初中数学竞赛教程22、整数的整除性和奇偶性

2013年暑期初一数学竞赛第二十二讲：整数的整除性和奇偶性

【例题精选】

例1、如果,,a b c 是正整数，a 和b 是奇数，那么23()a b c c +-⋅（ ）

A 、对于c 的所有选择都是奇数；

B 、对于c 的所有选择都是偶数；

C 、当c 是偶数时为奇数，c 为奇数时为偶数；

D 、当c 是奇数时为奇数，c 为偶数时为偶数；

1、设a 、b 、c 都是整数，且a b c ++是偶数，试说明a b c +-、b c a +-、c a b +-都 是偶数。

2、若,,a b c 中有两个是奇数，一个是偶数，判断222(2001)(2002)(2003)a b c +⨯+⨯+是 奇数还是偶数？

3、设1a ，2a ，…，2011a 是1到2011的整数打乱顺序后，任意一种顺序的排列，请判断 122011(1)(2)...(2011)a a a +⋅+⋅⋅+是奇数还是偶数，并说明理由。

4、甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌（A 作1，J 、Q 、K 分别作11、12、13），乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定？

例2、黑板上写上1，2，3，…，1998，按下列规定进行操作：每次擦去其中的任意两个数a

和b ，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？

1、黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个数，对它们进行如下操作：擦去其中 三个数，再将这三个数和的个位数字补写在黑板上，例如擦去5，13，1998后添6，再如擦去6，6，38后添0，等等。如果经过998次操作后，黑板上只剩下两个数，一个是25，则另一个数是什么？

2、在1，2，3，…，1989之间填上“+”或“—”，求和时可以得到最小的非负数是多少？

例3、设有m 只茶杯，开始时杯口都朝上，把茶杯随意翻转，规定每翻转n 只，称为一次翻

动，翻动过的茶杯允许再翻。当m 为奇数，n 为偶数时，是否存在某此翻动使杯口都朝下？

1、若有7个杯子杯口朝下摆在桌子上，每次翻转4个杯子（口朝下的翻为口朝上，口朝上

的翻为口朝下）。经过若干次这样的翻动，问：可不可能全部杯子口都朝上？

2、若有6个杯子杯口朝下摆在桌子上，每次翻转4个杯子（口朝下的翻为口朝上，口朝上

的翻为口朝下）。经过若干次这样的翻动，问：可不可能全部杯子口都朝上？

例4、2003年3月23日是星期日，那么2003年元旦是（ ）

A 、星期二

B 、星期三

C 、星期四

D 、星期五

1、今天是星期日，从今天算起，第20001111...1个天是星期（ ）

A 、一

B 、二

C 、三

D 、四

2、设2222

123...2011m =++++，今天是星期一，若算第一天，则第m 天是星期几？

例5、已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，试证明：六位数abcdef 也

能被37整除。

1、已知7位数12876xy 是72的倍数，求出所有符合条件的7位数。

2、五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，则abcde 的最小值是多少？

3、设p (5p ≥)是质数，并且21p +也是质数．求证：41p +是合数．

例6、如果2100n +能被10n +整除，那么满足条件的最大正整数n 的值为 。

1、如果p 、q 、

q

p 12-、p q 12-都是整数，且1>p ，1>q ，求q p +的值。

【巩固拓展】

1、已知n 是整数，现有两个代数式：（1）23n +；（2）41n -，其中能表示“任意整数”的是（ ）

A 、只有（1）

B 、只有（2）

C 、有（1）和（2）

D 、一个也没有

2、在2010个自然数：1，2，3，…，2010的每一个数前面任意添上“+”或“-”，则它们的代数和一定是（ ）

A 、奇数

B 、偶数

C 、负整数

D 、非负整数

3、如果,,a b c 是三个任意整数，则2a b +、2b c +，2

c a +（ ） A 、都不是整数 B 、至少有两个整数 C 、至少有一个整数 D 、都是整数

4、已知,,a b c 都是整数，||||||m a b b c a c =++-+-，则（ ）

A 、m 一定是奇数

B 、m 一定是偶数

C 、仅当,,a b c 同奇或同偶时，m 是偶数

D 、m 的奇偶性不能确定

5、一个三位自然数，当它分别被2、3、4、5、7除时，余数都是1，则具有这个性质的最小三位数是 ，最大三位数是 。

6、有一列数为1，2，5，13，34，…，从第2个数起，每个数的3倍正好等于它左右两边的两个数的和，那么第2011个数是 数（填“奇”或“偶”）

7、用写有数字的4张卡片1、2、3、4可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数有 。

8、已知整数13456ab 能被198整除，则a = ，b = 。

9、求证:奇数的平方被8除余1；请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.

10、设有两个自然数,a b 的和为135，试说明它们的平方和不能等于222。

11、六位数8193ab 是99的倍数，求整数a 、b 的值。

12、黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其他两数的和减去1，这样

继续下去，最后得到117，2001，2003。问原来的三个数能否是2，2，2？