pi, h 是复数，abs(h)为幅度响应，angle(h)为相位响应。
另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
三、过程论述及结果分析1.分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性1121()1 1.60.9425H z z z --=-+用zplane 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为：B=[1]；A=[1，-1.6，0.9425]； Zplane(B,A),grid on legend(’零点’，‘极点’) title(’零极点分布图’) 零极点分布图为：由上图可知，极点都在圆内，所以该系统稳定。
121210.3()1 1.60.9425z H z z z ----=-+用zplane 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为： B=[1,-0.3]；A=[1，-1.6，0.9425]； Zplane(B,A),grid on legend(’零点’，‘极点’) title(’零极点分布图’) 零极点分布图为：由上图可知，极点都在圆内，所以该系统稳定。
131210.8()1 1.60.9425z H z z z ----=-+用zplane 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为： B=[1,-0.8]；A=[1，-1.6，0.9425]； Zplane(B,A),grid on legend(’零点’，‘极点’) title(’零极点分布图’) 零极点分布图为：由上图可知，极点都在圆内，所以该系统稳定。
124121 1.60.8()1 1.60.9425z z H z z z -----+=-+用zplane 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为： B=[1,-1.6，0.8]； A=[1，-1.6，0.9425]； Zplane(B,A),grid on legend(’零点’，‘极点’) title(’零极点分布图’)零极点分布图为：由上图可知，极点都在圆内，所以该系统稳定。
2.分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线1121()1 1.60.9425H z z z --=-+MATLAB 源程序为： b=[1];a=[1 -1.6 0.9425];[HW]=freqz(b,a,400,’whole ’); Hm=abs(H); Hp=angle(H); subplot=(211) plot(w,Hm),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’Magnitude ’) title(’离散系统幅频特性曲线’) subplot(212) plot(w,Hp),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’phase ’) title(’离散系统相频特性曲线’) 波形图：121210.3()1 1.60.9425z H z z z ----=-+MATLAB 源程序为： b=[1 -0.3]; a=[1 -1.6 0.9425];[HW]=freqz(b,a,400,’whole ’); Hm=abs(H); Hp=angle(H); subplot=(211) plot(w,Hm),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’Magnitude ’) title(’离散系统幅频特性曲线’) subplot(212) plot(w,Hp),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’phase ’) title(’离散系统相频特性曲线’) 波形图为：131210.8()1 1.60.9425z H z z z ----=-+MATLAB 源程序为： b=[1 -0.8]; a=[1 -1.6 0.9425];[HW]=freqz(b,a,400,’whole ’); Hm=abs(H); Hp=angle(H); subplot=(211) plot(w,Hm),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’Magnitude ’) title(’离散系统幅频特性曲线’) subplot(212) plot(w,Hp),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’phase ’) title(’离散系统相频特性曲线’) 波形图为：124121 1.60.8()1 1.60.9425z z H z z z -----+=-+MATLAB 源程序为： b=[1 -1.6 0.8]; a=[1 -1.6 0.9425];[HW]=freqz(b,a,400,’whole ’); Hm=abs(H); Hp=angle(H); subplot=(211) plot(w,Hm),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’Magnitude ’) title(’离散系统幅频特性曲线’) subplot(212) plot(w,Hp),grid onxlabel(’\omega(rad/s)’),ylabel(’phase ’) title(’离散系统相频特性曲线’) 波形图为：3.分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形1121()1 1.60.9425H z z z --=-+MATLAB 源程序为： a=[1 -1.6 0.9425]; b=[1]; n=0:30;impz(b,a,30),grid on title(’系统单位取样响应’) 波形图为：121210.3()1 1.60.9425z H z z z ----=-+MATLAB 源程序为： a=[1 -1.6 0.9425]; b=[1 -0.3]; n=0:30;impz(b,a,30),grid on title(’系统单位取样响应’) 波形图为：131210.8()1 1.60.9425z H z z z ----=-+MATLAB 源程序为： a=[1 -1.6 0.9425]; b=[1 -0.8]; n=0:30;impz(b,a,30),grid on title(’系统单位取样响应’) 波形图为：124121 1.60.8()1 1.60.9425z z H z z z -----+=-+MATLAB 源程序为： a=[1 -1.6 0.9425]; b=[1 -1.6 0.8]; n=0:30;impz(b,a,30),grid on title(’系统单位取样响应’) 波形图为：四、结论根据系统函数的极点在图上的分布来判断系统的稳定性,如果极点在单位圆内，那该系统为稳定系统,如果极点在单位圆外，那该系统为非稳定系统。