量子力学第四章

ˆ 证明：设 Hψ k = Ekψ k , 证明： ˆ Aψ k = Akψ k
2
在任意态 ψ (t) = ∑ak (t)ψ k ，测值分布为 ak (t) 其中 ak (t) = (ψ k ,ψ (t))
* k
k
complex conjugation
da d 2 证法一： 证法一： ak (t) = ( )ak + c.c. dt dt Ek ∂ψ (t) 2 =( ,ψ k )(ψ k ,ψ (t)) + c.c. = − (ψ k ,ψ (t)) + c.c. = 0 dt iℏ
z
绕 n方向旋转 δϕ变换算符 ˆ ˆ (δϕ n) = exp( −iδϕ n ⋅ l / ℏ) R
ˆ ˆ [R, H] = 0
ˆ , H] = 0 [l ˆ
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性 4.5.1 全同粒子体系的交换对称性 ψ (⋯, xi , yi , zi ,⋯) 多粒子体系 波函数： 波函数：
ψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN )
全同粒子： 全同粒子： 内禀属性完全相同的粒子 质 电 自 磁 寿 同 量 荷 旋 矩 命 位 旋 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 ψ (q1,⋯, q j ,⋯qi ,⋯qN ) = Cψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN ) 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 ……
全同粒子不可分辨；体系具有确定不变的交换对 全同粒子不可分辨； 称性； 费米 玻色子体系具有交换(反 对称性 费米)玻色子体系具有交换 对称性。 称性；(费米 玻色子体系具有交换 反)对称性。 4.5.2 两个全同粒子组成的体系 ˆ ˆ ˆ H = h(q ) + h(q )
1 2
忽略互作用
ˆ h(q)ϕk (q) = ε kϕk (q)
ˆ ˆ 能级E=0非简并。 非简并。 但 [Π, p]ψ p=0 (x) = 0, 能级 非简并
魏丽(virial)定理 体系处于定态时有 2T = r ⋅ ∇V 定理 魏丽 d ˆ 1 ˆ ˆ 证明： 证明：∵ r ⋅ p = [r ⋅ p, H] dt iℏ 1 对定态 ˆ , p2 ] + 1 [r ⋅ p,V (r )] ˆ = [r ⋅ p ˆ 2miℏ iℏ 1 ˆ2 = p − r ⋅ ∇V (r ) = 0 ∴2T = r ⋅ ∇V (r ∴2 m 魏丽定理的推论 若V是n次齐次函数 2T = nV 是 次齐次函数 例：幂次势V (x) = α x 中存在束缚定态的的条件 nα n (n + 2)α n 解：T = x , E = T +V = x ,
ϕ1 (q1 )ϕ1 (q2 )ϕ2 (q3 ), ⋯, ϕ1 (q1 )ϕ2 (q2 )ϕ3 (q3 ), ⋯,
体系共有 33 = 27种可能的状态 II. 全同费米子 体系只有1种可能的反对称态 体系只有 种可能的反对称态
III. 全同玻色子 (a) n1 = n2 = n3 = 1
S 111
P (r)
S
P(r)
P (r)
A
r
4.5.3 N个全同粒子组成的体系 个全同粒子组成的体系 i. 费米子体系
ψ
A k1⋯kN
(q1,⋯, qN ) =
ϕk (q1 ) ϕk (q2 ) ⋯ ϕk (qN ) 1 ϕk (q1 ) ϕk (q2 ) ⋯ ϕk (qN )
1 1 1 2 2 2
N!
⋮
N N
ˆ i. 交换算符 P 及其本征问题 ij ˆ Pijψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN ) ≡ψ (q1,⋯, q j ,⋯qi ,⋯qN ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 显然 Pij+ = P , Pij2 = 1, Pij−1 = Pij ij ˆ 本征方程 Pijψ = Cψ P2ψ = C2ψ C = ±1 ˆ ij ˆ C = 1: Pijψ =ψ 交换对称波函数 ˆ C = −1: P ψ = −ψ 交换反对称波函数
2
1 2
1 ϕk1 (q1 ) ϕk1 (q2 ) = 2! ϕk2 (q1 ) ϕk2 (q2 )
iii. 泡里不相容原理 k1 = k2 = k
ψ (q1, q2 ) = 0
A kk
不允许两个全同的费米子处于同一单粒子态。 不允许两个全同的费米子处于同一单粒子态。
例：交换对称性的可观测效应
几率密度
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 又∵[G, H] = 0 ∴HGψ = GHψ = EGψ ˆ ˆ , G] ≠ 0 除非 F, G]ψ = 0 [ˆ ˆ 而由[F ˆ ˆˆ ˆˆ Gψ ≠ ψ 一般有FGψ ≠ GFψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例：一维自由粒子[ p, H] = 0, [Π, H] = 0, [Π, p] ≠ 0 2 能级E = p / 2m ( p ≠ 0)二度简并
第4章 力学量随时间的演化与对称性 章
§4.1力学量随时间的演化 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量 i. 平均值的时间变化率
ˆ A(t) = (ψ , Aψ )
ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ∂A dA(t) ∂ψ ˆ ∂ψ ∂A ˆ =( , Aψ ) + (ψ , A ) + (ψ , ψ ) = [A, H] + ( ) iℏ ∂t dt ∂t ∂t ∂t
1 [ϕ1 (q1 )ϕ2 (q2 )ϕ3 (q3 ) + ϕ1 (q2 )ϕ2 (q1 )ϕ3 (q3 ) ψ (q1, q2 , q3 ) = 3!
