安徽省合肥市第一六八中学2017年自主招生考试数学试题(附答案)

20.（本题 13 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A、B 为 x 轴上两点， C、 D 为 y 轴上 的两点， 经过点 A、 C、 B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、 D、 B 的抛物线的一部分 C2 组 成 一 条 封 闭 曲 线 ， 已 知 点 C 的 坐 标 为 （ 0 ， -3 ） ， 点 M 是 抛 物 线 C2： y mx2 2mx 3m m 0 的顶点 . （1）求 A、B 两点的坐标
12 、 已 知 函 数 y x2 2mx 4 （ m 是 实 数 ） 与 x 轴 两 交 点 的 横 坐 标 为 x1 , x2 ， 当
1＜ x1＜2,1＜ x2＜3 ，则 m 的范围是 ________.
13、如图，已知四边形 ABCD 是矩形， BC 2 AB , A、 B 两点的坐标分别是 （ -1,0），（0,1），
4x 3 x 1 片上的数字为 a，则使关于 x 的不等式组 2 x x 1＜ a 有解的概率为（）
2
1 A、 3
4 B、
9
5 C、 9
2 D、 3
3、已知一次函数 y kx b 的图像经过点（ 3,0),且与坐标轴围成的三角形的面积为
6，满
足条件的函数有（ ）
A、2 个
B 、3 个 C、 4 个
D、5 个
2a 3b c ,求 c 的
17.(本题 12 分) 已知 x
a
1 , 试化简 x 2
2
4x x
a
2
x 2 4x x
18.（本题 13 分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若 干，要求中跳绳的条数是长跳绳的 2 倍， 且短跳绳的条数不超过长跳绳的 6 倍，已知长跳绳 单价是 20 元，中跳绳的单价是 15 元，短跳绳的单价是 8 元。 （1）若学校准备用不超过 2300 元的现金购买 200 条长、中、短跳绳， 问学校有几种购买方 案可供选择？
再进行射门， 这个位置为射门
点，射门点与球门边框两端点的夹角是射门角。如果点
A, B 表示球门边框（不考虑球门的
高 度 ） 的 两 端 点 ， 点 C 表 示 射 门 点 ， 连 接 AC 、 BC ， 则 ACB 就 是 射 门 角
A 球门
B
C
在不考虑其他因素的情况下， 一般地， 射门角越大， 射门进球的可能性越大。 如图（ 1）（ 2）
15、 ①②④
16、（ 10 分）解： ∵ 所以， ∴
， ∴a+b=168 ……３ 分 ……７分
解得： c=170 17、（ 12 分）
由
得： x+2=a+ ，
…… 10 分 ……３ 分
∵
， ∴a≥１，
……８ 分 …… 10 分
所以，原式 =
…… 12 分
18、解：（ 1）设学校购买 a 条长跳绳，由题意得： ……３分
（2）在第四象限内是否存在一点 P ，使得 △ PBC 的面积最大？若存在，求出 △ PBC 面积 的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当 △ BDM 为直角三角形时， m的值 .
21.(本题 14 分) 已知一个矩形纸片 OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中， 点 A（ 11， 0），点 B （ 0，6），点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、 C 重合），经过点 O、 P 折 叠该纸片，得点 B 和折痕 OP ．设 BP t． （1）如图①，当 BOP 30 时，求点 P 的坐标； （ 2）如图②，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB 上，得点 C 和折痕 PQ ，若 AQ m ，试用含有 t 的式子表示 m； （3）在（ 2）的条件下，当点 C 恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标．
4、若实数 a
b ，且 a、 b 满足 a 2
8a
5
0,b2
8b
5
b 0 .则
1
a
1
的值为（
）
a1 b1
A 、 -20
B、2
C、 2 或 20
D 、2 或 20
5 、对于每个非零自然数
n ，抛物线 y x2
2n 1 x
1 与 x轴交于 An、Bn 以
n(n 1) n (n 1)
An Bn 表示这两点间的距离，则 A1B1 A2 B2
△ ABC 的外心时，运动员在点 C 处射门时，进球的可能性最大 .
A 球门
B
A
B
A
球门
B
O
Q
D
C 图（ 1）
图片（ 2） C l
C l 图（ 3）
三、 解答题（本大题共 6 小题，共 75 分） 16.(本题 10 分) 若实数 a,b,c 满足 a 168 b 168 a b 值.
