高三T能力(直觉思维3星)

能力: 直觉思维★★★

12 min.

一个火材棒游戏，用六根火柴，每一根火柴做一条边，能否拍成从四个全等的正三角形？

开始，在平面上排，可以作许多尝试，但都没有成功，为什么呢？经过较长时间的思考，突然把思维跃入三维空间，排成一个正四面体，（如图所示）正好四个面都是正三角形，问题获得解决.

从上述游戏中的思考方法却与一般的数学问题不同.这种突如其来的妙想，创造新颖的想法就是直觉与灵感（顿悟）相互作用的产物.这种创造性的思维就是直觉思维.历史上这类靠直觉的发明创造举不胜举：

牛顿发现万有引力定律

阿基米德发现浮力定理

迪卡儿发现解析几何

……

都是思维火花的一闪念。但大量事例证明知觉的产生虽具有偶然性，但又不是随心所欲、凭空产生的.只有具备了一定的条件，直觉才能产生，产生知觉的条件至少有以下几个方面：

（1）对问题具有足够的经验和知识；

（2）对问题经过长期艰苦的思考；

（3）对问题解决必需的逻辑素养与一定思维能力.

那些把直觉思维神秘化，夸大直觉的非逻辑因素的作用的观点是不可取的，事实上证明灵感、顿悟来源长期的实践和刻苦的思考，它与浅尝辄止、思想懒汉是无缘的.数学创造性思维是在实践经验中、、在问题情境中形成的地方开始的。因此，结合以上论述，可以把数学创造思维活动的过程用下图表示：

从图中我们看到数学创造思维活动中直觉起着重要作用，创造思维的整体过程是一个直觉思维和逻辑演绎互

补的过程。直觉思维是科学创造的一个重要因素。

下面看两个具体例子.

13 min.

例1. (★★★)在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S ，则数列{1}n a +也是等比数列，则n S =（ ） A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -

解：（直觉思维法）根据已知{}n a 是等比数列，而{1}n a +也是等比数列，感觉{}n a 为常数列是其中的一解。再结合选项都是一个答案，没有两个答案的选项，故数列{}n a 市场数列便是唯一的答案了。 【上述思维就是根据问题的整体结构特征，跃过中间的推理过程，立即直接得出结果。】 （直接法）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为{1}n a +也是等比数列， 所以

33221221+1+1+1+1a a a a q a a a a -===-，即21+1

+1

a q a = 故 21+1a a q q =+，所以1q =。

例2. (★★★)已知有四根水管通向水池，只打开1,2,3号水管，水池12分钟可以注满；只打开2,3,4号水管，水池15分钟可以注满；只打开1,4号水管，水池20分钟可以注满。问如果四根水管同时打开，几分钟可以注满水池？

解：有个学生起初用列方程组来解，但未能接触，却在快放学的时候，突然有所领悟：“管子的两倍…一分钟可注满水池的

1111

++=1215205，则四根管子同时打开，1分钟可注满水池的110

，于是10分钟可注满水池。”这样的解答，连学生本人也说不上来是如何突然冒出来的。

课堂练习： 12 min.

1. (★★★)甲、乙两只酒杯分别装了半杯红酒、绿酒，现将甲杯中红酒倒一部分在乙杯中，调匀后，再倒回同样数量的混合酒于甲杯，问这时甲杯中的绿酒与乙杯中的红酒哪个多？为什么？

实践经验

数学猜想

数学猜想 直觉归纳、直觉类此

逻辑思维

“想法只有当它们要来时才来，而不是我们要它们来就来”

——波利亚

我国侯振挺教授一次到车站送人，在候车室里他看着排队上车的旅客，突然“眼镜一亮”，一下子解决了他久思不解的排队论中的巴姆尔断言的证明。

解：视红酒和绿酒是一个整体中的两部分，且它们的量相等.一部分红酒倒入绿酒中，再倒回同样多的混合酒，此时甲杯中就会有一定量的红酒.由甲杯中这个局部中的酒量并未减少，其中含有的绿酒取代了甲杯倒入乙杯中的红酒数量.所以此时甲杯中的绿酒量必与乙杯中的红酒量相等.

2. (★★)1024名乒乓选手，参加淘汰制比赛争夺单打冠军，问应进行多少场比赛？

解：从淘汰制看，每场比赛淘汰一名选手，现在从1024名选手中要淘汰1023名选手，才能最后决出一名冠军，所以需要进行1023场比赛.

3. (★★★)设()()20f x ax bx c a =++≠满足()0af m <条件，求证()f x 存在两个零点，分别在点(),0m 的左、右两侧.

分析：这里条件是()0af m <，结论是存在12,x x 使22

11220,0ax bx c ax bx c ++=++=，且12x m x <<.关键在

于如何从()2040b c m a af ⇒∆=-><.()0af m <与2

4b ac ∆=-的联系似难直接联系，在正面强攻不下时，

往往采取迂回策略，从反面出击.从2

40b ac ∆=-≤出发，看能引出什么矛盾？这是激发直觉的有效路径之一.

证明： 设2

40b ac ∆=-≤，则 ()2

2024b af m a m a ⎛⎫=+- ⎝

∆≥⎪⎭.

这与已知条件()0af m <矛盾，所以0∆>.

存在12,x x 为()f x 的两个零点，故()()()12f x a x x x x =--， 由()0af m <，得()()()2120af m a m x m x =--<. 故有12x m x <<.

回顾总结

3 min.

本节课你有哪些

收获和感悟？