高中数学真题与经典题一题多解

函数篇

【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln2-

解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,ln 2)x x +和

22(,ln (1))x x +．

则切线分别为：111ln 1y x x x =⋅++，()2

2221ln 111x y x x x x =

++-++ ∴()122

12

21

11

ln 1ln 11x

x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨

⎪+=+-⎪+⎩

解得112x =

21

2

x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=-

解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)

x y 和22(,)

x y ．

∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --=

∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1

ln 11ln 22

b =+=-

【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e

-

B 33,24

e -

（）

C.33[,)24e

D.3

[,1)2e

解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x

e x ax a -<-，设

()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)x

g x e x =+，可知()g x 在1(,)2

-∞-上单调递减，

在1

(,)2-+∞上单调递增，故

(0)(0)

(1)(1)h g h g >-≤-⎧⎨⎩

得312a e ≤<

解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立；

②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21)()1

x e x g x x -=-，则22

(23)

'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3

(,)2

x ∈+∞时，()g x 单调递增

所以32

min 3()()42

g x g e ==，即3

24a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。

③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21)

()1

x e x g x x -=-

同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。 又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e

≥-= 此时3

[

,1)2a e

∈ 综上所述，a 的取值范围是3[

,1)2e

解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。

当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2-∞-递减，在1

(,)2

-+∞递

增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B. 当34a =

时，33

()(21)44

x f x e x x =--+，3'()(21)4x f x e x =+-，因为3'()(21)4x f x e x =+-为增函数，且31'(0)1044f =-

=>，13

'(1)04

f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3(0)104f =-+

<，13

(1)302

f e --=-+>，(1)0f e =>，易判断存在唯一的整数0，使得(0)0f <，故3

4

a =

成立，排除答案C.

解法四：0x =带入()f x 中可以得到(0)1f a =-，由题意可知1a <，所以(0)0f <，满足题目中存在唯一的整数，使得0()0f x <，所以只需要(1)0

(1)0f f >⎧⎨->⎩

即可，得到312a e ≤<

【试题3】（2016年全国Ⅰ卷文科第12题） 若函数1

()sin 2sin 3f x x x a x =-

+在()+∞∞-,单调递增，则a 的取值范围是（ ）[]

1111.1,1.1,.,.1,3333A B C D ⎡⎤

⎡⎤

⎡

⎤-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

⎣⎦

⎣

⎦

解法一：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 3

2

1)('+-= 由题意可得0)('≥x f 恒成立，

即为0cos 2cos 32

1≥+-

x a x 即有0cos cos 3

4352

≥+-x a x

设)11(cos ≤≤-=t x t ，即有at t 3452

+-≥0， 当0=t 时，不等式显然成立； 当01t ≤<时，534a t t

≥-， 由t

t 5

4-

在]1,0(递增，可得1=t 时，取得最大值1-， 可得13-≥a ，即31

-≥a ；

当01＜t ≤-时，t

t a 5

43-≤，

由5

4t t

-在[1,0)-递增，可得1t =-时，取得最小值1，

可得13≥a ，即3

1

≤a ．

综上可得a 的范围是]3

1

,31[-．

故选：C ．

解法二：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 3

2

1)('+-=

由题意可得0)('≥x f 恒成立， 即为0cos 2cos 3

2

1≥+-

x a x