3a 5b 2 c
k C、 D 两点在反比例函数 y ( x＜0) 的图象上，则 k 的值等于 _________.
x
14、如图，在 Rt △ ABC （∠ C=900）内取一点 P ，
A
且 AP
AC a， BP CP
b
，则
a2 a2
b2 b2 的值是 _________
P
B
C
15、足球运动员在足球场上，常需要带球跑动到一定位置后，
7 、如图，从 △ ABC 各顶点作平行线 AD ∥ EB∥ FC ，各与其对边或其延长线相交于 D， E， F. 若 △ ABC 的面积为 1，则 △ DEF 的面积为（ ）
A、3
B、 3
5
C、
2
D、2
8、半径为 2.5 的圆Ｏ中，直径 AB 的不同侧有定点 C 和动点 P ，已知 BC : CA
（3）是运动员带球跑动的三种常见的路线（用直线
l 表示），则下列说法：
①如图（ 1）， AB∥ l ,当运动员在线段 AB 的垂直平分线与 l 的交点 C 处射门，进球的可能
性很大； ②如图（ 2 ）， AB⊥ l 垂足为 D ,设 AB =2 a, BD b ，当运动员在离底线
AB 的距离为
b2 2ab 的点 C 处（即 CD = b2 2ab ）射门时，进球的可能性最大； ③如图（ 3）， AB 与 l 相交于点 O ,设 AB 的中点为 O ，当点 C 满足 OQ CQ 时，运动员 在点 C 处射门时，进球的可能性最大； ④如图（ 3），过点 C 作直线 l 的垂线与线段 AB 的垂直平分线交于点 M ，当点 M 恰好是
解得： ∵a 为正整数， ∴ a 的整数值为 23,24,25,26 所以学校共有 4 种购买方案可供选择． （2）设学校购买 a 条长跳绳，由题意得：
……５分 ……６分
a 无．解．，则 a 的值为 _________
10、已知一列数 a1 ,a2 , a3 ,
1
1
1
1
满足 a1
, a2 2
, a3 1 a1
, a4 1 a2
, 1 a3
, 依次类
推，则 a1, a2, a2017 , 这 2017 个数的积为 __________
11、某公司加工 252 个零件，计划若干天完成，加工了 2 天后，由于改进新技术，每天可多 加工 9 个零件，因此提前 1 天完成任务，则原计划完成任务的天数为 _______.
4 : 3 ，点 P
在弧 AB 上运动，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q ,则 CQ 的最大值为（ ）
25
20
16
9
A、
B、
C、
D、
4
3
3
2
Q
C
E
F A
O
A
B
B
D
C
第 7 题图
P
第 8 题图
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分）
9、若分式方程
xa x1
合肥 168 中学 2017 年面向全省自主招生考试《科学素养》
测试数学试卷
一、 选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1、 已知 a
53 ，b
53
5+ 3
，则二次根式
3
ab
3
ab
19 的值是（
）
5- 3
A、6
B、7
C、8
D、9
2，有 9 张卡片，分别写有 1～ 9 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡
A2017 B2017 的值是（
）
2017
A、
2016
2016
B、
2017
2017
C、
2018
2018
D、
2017
6、已知 a,b, c 是 △ ABC 的三边，则下列式子一定．正．确．． 的是（
）
A 、 a 2 b2 c2＞ab bc ac
B、 a b ＜ c a b1 c1
C、 a b＞ c
D 、 a3 b3＞ c3
y B
C Ax
2017 年学科素养考核数学试题参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1-5 DBBAC ， 6-8 CDB 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分）
9、 ±1 10、 11、 7 12、 2＜ m＜
13、 -6 14、 三、共 75 分
（2）若学校准备恰好用 3000 元的现金购买 n 条长、中、短跳绳 .求 n 的最大值 .
19.（本题 13 分）如图， 四边形 ABCD 内接 O , AB 是 O 的直径， AC 和 BD 相交于点 E , 且 DC 2 CE CA . （1）求证： BC CD （2）分别延长 AB , DC 交于点 P ,若 PB OB , CD 2 2, 求圆 O 的半径 .