1↔ 2
+ ϕ1 (q3 )ϕ2 (q2 )ϕ3 (q1 ) + ϕ1 (q1 )ϕ2 (q3 )ϕ3 (q2 ) + ϕ1 (q2 )ϕ2 (q3 )ϕ3 (q1 )+ ϕ1 (q3 )ϕ2 (q1 )ϕ3 (q2 )]
§4.4 守恒量与对称性的关系 4.4.1 对称性在 对称性在QM中有比在 中有比在CM中更重要的意义 中有比在 中更重要的意义 4.4.2 体系的对称变换与对应守恒量 ˆ ˆ 单位(Identity) 算符 线性变换 Q 下: ψ →ψ ′ = Qψ 单位 ˆ → A′ = QAQ−1 ˆ A ˆ ?ˆ ˆ 幺正(Unitary) 算符 幺正 ∂ψ ˆ ψ → iℏ ∂ψ ′ = H′ψ ′ ˆ iℏ =H
证法二： 证法二： ∵ dak (t) = Ek ak (t) ∴a (t) = a (0)e −iEkt / ℏ k k
dt iℏ
iv. 讨论
dA(t) (a) 的几种情况： = 0的几种情况： dt
ak (t) = ak (0)
2
2
ˆ 体系处于能量本征态 φn (Hφn = Enφn ) ； ˆ ˆ 体系处于 A的本征态 ψ k (Aψ k = Akψ k ) ； ˆ ˆ 体系处于任意态且[A, H] = 0 。
1 2
2
1
2
1
2
1 ˆ12 = (1 + P )ϕk1 (q1 )ϕk2 (q2 ) 2
(b) k1 = k2 = k
S ψ kk (q1, q2 ) = ϕk (q1 )ϕk (q2 )
ii. 费米子体系反对称波函数的构造
Asymmetry
ψ
A k1k2
1 (q1, q2 ) = [ϕk1 (q1 )ϕk2 (q2 ) − ϕk1 (q2 )ϕk2 (q1 )] 2 1 ˆ12 = (1− P )ϕk (q1 )ϕk (q2 )
n
2
2
(1) α > 0 : T > 0 n>0 (2) α < 0 : T > 0 and E < 0
−2 <n < 0
§4.2波包的运动 厄伦菲斯特定理 波包的运动 4.2.1 Ehrenfest定理 定理 dr / dt = p / m 体系处于任意态有 dp / dt = −∇V (r ) 力学量平均值与经典对应量满足形似的方程 4.2.2 用波包态描述经典粒子的运动 以波包态的 r , p作为粒子的位置坐标和动量 波包瘦且变胖慢； 是空间缓变函数 这要求 i.波包瘦且变胖慢；ii.V是空间缓变函数 波包瘦且变胖慢
ij
全同粒子体系的任一状态具有,⋯, qN ) = H(q1,⋯, q j ,⋯qi ,⋯, qN )
ˆ ˆ ∴[Pij , H] = 0
体系状态的粒子交换 对称性不随时间改变
iii. 实验证明： 实验证明： 玻色子体系， 玻色子体系，波函数具有交换对称性 费米子体系，波函数具有交换反对称性 费米子体系， 全同性原理： 全同性原理： Postulate5
ψ′
注意到ψ ′(x′) =ψ (x)
ˆ D(δx)ψ (x + δx) =ψ (x)
x′ = x + δ x n ∞ ˆ (δx)ψ (x) =ψ (x − δx) = 1 d ψ (x) (−δx)n D ∑ n! dxn n=0 n n ∞ (−δx) d d = ∑ ψ (x) = exp( −δx )ψ (x) n dx n=0 n! dx d ˆ ∴D(δx) = exp( −δ x ) = exp( −iδ x px / ℏ) ˆ dx
ˆ ∂A =0 ∂t
dA(t) 1 ˆ ˆ = [A, H] dt iℏ
ii. 守恒量是不显含时间且与体系哈密顿对易的 力学量
iii. 守恒量的性质 (a) 任何态下，守恒量平均值不随时间改变； 任何态下，守恒量平均值不随时间改变； (b) 任何态下，守恒量的测值分布不随时间改变。 任何态下，守恒量的测值分布不随时间改变。
x
ˆ ˆ ˆ D(δr ) = exp( −iδr ⋅ p / ℏ) ≈ 1− iδr ⋅ p / ℏ
ˆ ˆ 体系具有平移不变性 [D, H] = 0